§7.9立體幾何中的截面、交線問題重點解讀“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創新意識的題型，它滲透了一些動態的線、面等元素，給靜態的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面積等相結合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.題型一作截面例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出過點D，M，N的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.解方法一如圖所示，五邊形DQMFN即為所求截面.作法如下：連接DN并延長交D1C1的延長線于點E，連接ME交B1C1于點F，延長EM交D1A1的延長線于點H，連接DH交AA1于點Q，連接QM，FN，則五邊形DQMFN即為所求截面.方法二連接DN，過點M作DN的平行線交AA1于Q點，連接DQ，過N作DQ的平行線交B1C1于F點，連接MF，則五邊形DQMFN即為所求截面.思維升華作截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.跟蹤訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別為BC，CD，DD1的中點，作出過點E，F，G的平面截正方體的截面.解如圖，過點G作EF的平行線交BB1于點J，過點J作FG的平行線交A1B1于點I，過點I作EF的平行線交A1D1于點H，易知點J，I，H都在截面EFG內，且都是其所在棱的中點，從而所得截面是正六邊形EFGHIJ.題型二截面圖形的形狀判斷例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是線段BB1上靠近B1的三等分點，點F是線段D1C1上靠近D1的三等分點，則平面AEF截正方體ABCD-A1B1C1D1形成的截面圖形為()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形答案C解析如圖，設AB=6，分別延長AE，A1B1交于點G，此時B1G=3，連接FG交B1C1于點H，連接EH，設平面AEF與平面DCC1D1的交線為l，則F∈l，因為平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面AEF∩平面ABB1A1=AE，平面AEF∩平面DCC1D1=l，所以l∥AE，設l∩D1D=I，則FI∥AE，此時△FD1I∽△ABE，故ID1=43，連接AI所以五邊形AIFHE為所求截面圖形.思維升華判斷幾何體被一個平面所截的截面形狀，關鍵在于弄清這個平面與幾何體的面相交成線的形狀和位置.跟蹤訓練2如圖，正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長都相等，P為線段BB'的中點，Q為側面BB'C'C內的一點(包括邊界，異于點P)，過點A，P，Q作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是()A.五邊形 B.四邊形C.等腰三角形 D.直角三角形答案A解析對于B，當PQ的延長線與線段B'C'(除端點外)相交于點F時，延長PQ交CC'的延長線于點D，連接AD交A'C'于點E，連接EF，如圖1，圖1此時過點A，P，Q作正三棱柱的截面為四邊形APFE(當Q在線段B'C'(除端點外)上時，截面也為四邊形)，故截面的形狀可能是B；對于A，當PQ的延長線與線段CC'或BC(除B點外)相交(或點Q在線段CC'或BC(除B點外)上)時，截面為三角形，結合B選項可知，截面為三角形或四邊形，不可能為五邊形，故截面的形狀不可能是A；對于C，取CC'的中點為Q，連接PQ，AQ，如圖2，又P為線段BB'的中點，圖2所以AP=AQ，所以△APQ為等腰三角形，故截面的形狀可能是C；對于D，取BC的中點為Q，連接AQ，PQ，如圖3，圖3因為三棱柱ABC-A'B'C'為正三棱柱，所以AQ⊥BC，又BB'⊥平面ABC，AQ?平面ABC，所以BB'⊥AQ，又BC∩BB'=B，BC，BB'?平面BB'C'C，所以AQ⊥平面BB'C'C，又PQ?平面BB'C'C，所以AQ⊥PQ，所以△APQ為直角三角形，故截面的形狀可能是D.題型三截面圖形的周長或面積例3(2024·呼和浩特模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M為棱DC的中點，N為側面BC1的中心，過點M的平面α垂直于DN，則平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面面積為()A.4(5+2)C.53 D.46答案D解析如圖所示，取BC，CC1的中點E，F，分別連接NE，NF，DE，DF，AD1，D1M，AM，在正方形ABCD中，因為M，E分別為DC，BC的中點，可得△ADM∽△DCE，所以∠DAM=∠CDE，∠AMD=∠CED，因為∠ADM=90°，所以∠AMD+∠CDE=∠AMD+∠DAM=90°，所以∠DPM=90°，即AM⊥DE，又因為E，N分別為BC，BC1的中點，所以NE∥CC1，因為CC1⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以CC1⊥AM，所以AM⊥NE，又因為DE∩NE=E且DE，NE?平面DNE，所以AM⊥平面DNE，因為DN?平面DNE，所以AM⊥DN，同理可證D1M⊥DN，又因為AM∩D1M=M且AM，D1M?平面AD1M，所以DN⊥平面AD1M，即平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面為△AD1M，由正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，在Rt△ADD1中，可得AD1=AD2+DD在Rt△ADM中，可得AM=AD2+DM在Rt△DD1M中，可得D1M=DD12+D所以截面的面積為S=12×42×(25)思維升華幾何體的截面的相關計算，關鍵在于根據公理作出所求的截面，再運用解三角形的相關知識得以解決.跟蹤訓練3如圖所示，棱長為3的正四面體形狀的木塊，點P是△ABC的重心，過點P將木塊鋸開，并使得截面平行于AD和BC，則截面的面積為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由題意可知，點P是△ABC的重心，過點P作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F，作FG∥AD交CD于點G，設平面EFG與BD交于點H，連接HG，EH，由于BC?平面EFG，EF?平面EFG，故BC∥平面EFG，因為FG∥AD，AD?平面EFG，FG?平面EFG，所以AD∥平面EFG，即四邊形EFGH即為所求截面，由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD=HG，BC?平面BCD，故BC∥HG∥EF，同理FG∥EH，故四邊形EFGH為平行四邊形，設M為BC的中點，連接AM，DM，則AM⊥BC，DM⊥BC，AM，DM?平面ADM，AM∩DM=M，故BC⊥平面ADM，AD?