§4.2同角三角函數基本關系式及誘導公式課標要求1.理解同角三角函數的基本關系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋k1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數關系：sinαcosα＝tanα2.三角函數的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα

口訣奇變偶不變，符號看象限1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角.(×)(2)若α，β∈R，則sin2α＋cos2β＝1.(×)(3)若α∈R，則tanα＝sinαcosα恒成立.((4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，則sinα＝13.(×2.(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A.sin(－x)＝sinxB.sin3π2-xC.cosπ2＋xD.cos(x－π)＝－cosx答案CD解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sin3π2-x＝－cosx，cosπ2＋x＝－sinx，cos(x－π)＝－cosx，故D成立.3.若sinxcosx＝18，則cosx－sinx的值是(A.±32 B.32 C.－32 D答案A解析(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sin4.已知α是第三象限角，sinα＝－35，則tanα＝答案3解析由題意得cosα＝－45，故tanα＝1.熟記同角三角函數的基本關系式的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠(3)sin2α＝sincos2α＝cos2.謹防兩個易誤點(1)在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.(2)“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化，應用時要注意題型一同角三角函數基本關系式例1(1)(2024·廣州模擬)已知sinα－cosα＝22，則tanα＋1tanαA.－14 B.－4 C.14 D答案D解析方法一sinα－cosα＝2則(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1解得sinαcosα＝1tanα＋1tanα＝方法二(對偶式)設cosα＋sinα＝t，則cos2α＋2sinαcosα＋sin2α＝t2，①又sinα－cosα＝2則sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝12，①②相加，可得t2＝32，即t＝62或當t＝62時，由可得sinα＝6＋24，cos所以tanα＝6＋26-所以tanα＋1tanα＝2＋3＋12＋3＝2＋3同理，當t＝－62時，tanα＋1tanα(2)已知tanα＝－3，則sin3α-sinA.－34 B.34 C.310 D答案C解析因為tanα＝－3，所以sin3α-sinαcosα＝sin思維升華(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanαα≠(2)形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋(3)對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.跟蹤訓練1(1)(2025·太原模擬)已知sinα＋cosα＝63，0<α<π，則sinα－cosα等于(A.－233 B.233 C.－3答案B解析因為sinα＋cosα＝6所以(sinα＋cosα)2＝2即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝2所以2sinαcosα＝－13因為0<α<π，所以cosα<0<sinα，所以sinα－cosα>0，因為(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋1所以sinα－cosα＝23(2)(2024·貴陽模擬)已知tanα＝2，則1sin2α＝答案5解析∵tanα＝2，則1sin2題型二誘導公式例2(1)若sin(π＋α)＝13，則sin(π－α)＋cosπ2-A.－23 B.23 C.223 答案A解析sin(π＋α)＝－sinα＝13，sinα＝－13，sin(π－α)＋cosπ2-α＝sinα＋sinα(2)(2025·滄州模擬)已知cosπ4＋x＝13，A.－13 B.13 C.223 答案A解析方法一因為cosπ所以sin5π4-x＝－sinπ4-x＝－cosπ4＋x方法二令t＝π4＋x，則x＝t－所以sin5π4-x＝sin5π＝－cost＝－cosπ4＋x思維升華誘導公式的兩個應用(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.跟蹤訓練2(1)已知sinπ3＋2α＝23A.53 B.－23 C.23 D答案C解析∵sinπ∴cosπ6-2α＝sinπ3(2)tan(π-α)cos(2π-α)sin答案－1解析原式＝-tanα·cosα·(-cosα)cos(π題型三同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用例3(1)(2024·商洛模擬)已知sin(5π＋α)＝5sin9π2＋α，則sin2α＋sin2αA.－926 B.1126 C.1526 答案C解析因為sin(5π＋α)＝5sin9π所以－sinα＝5cosα，可得tanα＝sinαcosα所以原式＝sin2＝2×(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2＋α＝3cosβ-π2，答案2π解析由題意得cos由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3，又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝1又α∈0，π2，所以sinα＝12將α＝π6代入①，得sinβ＝因為β∈π2，π，所以β＝5π6，則思維升華(1)利用同角三角函數基本關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.