進(jìn)階篇不等式證明方法進(jìn)階1指對(duì)放縮切線放縮證明不等式是一種常用的方法，它可以解決許多數(shù)學(xué)問題，常見的有指對(duì)切線放縮，使用切線放縮可以深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).題型一指對(duì)切線放縮常見的指對(duì)切線放縮例1證明不等式：ex－ln(x＋2)>0.證明要證ex－ln(x＋2)>0，即證ex>ln(x＋2)，又ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立，令t＝x＋2，則ln(x＋2)＝lnt≤t－1＝x＋1，即ln(x＋2)≤x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立，故ex≥x＋1≥ln(x＋2)，等號(hào)成立的條件不一致，則ex>ln(x＋2)，結(jié)論得證.思維升華指對(duì)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，一般求導(dǎo)難以解決，常見的方法有隱零點(diǎn)、同構(gòu)、放縮等.跟蹤訓(xùn)練1當(dāng)x>0時(shí)，證明：ex2－xlnx<xex＋1e證明要證當(dāng)x>0時(shí)，ex2－xlnx<xex＋1只需證ex－lnx<ex＋1e下證－lnx≤1即證ln1x≤令t＝1x，即證lnt≤1顯然成立，且等號(hào)成立的條件是t＝e，即x＝1e又ex≤ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，由不等式的基本性質(zhì)及等號(hào)成立的條件不一致得原不等式成立.題型二指對(duì)增強(qiáng)放縮1.與ex相關(guān)的增強(qiáng)放縮(1)ex≥x＋1ex≥1＋x＋x22(x≥0)ex＝1＋x1！＋x22！＋x33！＋(2)ex≥exex≥ex＋(x－1)2(x≥0).(3)通過變換得到的其他不等式把ex≥x＋1中的x換成lnx，可得lnx≤x－1.把ex≥x＋1中的x換成x－1，可得ex≥ex.把ex≥x＋1中的x換成－x，可得e－x≥－x＋1，取倒數(shù)后可得ex≤11-x(x<1把ex≥x＋1中的x換成x＋lnx，可得ex＋lnx＝xex≥x＋lnx＋1(朗博同構(gòu)).2.與lnx相關(guān)的增強(qiáng)放縮(1)lnx≤x－1ln(x＋1)≤xlnx≥1－1xln(x＋1)＝x－x22＋x33-x44＋…＋(－1)nxn＋1(2)lnx≤xe(3)飄帶不等式：2(x-1)x＋1≤lnx≤(4)通過變換得到的其他不等式把lnx≤x－1中的x換成ex，可得ex≥x＋1.把lnx≤x－1中的x換成xe，可得lnx≤把lnx≤x－1中的x換成x＋1，可得ln(x＋1)≤x.把ln(x＋1)≤x中的x換成1n，可得ln(n＋1)－lnn<把ln(x＋1)≤x中的x換成－1n＋1，可得ln(n＋1)－ln例2證明：ex＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x證明由題意知x>0，因?yàn)閑x≥ex＋(x－1)2，所以要證ex＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x成立只需證ex＋(x－1)2＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x即證ln1x≤1x－令t＝1x，即證lnt≤t－1，結(jié)論得證.思維升華在利用ex≥x＋1或ex≥ex進(jìn)行切線放縮時(shí)，不等號(hào)右側(cè)的增長(zhǎng)速度比左側(cè)的快，顯然不成立，此時(shí)選用增強(qiáng)版的曲線放縮.跟蹤訓(xùn)練2證明：對(duì)任意x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋ex>2成立證明因?yàn)閑x≥ex，所以只需證ex＋x2－(e＋1)x＋ex>2成立即證x2－x＋ex>2成立即證x2－2x＋1＋x＋ex－1>2成立即證(x－1)2＋x＋ex由基本不等式得x＋ex≥2e，當(dāng)且僅當(dāng)x＝e而2e>3，(x－1)2≥0，故原不等式成立，結(jié)論得證.課時(shí)精練[分值：34分]1.(17分)已知函數(shù)f(x)＝ex.(1)討論函數(shù)g(x)＝f(ax)－x－a的單調(diào)性；(8分)(2)證明：f(x)＋lnx＋3x>4x.(9(1)解g(x)＝f(ax)－x－a＝eax－x－a，g'(x)＝aeax－1，①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R上單調(diào)遞減.②若a>0，當(dāng)x<－1alna時(shí)，g'(x)<0，g(x)當(dāng)x>－1alna時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在-∞，-1aln(2)證明要證f(x)＋lnx＋3x>只需證x(lnx＋ex)－4x＋3>0，x>0，由(1)可知，當(dāng)a＝1時(shí)，ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，等號(hào)成立的充要條件為x＝0.當(dāng)x＋1>0時(shí)，上式兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，可得ln(x＋1)≤x(x>－1)，用x－1代替x可得lnx≤x－1(x>0)，又可得ln1x≤1x－1(x>0所以lnx≥1－1x(x>0)等號(hào)成立的充要條件為x＝1.所以x(lnx＋ex)－4x＋3>x1-1x＋x＋＝x2＋2x＋2－4x＝(x＋1)2－4x＋1≥(2x)2－4x＋1＝(2x－1)2≥0，從而不等式f(x)＋lnx＋3x>4x2.(17分)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)當(dāng)x≥0時(shí)，若不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(8分)(2)若x>0，證明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.(9分)(1)解由條件得f'(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，則h'(x)＝ex－2a.①當(dāng)2a≤1，即a≤12時(shí)，在[0，＋∞)上，h'(x)≥0，h(x)單調(diào)遞增∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(0)＝0，∴當(dāng)a≤12②當(dāng)2a>1，即a>12時(shí)，令h'(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減∴當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，有h(x)<h(0)＝0，即f'(x)<f'(0)＝0，∴f(x)在(0，ln2a)上單調(diào)遞減，∴f(x)<f(0)＝0，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞(2)證明由(1)得，當(dāng)a＝12，且x>0ex>1＋x＋x即ex－1>x＋x要證不等式(ex－1)ln(x＋1)