平面ADM，故BC⊥AD，而EF∥BC，FG∥AD，故EF⊥FG，即平行四邊形EFGH為矩形，即所求截面是矩形，因為點P是△ABC的重心，則AP=23AM故EF=23BC=2，AF=23所以FG=13AD=1，故矩形EFGH的面積為EF×FG=2，即截面的面積為課時精練[分值：42分]一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，如果點E是AA1的中點，那么過點D1，B，E截正方體所得的截面圖形為()A.三角形 B.矩形C.正方形 D.菱形答案D解析分別取BB1，CC1的中點G，F，連接A1G，BF，D1F，GF，如圖，四邊形D1EBF即為過點D1，B，E截正方體所得的截面圖形，由題意可知A1E∥GB且A1E=GB，所以四邊形A1EBG為平行四邊形，所以A1G∥EB，又因為GF∥B1C1且GF=B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1=B1C1，所以A1D1∥GF且A1D1=GF，所以四邊形A1GFD1為平行四邊形，所以D1F∥A1G，所以D1F∥EB，同理ED1∥BF，所以四邊形D1EBF為平行四邊形，又因為EB=BF，所以平行四邊形D1EBF為菱形.2.在三棱錐P-ABC中，AB+2PC=9，E為線段AP上更靠近P的三等分點，過E作平行于AB，PC的平面，則該平面截三棱錐P-ABC所得截面的周長為()A.5 B.6 C.8 D.9答案B解析如圖所示，在三棱錐P-ABC中，過E分別作EF∥AB，EH∥PC，再分別過點H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四點共面，因為AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可證，PC∥平面EFGH，所以截面即為平行四邊形EFGH，又由E為線段AP上更靠近P的三等分點，且AB+2PC=9，所以EF=13AB，EH=23所以平行四邊形EFGH的周長為2(EF+EH)=23(AB+2PC)3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，點M在線段BC(不包括端點)上，點N在線段CC1上，且CN=13，若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形，則線段BM長的取值范圍為(A.23，C.0，1答案D解析要想平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形，則要平面AMN與正方形BCC1B1，ADD1A1分別交于MN，AR，顯然與正方形ABB1A1無交線，只需保證與正方形A1B1C1D1無交線即可，因為平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AMNR與兩個平面分別交于MN，AR，由面面平行的性質可得MN∥AR，因為點N在線段CC1上，且CN=13由幾何關系知，隨著BM的增大，AR增大，故當R與D1重合時，BM最大，因為正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，所以正方體棱長為1，連接AD1，D1N，如圖所示，由于MN∥AD1，故△ADD1∽△MCN，故CM=CN=13，故BM最長為2故BM長的取值范圍是0，4.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，與直線A1C垂直的平面α截該正方體所得的截面多邊形為M，則M的面積的最大值為()A.338 B.334答案B解析連接A1B，因為BC⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，且AB1⊥A1B，A1B∩BC=B，BC，A1B?平面A1BC，圖①圖②所以AB1⊥平面A1BC，A1C?平面A1BC，所以AB1⊥A1C，同理B1D1⊥A1C，且AB1∩B1D1=B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以平面α為平面AB1D1或與其平行的平面，M只能為三角形或六邊形.當M為三角形時，其面積的最大值為34×(2)2=32，當M為六邊形時設KD=x，則AK=1-x，KL=2(1-x)，KE=2x，依次可以表示出六邊形的邊長，如圖②所示，六邊形可看作由兩個等腰梯形構成，其中LP∥KO∥EN，KO=2，兩個等腰梯形的高分別為62(1-x)，62則S六邊形LKENOP=12(2x+2)·62(1-x)+12[2(1-x=32(-2x2+2x+1)=-3當且僅當x=12時，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時截面面積最大，最大值為3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點Q是棱DD1上的動點，則過A，Q，B1三點的截面圖形可能是()A.等邊三角形 B.矩形C.等腰梯形 D.正方形答案ABC解析當點Q與點D1重合時，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖(1)；當點Q與點D重合時，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖(2)；當點Q不與點D，D1重合時，若Q，R滿足D1Q=D1R，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖(3)，不可能為正方形.6.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則()A.直線A1G與平面AEF平行B.V三棱錐EC.過A1C的平面截此正方體所得的截面可能不是四邊形D.過A1C的平面截此正方體所得的截面面積的取值范圍是6答案ABD解析對于A，取B1C1的中點H，分別連接GH，A1H，如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得A1H∥AE，因為A1H?平面AEF，且AE?平面AEF，所以A1H∥平面AEF，又由E，F，G，H分別為正方形BCC1B1的邊BC，CC1，BB1，B1C1的中點，可得GH∥EF，因為GH?平面AEF，且EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF，又因為A1H∩GH=H，且A1H，GH?平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，因為A1G?平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，所以A正確；對于B，由E，F，G分別為正方形BCC1B1的邊BC，CC1，BB1的中點，可得S△EFG=14S正方形BCC1B1=14，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得A1即A1到平面BCC1B1的距離為A1B1=1，又由V三棱錐E-A1FG=V三棱錐A1-EFG=13S△EFG·A1B對于C，連接A1D，B1C，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1∥CD，且B1C∥A1D，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，其中A1C?平面A1B1CD，所以過A1C的平面截此正方體所得的截面可能是四邊形，所以C錯誤；對于D，如圖2所示，當截面為矩形ACC1A1時，此時點C1到A1C的距離最遠，所以截面的面積最大