(2)注意角的范圍對三角函數值符號的影響.跟蹤訓練3(1)若sin(3π＋α)＝12，α∈π，3π2，則tan(2025π－A.－12 B.－32 C.－3 D.答案D解析因為sin(3π＋α)＝1所以sinα＝－12，又α所以cosα＝－1-sin2tanα＝3所以tan(2025π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－33(2)(多選)已知sinx＋π4＝－55，x∈A.cosx＋πB.tanx＋πC.cosπ4-D.sinπ答案AC解析因為x∈π所以x＋π4∈又sinx＋π所以x＋π4∈所以cosx＋π4＝－1-sin2所以tanx＋π4又cosπ4-x＝sinx＋π4＝－5sinπ4-x＝sinπ＝－255，故課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·成都模擬)若角α的終邊位于第二象限，且sinα＝12，則sinπ2＋A.12 B.－12 C.32 D答案D解析∵sinα＝12，且角α∴cosα＝－1-sin2α＝－則sinπ2＋α＝cosα2.以下四個數中，與sin2026°的值最接近的是()A.－12 B.12 C.－22 答案C解析sin2026°＝sin(360°×5＋226°)＝sin226°＝sin(180°＋46°)＝－sin46°，∵sin45°＝22，∴sin2026°的值最接近－3.若θ是三角形的一個內角，且tanθ＝－43，則sinθ－cosθ等于(A.15 B.－15 C.75 D答案C解析所以sin4.(2025·石家莊模擬)設－π2<α<0，若sinα1-cosα＝tanαA.－45 B.－35 C.－223 答案C解析由已知得sin故sin11-cosα＝12cosα因為－π2<α<0，所以sinα<0則sinα＝－225.cos2-π10-θ＋cos22πA.12 B.2 C.1 D.答案C解析cos2-π10-θ＋cos22π5-θ＝cos2θ＋π10＋cos2π26.(2025·昆明模擬)已知tanα＝－3，則2sinα＋5π6A.－3－3 B.－1－33C.1-335 D答案B解析因為tanα＝－3，所以2sin＝2＝-＝33＋12-3＝－1二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.在△ABC中，下列等式一定成立的是()A.sinA＋B2B.sin(2A＋2B)＝－cos2CC.tan(A＋B)＝－tanCD.sin(A＋B)＝sinC答案CD解析sinA＋B2＝sinπ2-C2sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin2C，故B錯誤；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故C正確；sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故D正確.8.已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，則(A.θ∈π2，π B.cosC.tanθ＝－34 D.sinθ－cosθ＝答案ABD解析∵sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1∴2sinθcosθ＝－24∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈π2，π(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝49sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝75，故D正確；由①②得sinθ＝45，cosθ＝－35tanθ＝sinθcosθ＝－43三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知α為第一象限角，cos(α＋10°)＝13，則tan(170°－α)＝答案－22解析由α為第一象限角，cos(α＋10°)＝1得sin(α＋10°)＝1-co故tan(α＋10°)＝sin(α＋10°)故tan(170°－α)＝tan[180°－(α＋10°)]＝－tan(α＋10°)＝－22.10.(2023·全國乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sinθ－答案－5解析因為θ∈0，π2，則sinθ>0，cos又因為tanθ＝sinθcosθ＝12，則cos且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－55(舍去所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55四、解答題(共28分)11.(13分)已知f(α)＝sin(α(1)化簡f(α)；(4分)(2)若α＝－31π3，求f(α)的值；(4(3)若cos-α-π2＝15，α∈π，3π2解(1)f(α)＝sin(＝-sinα·cosα·(-cosα(2)若α＝－31π則f-31π3＝－cos-31π3＝－cos(3)由cos-α-π2＝1因為α∈π，3π2，所以cos所以f(α)＝－cosα＝2612.(15分)已知關于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的兩個根為sinθ，cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sinθ1-1tanθ(2)方程的兩根及此時θ的值.(10分)解(1)由題意得sinθ≠cosθ，sinθ1-1tanθ＋cosθ1-tanθ＝(2)由已知得sinθcosθ＝m所以(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1＋m＝4＋234所以方程2x2－(3＋1)x＋32＝0的兩根為又因為θ∈(0，2π)，所以當sinθ＝32，cos當sinθ＝12，cos每小題5分，共10分13.已知角θ∈π2，π，角α∈(0，2π)，α終邊上有一點(－sinθ，cosθ)，則αA.θ＋π2 B.θ＋C.π4 D.答案A解析點(－sinθ，cos