§10.3隨機事件與概率課標(biāo)要求1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運算.3.掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示.全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示.②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件.②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件.2.兩個事件的關(guān)系和運算含義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)事件A與事件B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個.(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.4.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝kn其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(×)(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.(√)(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(√)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.(×)2.甲、乙等五人站成一排，其中為互斥事件的是()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙站排尾”C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”答案A解析因為“甲站排頭”與“乙站排頭”不能同時發(fā)生，所以選項A正確；因為“甲站排頭”與“乙站排尾”可以同時發(fā)生，所以選項B不正確；因為“甲站排頭”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項C不正確；因為“甲不站排頭”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項D不正確.3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8答案B解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.4.拋擲一枚骰子，記事件A為“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝，P(A∩B)＝.

答案23解析拋擲一枚骰子，所有可能出現(xiàn)的點數(shù)是1，2，3，4，5，6，共6個樣本點，事件A∪B包括出現(xiàn)的點數(shù)是1，3，5，6，共4個樣本點，故P(A∪B)＝23事件A∩B包括出現(xiàn)的點數(shù)是3，共1個樣本點，故P(A∩B)＝161.當(dāng)隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).題型一隨機事件的關(guān)系命題點1隨機事件關(guān)系的判斷例1(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機事件：E＝“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)＝“點數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點數(shù)大于2”，H＝“點數(shù)小于2”，R＝“點數(shù)為3”.則下列結(jié)論正確的是()A.E，F(xiàn)為對立事件B.G，H為互斥不對立事件C.E，G不是互斥事件D.G，R是互斥事件答案ABC解析“點數(shù)為奇數(shù)”與“點數(shù)為偶數(shù)”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對立事件，選項A正確；“點數(shù)大于2”與“點數(shù)小于2”不可能同時發(fā)生，且不是必有一個發(fā)生，G，H為互斥不對立事件，選項B正確；“點數(shù)為奇數(shù)”與“點數(shù)大于2”可能同時發(fā)生，E，G不是互斥事件，選項C正確；“點數(shù)大于2”與“點數(shù)為3”可能同時發(fā)生，G，R不是互斥事件，選項D不正確.命題點2利用互斥、對立事件求概率例2(1)(多選)下列說法正確的有()A.若事件A?B，則P(A)≤P(B)B.若A，B為對立事件，則P(A)＋P(B)＝1C.若A，B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)D.P(A∪B)<P(A)＋P(B)答案ABC解析若事件B包含事件A，則P(A)≤P(B)，故A正確；若A，B為對立事件，則P(A)＋P(B)＝1，故B正確；若A，B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故C正確；因為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以當(dāng)A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D錯誤.(2)某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.2，則這個射手在一次射擊中射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)的概率為.

答案0.11解析記“射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)”為事件D，則事件D為“射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)”，所以P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.2＝0.89，所以P(D)＝1－P(D)＝1－0.89＝0.11.命題點3利用頻率估計概率例3(多選)下列命題正確的是()A.隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值B.拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點的頻率是9C.有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則一定有190件正品，10件次品D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則可得拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51答案AB解析隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故A正確；拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點的頻率是18100＝9有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則不一定抽取到190件正品和10件次品，故C錯誤；100次并不是無窮多次，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則不能得出拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51，故D錯誤.思維升華事件關(guān)系的運算策略進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時，運用互斥事件的概率加法公式.跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則下列選項中事件A與事件B互斥卻不互為對立的是()A.事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球B.事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球C.事件A：3個球中至多有2個紅球；事件B：3個球中至少有2個白球D.事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球答案B解析事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故A錯誤；事件A與事件B不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件A與事件B互斥卻不互為對立，故B正確；事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故C錯誤；事件A與事件B不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以事件A與事件B是互斥事件也是對立事件，故D錯誤.(2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，則P(A)＝.

