§3.5指對同構問題重點解讀把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結構、形式完全相同，構造函數，利用函數的單調性進行處理，找到這個函數模型的方法就是同構法.同構法主要解決含有指數、對數混合的等式或不等式問題.題型一雙變量地位同等同構例1若對0<x1<x2<a都有lnx2x1x1x2<2x2－2x1成立，A.1 B.2 C.e D.2e答案B解析由lnx2x1x1x2<2x2－2x1，0<x得x1x2(lnx2－lnx1)<2x2－2x1，則lnx2－lnx1<2即lnx2－lnx1<2有lnx2＋2x2<lnx1＋2令f(x)＝lnx＋2x(x>0)，則f(x2)<f(x1)所以f'(x)＝1令f'(x)>0?x>2，令f'(x)<0?0<x<2，所以函數f(x)的單調遞增區間為(2，＋∞)，單調遞減區間為(0，2)，所以當0<x1<x2<2時，f(x2)<f(x1)恒成立，所以0<a≤2，故a的最大值為2.思維升華含有地位同等的兩個變量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果進行整理(即同構)后，等式或不等式兩邊具有結構的一致性，往往暗示應構造函數，應用函數單調性解決.跟蹤訓練1若0<x1<x2<1，則下列不等式正確的是()A.x1lnx1<x2lnx2 B.x1lnx1>x2lnx2C.x2lnx1<x1lnx2 D.x2lnx1>x1lnx2答案C解析令f(x)＝xlnx，則f'(x)＝1＋lnx，當0<x<1時，f'(x)的正負不能確定，故x1lnx1與x2lnx2的大小不能確定，故選項A，B錯誤；令g(x)＝lnxx，則g'(x當0<x<1時，g'(x)＝1-lnxx2>0，則g(x)在(0，1因為0<x1<x2<1，所以g(x1)<g(x2)，即lnx1x1<lnx2x2，即x2lnx1<x1lnx2題型二指對同構法的理解指對同構的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：①同左構造形式：aea≤lnbelnb，構造函數f(x)＝xex；②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數f(x)＝xlnx；③取對構造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左構造形式：eaa≤elnblnb，構造函數②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數③取對構造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：①同左構造形式：ea±a>elnb±lnb，構造函數f(x)＝ex±x；②同右構造形式：ea±lnea>b±lnb，構造函數f(x)＝x±lnx.例2(1)(多選)若ea＋a>b＋lnb(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b答案AC解析方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，則f(a)>f(lnb)，因為f(x)在R上是增函數，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，則g(ea)>g(b)，因為g(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以ea>b，即a>lnb.(2)(2025·宜春模擬)在數學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于a的方程aea－2＝e4和關于b的方程b(lnb－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化為同構方程，則ab的值為.答案e8解析對aea－2＝e4兩邊取自然對數，得lna＋a＝6，①對b(lnb－2)＝e3λ－1兩邊取自然對數，得lnb＋ln(lnb－2)＝3λ－1，即lnb－2＋ln(lnb－2)＝3λ－3，②因為方程①②為兩個同構方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，設F(x)＝lnx＋x且x>0，則F'(x)＝1x＋1>0所以F(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故F(x)＝6的解只有一個，所以a＝lnb－2，則ab＝b(lnb－2)＝e3×3－1＝e8.思維升華利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過冪轉指或冪轉對進行等價變形，構造函數，然后由構造的函數的單調性進行研究.跟蹤訓練2(多選)對不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx進行指對同構時，可以構造的函數是()A.f(x)＝lnx＋x B.f(x)＝xlnxC.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝x答案AC解析由恒等式x＝lnex可得ax＝lneax，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可變形為lneax＋eax>ln(bx)＋bx，構造函數f(x)＝lnx＋x，可得f(eax)>f(bx).同理，由恒等式x＝elnx可得bx＝eln(bx)，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可變形為ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，構造函數f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).題型三同構法的應用例3(1)設實數k>0，對于任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，則k的最小值為.答案1解析由kekx≥lnx得kxekx≥xlnx，即kxekx≥elnx·lnx，令f(x)＝xex，則f(kx)≥f(lnx).因為f'(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，因為kx>0，lnx>0，所以kx≥lnx，即k≥ln令h(x)＝lnxx(x>1)，則h'(x)當x∈(1，e)時，h'(x)>0，h(x)單調遞增；當x∈(e，＋∞)時，h'(x)<0，h(x)單調遞減，所以h(x)max＝h(e)＝1e，即k所以k的最小值為1e(2)(2025·衡陽模擬)已知m是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一個根，則e2-me-1＋(e－1)lnm等于A.1 B.2 C.3 D.5答案B解析xeex－2＋(e－1)lnx＝2?eelnx＋x－2＋elnx＋x－2＝x＋lnx＝elnx＋lnx，設f(t)＝et＋t，則f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)單調遞增，由f(elnx＋x－2)＝f(lnx)得elnx＋x－2＝lnx，即(e－1)lnx＝2－x.