進階3端點效應端點效應法是一種必要性探路法，是指對某些與函數有關的恒成立問題，通過選取函數定義域內的某些特殊值，先得到一個必要條件，初步獲得參數的范圍，再在該范圍內進行討論，或去驗證其充分性，進而得到參數的準確范圍的方法.1.如圖(1)，如果連續函數f(x)在區間[a，b]上單調，f(x)≥0恒成立，則f(a)≥0且f(b)≥0.2.一階端點效應：如圖(2)，如果連續函數f(x)在某一點x0處的函數值f(x0)恰好為零，則當x≥x0時，f(x)≥0成立的一個必要條件為端點x0處的導數值f'(x0)≥0.因為如果f'(x0)<0，那么函數會在x0右側的一個小區間內先單調遞減，此時函數f(x)在x≥x0時不恒為非負值，不滿足要求，如圖(3).這個方法把某個區間上函數的恒成立問題轉化為判斷端點處的導數值符號，這就是端點效應.類似地，如果連續函數f(x)在某一點x0處的函數值f(x0)恰好為零，當x>x0時，f(x)<0成立的一個必要條件為x0處的導數值f'(x0)<0.3.二階端點效應：如圖(4)，如果連續函數f(x)在區間[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)＝0，f'(a)＝0，則f″(a)≥0.端點效應的核心思想是必要性探路，充分性護航.我們在解決一類恒成立問題時，可以利用端點處需滿足的必要條件縮小參數的取值范圍，而往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.題型一一階端點效應例1設函數f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的導函數.若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍.解依題意，f'(x)＝1由于g(x)＝xf'(x)，x≥0，即g(x)＝x1＋x，而f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋令F(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥則F(x)≥0恒成立.由于F(0)＝0，故此時必須保證函數F(x)在x＝0右側附近區間上單調遞增，即保證F'(x)≥0在x＝0右側附近區間上恒成立，而F'(x)＝1則F'(0)＝1－a，故F'(0)≥0，即a≤1.下證當a≤1時，F(x)≥0恒成立.當a≤1時，函數F'(x)＝1＋x-a(1故函數F(x)在[0，＋∞)上單調遞增，即F(x)≥F(0)＝0，故當a≤1時，函數F(x)≥0恒成立，即原命題成立，故實數a的取值范圍是(－∞，1].思維升華這類恒成立題目，首先要構建一個新的函數使之大于等于0(或者小于等于0)，然后把區間端點代入計算看一下是否恰好為0，再求導，算出端點一階導函數值，若端點一階導函數值不為0，直接令導函數在端點處函數值大于等于0(或者小于等于0)，求出參數范圍然后證明即可.跟蹤訓練1設函數f(x)＝ex－e－x.若對任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.解依題意，若對任意x≥0都有f(x)≥ax，即要保證f(x)－ax≥0恒成立，也就是當x≥0時，ex－e－x－ax≥0恒成立.令F(x)＝ex－e－x－ax(x≥0)，由于F(0)＝e0－e0＝0，要使函數F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即保證F(x)在x＝0右側附近區間上單調遞增，則F'(x)≥0在x＝0右側附近區間上恒成立，而F'(x)＝ex＋e－x－a，且F'(0)＝1＋1－a＝2－a，故F'(0)≥0，即a≤2.下證當a≤2時，F(x)≥0恒成立，當a≤2時，函數F'(x)＝ex＋e－x－a≥ex＋e－x－2≥2ex·e-x故函數F(x)在[0，＋∞)上單調遞增，即F(x)≥F(0)＝0恒成立，故實數a的取值范圍是(－∞，2].題型二二階端點效應例2設函數f(x)＝x(ex－1)－ax2.若當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解由于當x≥0時，函數f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保證函數f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需保證f(x)在x＝0右側附近區間上單調遞增，即保證函數f'(x)≥0在x＝0右側附近區間上恒成立.而f'(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，故f'(0)＝1－1＝0，即此時需保證函數f'(x)在x＝0右側附近區間上單調遞增，即保證函數f″(x)≥0在x＝0右側附近區間上恒成立.而f″(x)＝(x＋2)ex－2a，故f″(0)＝2e0－2a＝2－2a，而要函數f″(x)≥0在x＝0右側附近區間上恒成立，則f″(0)≥0，即a≤1.下證當a≤1時，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，當a≤1時，f″(x)＝(x＋2)ex－2a≥(x＋2)ex－2，令φ(x)＝(x＋2)ex－2，x≥0，則φ'(x)＝(x＋3)ex>0，故函數φ(x)單調遞增，故φ(x)≥φ(0)＝2－2＝0，即f″(x)≥φ(x)≥0，故此時函數f'(x)單調遞增，即f'(x)≥f'(0)＝0，故函數f(x)單調遞增，即f(x)≥f(0)＝0，此時即可得到當a≤1時，函數f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即實數a的取值范圍是(－∞，1].思維升華如果端點處一階導函數值為0，把一階導數當作新函數，令二階導數在端點處函數值大于等于0(或者小于等于0)求出參數范圍，然后證明即可.跟蹤訓練2(2024·全國甲卷改編)已知函數f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解由于當x≥0時f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保證函數f(x)在x＝0的右側附近區間上單調遞增，即保證函數f'(x)≥0在x＝0的右側附近區間上恒成立.而f'(x)＝－aln(1＋x)＋1-ax1＝－aln(1＋x)－(故f'(0)＝0，即此時需保證函數f'(x)在x＝0的右側附近區間上單調遞增，即保證函數f″(x)≥0在x＝0的右側附近區間上恒成立.而f″(x)＝-ax＋1故f″(0)＝－2a－1≥0，即a≤－12下證當a≤－12時，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立當a≤－12時f″(x)＝－ax＋2a＋1所以f'(x)在[0，＋∞)上單調遞增，所以f'(x)≥f'(0)＝0，所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，即f(x)≥f(0)＝0恒成立，綜上，可得a≤－12課時精練[分值：34分]1.(17分)已知函數f(x)＝ex－e－x－ax.若x≥0時，恒有f(x)≥ax，求實數a的取值范圍.解當x≥0時，f(x)≥ax?f(x)－ax≥0，令g(x)＝f(x)－ax＝ex－e－x－2ax(x≥0)，求導得g'(x)＝ex＋e－x－2a，因為g(0)＝0，所以g'(0)≥0，解得a≤1.下證當a≤1時，恒有g(x)≥0.因為g'(x)＝ex＋e－x－2a≥2－2a≥0，所以g(x)單調遞增，g(x)≥g(0)＝0，故實數a的取值范圍為(－∞，1].2.(17分)已知f(x)＝2x－ln(2x＋1)，g(x)＝ex－x－1.(1)求g(x)在點(1，g(1))處的切線方程；(6分)(2)當x≥0時，kf(x)≤g(x)恒成立，求實數k的取值范圍.(11分)解(1)切點坐標為(1，e－2)，且g'(x)＝ex－1，所以g'(1)＝e－1，所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)記F(x)＝kf(x)－g(x)＝k[2x－ln(2x＋1)]－(ex－x－1)(x≥0)，求導得F'(x)＝k2-22x＋1－(＝4kx2x＋1－ex＋1(F″(x)＝4k·(2x＋1)-2x(2x＋1)由F(x)≤0恒成立，且F(0)＝0，F'(0)＝0，從而F″(0)≤0，得k≤14下證當k≤14時，F(x)≤0恒成