答案0.8解析因為事件A和B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋0.3＝0.5，解得P(A)＝0.2，故P(A)＝1－P(A)＝0.8.題型二古典概型例4(1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.答案B解析當(dāng)甲在排尾，乙在排頭時，丙有2種排法，丁有1種，共2種；當(dāng)甲在排尾，乙排第二位或第三位時，丙有1種排法，丁有1種，共2種；于是甲在排尾共4種排法，同理乙在排尾共4種排法，于是共8種排法符合題意，樣本點總數(shù)顯然是A44＝24，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率為(2)(2024·煙臺模擬)安排4名大學(xué)生到兩家公司實習(xí)，每名大學(xué)生只去一家公司，每家公司至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家公司實習(xí)的概率為()A.15 B.C.325 D.答案D解析4名大學(xué)生分兩組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3人、1人或2人、2人，即共有C43A22＋C42＝8＋6＝14(種)實習(xí)方案，其中甲、乙到同一家公司實習(xí)的情況有C21A思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則2個紅球分別放入不同盒子中的概率為()A.23 B.C.13 D.答案A解析將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則樣本點有(紅1，白紅2)，(紅2，白紅1)，(白紅1，紅2)，(白紅2，紅1)，(紅1紅2，白)，(白，紅1紅2)，共6個，而2個紅球分別放入不同盒子中包含(紅1，白紅2)，(紅2，白紅1)，(白紅1，紅2)，(白紅2，紅1)4個樣本點，故由古典概型的計算公式得概率為23(2)將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入如圖所示的3行2列表格中，則表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等的概率為()A.16 B.C.115 D.答案C解析要使表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等，根據(jù)1＋6＝2＋5＝3＋4，先將6個數(shù)字分為3組，分別為(1，6)，(2，5)，(3，4)，將三組全排列，安排在表格的三行中，每一行有A2則可組成不同表格的個數(shù)為A22A將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入表格中的所有情況的個數(shù)為A66＝故所求概率為48720題型三概率與統(tǒng)計的綜合問題例5某校為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進行測評打分.現(xiàn)從中隨機選出100名學(xué)生的成績(滿分為100分)，按分?jǐn)?shù)分為[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求m的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；(2)若認(rèn)定評分在[80，90)內(nèi)的學(xué)生為“運動愛好者”，評分在[90，100]內(nèi)的學(xué)生為“運動達人”，現(xiàn)采用按比例分配的分層隨機抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機抽取6名學(xué)生參加運動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行經(jīng)驗交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的概率.解(1)依題意，(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋m＋0.005)×10＝1，解得m＝0.025.前三組的頻率為(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，前四組的頻率為(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以中位數(shù)為70＋0.5-0.40.3×10≈73.3(分)(2)評分在[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，兩者的比例是5∶1，所以抽取的6名學(xué)生中，評分在[80，90)內(nèi)的有5人，記為1，2，3，4，5，評分在[90，100]內(nèi)的有1人，記為6，從中抽取2人，樣本點有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15個，其中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的有16，26，36，46，56，共5個樣本點，故所求概率為515思維升華求解概率的綜合問題時，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計算.跟蹤訓(xùn)練3為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機構(gòu)聯(lián)合醫(yī)院，進行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用.為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀的副作用，該機構(gòu)隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：無疲乏癥狀有疲乏癥狀合計未使用新藥15025t使用新藥xy100合計225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否以此推斷有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)？(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.附：χ2＝n(ad-bc)2(a＋b)(α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由列聯(lián)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，零假設(shè)為H0：有疲乏癥狀與使用該新藥無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝275×(150×25-75×根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān).(2)從使用新藥的100人中用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取4人的抽樣比為4100＝125，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為125×25抽取的有疲乏癥狀的1人記為1，無疲乏癥狀的3人記為a，b，c，從4人中隨機抽取2人的所有樣本點為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6個，記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M，它所含樣本點是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3個，于是得P(M)＝36所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是12課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是()A.3個都是男生B.至少有1個男生C.3個都是女生D.至少有1個女生答案B解析從5個男生、2個女生中任意選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個男生是必然事件.2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲2025次，那么第2024次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.12024 B.C.20242025 D.答案D解析由概率的性質(zhì)得，無論試驗多少次，概率始終不變，故第2024次出現(xiàn)正面朝上的概率是123.從2，3，5，7，11這5個素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其積為偶數(shù)的概率為()A.25 B.C.12 D.答案A解析從2，3，5，7，11這5個素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C52＝10(種)選法，其積為偶數(shù)，即兩個數(shù)中有一個為2，共有4種選法，所以概率為4.某校希望統(tǒng)計學(xué)生是否曾在考試中作弊，考慮到直接統(tǒng)計可能難以得到真實的回答，故設(shè)計了如下方案：在一個袋子里放入只有顏色和序號不同的紅球和綠球各50個，分別編號為1~50，被調(diào)查的學(xué)生從中隨機摸出一個，確認(rèn)顏色和序號后放回(調(diào)查者不知道)，摸到紅球的學(xué)生回答“你摸到的球的序號是否為奇數(shù)？”，摸到綠球?qū)W生的回答“你是否曾在考試中作弊？”.共調(diào)查了1200名學(xué)生，得到了390個“是”的回答，據(jù)此估計該校學(xué)生的作弊率為()A.15% B.20%C.5% D.10%答案A解析調(diào)查的1200名學(xué)生中，摸到紅球的概率是12，其編號是奇數(shù)的概率也是12，摸到綠球的概率為12，即摸到紅球的人數(shù)約為1200×12＝600，摸到綠球的人數(shù)約為1200×12＝600，所以回答問題“你摸到的球的序號是否為奇數(shù)？”且回答“是”的學(xué)生人數(shù)約為600×12＝300，回答問題“你是否曾在考試中作弊？”且回答“是”的學(xué)生人數(shù)約為390－300＝905.甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘”站方向的3路公交車(線路圖如下).甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車.假設(shè)每人自“管委會”站開始在每一站點下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為()A.15 B.C.730 D.答案C解析甲從“管委會”站到“北埭(東環(huán))”站的每一站下車都可以，有8種情況，乙從“管委會”站到“東至”站的每一站下車都可以，有15種情況，若乙在“管委會”站下車，則甲有7種情況，若乙在“地稅分局”站下車，則甲有6種情況，若乙在“興海路”站下車，則甲有5種情況，若乙在“閩臺風(fēng)情街”站下車，則甲有4種情況，若乙在“蓮池小學(xué)”站下車，則甲有3種情況，若乙在“金海岸”站下車，則甲有2種情況，若乙在“蓮池沙灘”站下車，則甲有1種情況，因此，甲比乙后下車的概率為P＝1＋6.15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是()A.3091 B.C.1591 D.答案A解析15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰，則可先讓11個人入坐好，再讓其余4人插空，共有A111111·A二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·哈爾濱模擬)一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球.事件A＝“兩次取到的球顏色相同”，事件B＝“第二次取到紅球”，事件C＝“第一次取到紅球”.下列說法正確的是()A.A?BB.事件B與事件C是互斥事件C.P(AB)＝2D.P(B＋C)＝2答案CD解析由題意可得，事件A包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，綠)}，事件B包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)}，事件C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(紅，綠)}，則A不包含于B，選項A錯誤；B∩C≠?，選項B錯誤；事件AB包含的取球顏色為{(紅，紅)}，P(AB)＝C42C事件B＋C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)，(紅，綠)}，P(B＋C)＝4×3＋68.某冷飲店為了保證顧客能買到當(dāng)天制作的雙皮奶，同時盡量減少滯銷，統(tǒng)計了30天的銷售情況，得到如下數(shù)據(jù)：日銷售量/杯[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]天數(shù)46956以樣本估計總體，用頻率代替概率，則下列結(jié)論正確的是()A.估計平均每天銷售50杯雙皮奶(同一組區(qū)間以中點值為代表)B.若當(dāng)天準(zhǔn)備55杯雙皮奶，則售罄的概率為11C.若當(dāng)天準(zhǔn)備45杯雙皮奶，則賣不完的概率為1D.這30天雙皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯答案BCD解析平均每天雙皮奶的銷售量為30×4＋40×6＋50日銷售量不小于55杯的概率為5＋630日銷售量小于45杯的概率為4＋6301－630＝0.8，因此這30天雙皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯，D正確三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·八省聯(lián)考)有8張相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