因為m是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一個根，所以(e－1)lnm＝2－m，所以m＝e所以e2-me-1＋(e－1)lnm＝m＋(e－1)lnm＝m＋2－m思維升華常見的同構函數有：①f(x)＝lnxx；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝其中①④可以借助lnxx＝lnxelnx＝tet，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝跟蹤訓練3(1)(2024·呂梁模擬)若關于x的不等式ea＋x·lnx<x2＋ax對?x∈(0，1)恒成立，則實數a的取值范圍為()A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)答案C解析由ea＋x·lnx<x2＋ax在(0，1)上恒成立，可得lnxx<a＋xea＋x即lnxelnx<a＋xea當a≥0時，lnxeln不等式lnxelnx<a＋xe當a<0時，令f(x)＝x則f(lnx)<f(a＋x)在(0，1)上恒成立，f'(x)＝1-xex，當x∈(－∞，1)時，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，又當x∈(0，1)時，lnx∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，所以只需lnx<a＋x在(0，1)上恒成立，即a>lnx－x在(0，1)上恒成立.令g(x)＝lnx－x，0<x<1，則g'(x)＝1-xx即g(x)在(0，1)上單調遞增，其中g(1)＝ln1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，所以－1≤a<0.綜上，a≥－1.(2)已知e為自然對數的底數，a，b均為大于1的實數，若aea＋1＋b<blnb，則()A.b<ea＋1 B.b>ea＋1C.ab<e D.ab>e答案B解析由aea＋1＋b<blnb，可得aea＋1<blnb－b＝b(lnb－1)＝blnbe，即ealnea<b設f(x)＝xlnx，可得f(ea)<fb因為a>1，可得ea>e，又因為b(lnb－1)>0，b>1，所以lnb>1，即b>e，所以be>1易知當x>1時，f'(x)＝lnx＋1>0，可得函數f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以ea<be，即b>ea＋課時精練[分值：45分]一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.設x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，則下列選項正確的是()A.x>y B.x>lnyC.x<y D.x<lny答案B解析不等式ex＋lny>x＋y等價于ex－x>y－lny，令f(x)＝ex－x，則f(lny)＝elny－lny＝y－lny，∴不等式ex－x>y－lny等價于f(x)>f(lny)，∵f'(x)＝ex－1，∴當x∈(0，＋∞)時，f'(x)>0，f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，∴若y∈(1，＋∞)，則lny∈(0，＋∞)，由f(x)>f(lny)有x>lny；若y∈(0，1]，則lny≤0，由x>0，有x>lny.綜上所述，x>lny.2.若關于x的不等式ex＋x＋ln1x≥mx＋lnm恒成立，則實數m的最大值為(A.2 B.e C.3 D.e2答案B解析由題意得，m>0，x>0，不等式等價于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，即ex＋lnex≥mx＋ln(mx)恒成立，令f(x)＝x＋lnx，則不等式轉化為f(ex)≥f(mx)，因為f'(x)＝1＋1x>0所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以ex≥mx，則exx≥令g(x)＝exx，則g'(x)＝e則當0<x<1時，g'(x)<0，g(x)單調遞減；當x>1時，g'(x)>0，g(x)單調遞增，所以當x＝1時，g(x)有最小值，即g(x)min＝g(1)＝e，則m≤e，則m的最大值為e.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)3.(2025·邯鄲模擬)已知a>0，b∈R，e是自然對數的底數，若b＋eb＝a＋lna，則a－b的值可以是()A.－1 B.1 C.2 D.3答案BCD解析設函數f(x)＝x＋ex，則f(x)在R上是增函數，所以b＋eb－(a＋lna)＝b＋eb－(lna＋elna)＝f(b)－f(lna)＝0，所以b＝lna，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，令g(x)＝ex－x，則g'(x)＝ex－1，當x<0時，g'(x)<0，g(x)單調遞減；當x>0時，g'(x)>0，g(x)單調遞增，所以g(x)≥g(0)＝1，從而a－b≥1，結合選項，選項BCD符合題意.4.(2024·鹽城模擬)若不等式ax－exlna<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，則實數a的值可以為()A.3e B.2e C.e D.2答案BCD解析由題意得a>0，由ax－exlna<0得xex設f(x)＝xex，則f'(x當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當x>1時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，又f(0)＝0，f(1)＝1e，當x>0時，f(x)＝xe所以f(x)＝xexxex<lnaelna，即f(x)<f(ln對于A，當a＝3e時，lna＝ln3＋1>2，根據圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上不恒成立，A錯誤；對于B，當a＝2e時，lna＝ln2＋1∈(1，2)，根據圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，B正確；對于C，當a＝e時，lna＝1，根據圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，C正確；對于D，當a＝2時，lna＝ln2，又f(ln2)＝ln2eln2＝12ln2，f因為3×12ln2－3×2e2＝ln且22>e，e2>6，即ln22>1，6e所以3×12ln2－3×2e2＝ln2即f(ln2)>f(2)，根據圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)5.(2025·長春模擬)不等式xex＋alnxxa≥0(a<0)對?x∈(1，＋∞)恒成立，則實數a答案[－e，0)解析由xex＋alnxxxex≥－alnxxa＝－alnx·e－a令f(x)＝xex(x>0)，則f'(x)＝(x＋1)ex>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，因為a<0，x∈(1，＋∞)，則－alnx>0，則f(x)≥f(－alnx)，可得x≥－alnx，即a≥－xlnx對?x∈(1，＋∞)令g(x)＝xlnx，則g'(x)＝ln由g'(x)＝0可得x＝e，故當1<x<e時，g'(x)<0，當x>e時，g'(x)>0，所以g(x)在(1，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增，所以g(x)min＝g(e)＝e，得a≥-xlnx又a<0，所以－e≤a<0.6.(2025·渭南模擬)已知實數x1，x2滿足ex1＝4x1，lnx2＝2x答案4解析由e可得x1ex1＝4，故x1由lnx2＝2x22，可得x22可得elnx22·lnx22＝4，令f(x)＝xex，則f(x1)＝f(lnx22f'(x)＝(x＋1)ex，當x>0時，f'(x)>0，所以函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增.由f(x1)＝f(lnx22)得x1＝ln所以e因為x1ex1＝4，所以x1x2