進階3極值點偏移(一)1.極值點偏移的定義極值點偏移是函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數的圖象不具有對稱性.例如我們學過的二次函數為標準的對稱結構，有對稱軸，但是有些函數沒有對稱軸，即關于類對稱軸對稱的兩點橫坐標之和不等于對稱點橫坐標的兩倍，我們把這種現象叫做極值點偏移.2.從圖形角度理解極值點偏移(x0為極值點，且x1<x2)(1)左右對稱，無偏移，如二次函數；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.(2)左陡右緩，極值點向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0.(3)左緩右陡，極值點向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0.題型一對稱化構造法(和型)例1(2024·南充模擬)已知函數f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點x1，x2.(1)求實數a的取值范圍；(2)求證：x1＋x2>2.(1)解f(x)的定義域為(0，＋∞)，因為f'(x)＝1－1所以當0<x<1時，f'(x)<0，當x>1時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以當x＝1時，f(x)取得最小值1－a.又當x趨近于0或＋∞時，f(x)趨近于＋∞，所以要使f(x)有兩個不同的零點x1，x2，只需滿足1－a<0，即a>1.所以實數a的取值范圍為(1，＋∞).(2)證明不妨設x1<x2，由(1)可知，0<x1<1<x2，則2－x1>1，要證x1＋x2>2，只需證2－x1<x2，又f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，f(x1)＝f(x2)＝0，所以只需證f(2－x1)<f(x2)，即證f(2－x1)<f(x1).記g(x)＝f(2－x)－f(x)＝2－2x－ln(2－x)＋lnx，x∈(0，1)，則g'(x)＝1x＋12-當0<x<1時，g'(x)>0，g(x)單調遞增，又g(1)＝f(2－1)－f(1)＝0，所以g(x1)＝f(2－x1)－f(x1)<0，即f(2－x1)<f(x1).所以x1＋x2>2.思維升華證明x1＋x2>2x0的步驟(1)求極值點x0：求出函數f(x)的極值點x0，結合函數f(x)的圖象，由f(x1)＝f(x2)得出x1，x2的取值范圍.(2)構造函數：對結論為x1＋x2>2x0的情況，構造函數F(x)＝f(x)－f(2x0－x).①F'(x)＝f'(x)＋f'(2x0－x)>0，則F(x)單調遞增；②注意到F(x0)＝0，則F(x1)＝f(x1)－f(2x0－x1)<0即f(x1)<f(2x0－x1)；③f(x2)＝f(x1)<f(2x0－x1)，根據f(x)在(x0，＋∞)上單調遞減，則x2>2x0－x1；④得到結論x2＋x1>2x0.跟蹤訓練1已知f(x)＝lnx－2x，若f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>1.證明f'(x)＝1x－2＝所以f(x)在0，12上單調遞增，在所以f(x)max＝f12＝－1－ln2又當x→0＋時，f(x)→－∞，當x→＋∞時，f(x)→－∞，所以f(x)的圖象如圖所示.不妨設0<x1<12<x2要證x1＋x2>1，只需證x2>1－x1，由于f(x)在12，x2>12，1－x1所以只需證f(x2)<f(1－x1)，即證f(x1)<f(1－x1)，令h(x)＝f(1－x)－f(x)，0<x<1則h'(x)＝－(2x-1所以h(x)在0，1又h12＝f

1-12－f

1所以h(x)>0，即f(1－x)>f(x)，即f(1－x1)>f(x1)，所以x1＋x2>1.題型二對稱化構造法(積型)例2(2024·南充模擬)已知函數f(x)＝(1＋lnx)eln(1)討論f(x)的單調性；(2)若方程f(x)＝1有兩個不同的根x1，x2，求實數a的取值范圍，并證明：x1x2>1.解(1)由題意可得x>0，1ax>0，所以af(x)＝(1＋lnx)eln1ax＝1＋lnx又f'(x)＝1x·ax由f'(x)＝0，得x＝1，當0<x<1時，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)上單調遞增；當x>1時，f'(x)<0，則f(x)在(1，＋∞)上單調遞減.(2)由1＋lnxax＝1，得設g(x)＝1g'(x)＝1由g'(x)＝0，得x＝1，當0<x<1時，g'(x)>0，則g(x)在(0，1)上單調遞增；當x>1時，g'(x)<0，則g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，又g1e＝0，g(1)＝1，且當x趨近于正無窮時，g(x)趨近于0g(x)＝1＋ln所以當0<a<1時，方程1＋lnxx不妨設x1<x2，則0<x1<1<x2，設h(x)＝g(x)－g1x＝1＋lnxx－x(h'(x)＝-lnxx2＋lnx＝x2-1x所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又h(1)＝0，所以h(x1)＝g(x1)－g1x1即g(x1)<g1又g(x1)＝g(x2)，所以g(x2)<g1又x2>1，1x1>1，g(x)在(1，＋∞所以x2>1故x1x2>1.思維升華對結論x1x2>x02型，方法一是構造函數F(x)＝f(x)－f

x02x，通過研究F(x)的單調性獲得不等式；方法二是兩邊取對數，轉化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，跟蹤訓練2(2025·江蘇聯考)已知函數f(x)＝xlnx＋t在點(1，f(1))處的切線經過原點.(1)求t的值；(2)若存在x1<x2，使得f(x1)＝f(x2)，求證：x1x2<1e(1)解因為f'(x)＝lnx＋1，所以f'(1)＝1，因為f(1)＝t，所以切線方程為y－t＝x－1，即y＝x＋t－1.因為切線經過原點，所以0＝0＋t－1，所以t＝1.(2)證明因為f(x)＝xlnx＋1(x>0)，所以f'(x)＝lnx＋1，令f'(x)>0，解得x>1e令f'(x)<0，解得0<x<1所以f(x)在1e，＋∞上單調遞增，因為f