答案3解析從8張卡片中隨機抽出3張,則樣本空間中總的樣本點個數(shù)為C8因為1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18,則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3種,所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點有3個,所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為35610.通過手機驗證碼注冊某APP時，收到的驗證碼由四個數(shù)字a1a2a3a4(其中ai∈{0，1，2，…，9}，i＝1，2，3，4)隨機組成，如果驗證碼a1a2a3a4滿足a1<a2<a3<a4，則稱該驗證碼為遞增型驗證碼.某人收到一個驗證碼，則它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為.

答案7解析由題意設(shè)該驗證碼為a1a2a3a4，則a1＝2，2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4從3，4，5，6，7，8，9中選，選出3個數(shù)，讓其按照從小到大的順序排列有C73＝35(種又四位驗證碼共有10×10×10×10＝10000(種)排法，∴它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為3510000四、解答題(共28分)11.(13分)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；(6分)(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生不少于2人的概率.(7分)解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為C3故A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1－1100(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件C，“參賽女生有2人”為事件D，“參賽女生有3人”為事件E.則P(D)＝C32C32C64由互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(D)＋P(E)＝35故所求事件的概率為4512.(15分)第十五屆中國國際航空航天博覽會于2024年11月12日在珠海國際航展中心開幕，我國空軍匯聚多方智慧，研討無人智能、通航建設(shè)，帶來了殲－35A、紅－19等新型裝備.某市為了了解居民對航空航天知識的認(rèn)知程度，舉辦了一次“航空航天”知識競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人年齡的第85百分位數(shù)；(6分)(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“航空航天”的宣傳使者.若有甲(年齡31)、乙(年齡34)、丙(年齡42)三人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第三組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2人作為組長，求甲、乙、丙三人中至少有一人被選中的概率.(9分)解(1)由頻率分布直方圖得，年齡在[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45]的頻率分別為0.05，0.35，0.3，0.2，0.1，由各組頻率知第85百分位數(shù)a∈(35，40)，由(40－a)×0.04＝