1e＝1－1e，f(1)當x趨近于0時，f(x)趨近于1，f(x)的圖象如圖所示.所以存在x1<x2，f(x1)＝f(x2)，且0<x1<1e，1e<要證x1x2<1e2，即證x因為1e2<1e2x2<1e，只需證f因為f(x1)＝f(x2)，即證f(x2)>f1e令g(x)＝f(x)－f

1e2x＝xlnx－＝xlnx＋1e2x(lnx＋所以g'(x)＝(lnx＋1)＋-＝(lnx＋1)1-1因為1e<x<1，所以g'(x)>0所以g(x)在1e，所以g(x)>g1e＝0所以f(x)>f

1e2x，即f(x2)所以x1x2<1e課時精練[分值：34分]1.(17分)已知f(x)＝lnx－ax，其中a>0.(1)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；(6分)(2)若f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2a.(11分(1)解f'(x)＝1x－a＝所以f(x)在0，1a上單調遞增，在f(x)max＝f

1a＝ln1a－1＝－lna－當x→0＋時，f(x)→－∞，當x→＋∞時，f(x)→－∞.由于f(x)有兩個零點，所以－lna－1>0，即0<a<1e故a的取值范圍是0，(2)證明由(1)知0<x1<1a<x2要證x1＋x2>2即證x2>2a－x1由于f(x)在1a，x2>1a，2a－所以只需證f(x2)<f

2即證f(x1)<f2令h(x)＝f

2a-x－f(則h'(x)＝－2(ax-1所以h(x)在0，1所以h(x)>h1a＝0即f

2a-x>f(即f

2a-x1>f(所以x1＋x2>2a2.(17分)(2024·常州模擬)已知函數f(x)＝xlnx－12ax2(a>0)(1)若函數f(x)在定義域內為減函數，求實數a的取值范圍；(6分)(2)若函數f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，證明：x1x2>1a.(11分(1)解f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝1＋lnx－ax，由題意f'(x)≤0恒成立，即a≥lnx＋設h(x)＝ln則h'(x)＝1-lnx-1當x∈(0，1)時，h'(x)>0，h(x)＝lnx＋當x∈(1，＋∞)時，h'(x)<0，h(x)＝lnx＋所以h(x)在x＝1處取得極大值，也是最大值，h(x)max＝h(1)＝1，故a≥1.(2)證明方法一函數f(x)有兩個極值點，由(1)可知0<a<1，設g(x)＝f'(x)＝1＋lnx－ax，則x1，x2(x1<x2)是g(x)的兩個變號零點，g'(x)＝1x－a，當x∈0，1a時，g'(當x∈1a，＋∞時，g'(所以g(x)在0，1a上單調遞增，在所以0<x1<1a<x2又因為g(1)＝1－a>0，所以0<x1<1<1a<x2要證x1x2>1a，只需證x2>1只需證g(x2)<g1其中g(x2)＝0，即證g1ax1＝1－ln(ax1)－即證ln(ax1)＋1x1－由g(x1)＝lnx1－ax1＋1＝0，設ax1＝t∈(0，1)，則lnx1＝t－1，x1＝et－1，則ln(ax1)＋1x1－1<0?lnt＋e1－t－設G(t)＝lnt＋e1－t－1(0<t<1)，G'(t)＝1t－e1－t＝由(1)知lnx＋1x≤1，故lnx≤所以ex－1≥x，et－1－t≥0，即G'(t)≥0，G(t)在(0，1)上單調遞增，G(t)<G(1)＝0，故ln(ax1)＋1x1－1<0即x1x2>1a方法二先證明引理：當0<t<1時，lnt<2(當t>1時，lnt>2(設M(t)＝lnt－2(t-1)t＋1M'(t)＝1t-4所以M(t)在(0，＋∞)上單調遞增，又M(1)＝0，當0<t<1時，M(t)<M(1)＝0，當t>1時，M(t)>M(1)＝0，故引理得證.因為函數f(x)有兩個極值點，由(1)可知0<a<1，設g(x)＝f'(x)＝1＋lnx－ax，則x1，x2(x1<x2)是g(x)的兩個變號零點，g'(x)＝1x－a，當x∈0，1a時，g'(當x∈1a，＋∞時，g'(所以g(x)在0，1a上單調遞增，在所以0<x1<1a<x2，即0<ax1<1<ax2要證x1x2>1a，只需證lnx1＋lnx2>－ln因為1即證a(x2＋x1