§2.7指數運算與對數運算課標要求1.理解有理數指數冪的含義,了解實數指數冪的意義,掌握指數冪的運算性質.2.理解對數的概念及運算性質,能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.3.掌握指數、對數運算在實際問題中的應用.1.根式(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子na叫做根式,這里n叫做根指數,a叫做被開方數(3)(na)n＝a當n為奇數時,nan當n為偶數時,nan＝|a2.分數指數冪正數的正分數指數冪：amn＝nam(a>0,m,n∈N正數的負分數指數冪：a-mn＝1amn＝1nam(a0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.3.指數冪的運算性質aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).4.對數的概念一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x＝logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.以10為底的對數叫做常用對數,記作lgN.

以e為底的對數叫做自然對數,記作lnN.

5.對數的性質與運算性質(1)對數的性質：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N(a>0,且a≠1(2)對數的運算性質如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)對數換底公式：logab＝logcblogca(a>0,且a≠1；b>0；c>01.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)4(-4)4＝－4.((2)若M＝N,則logaM＝logaN.(×)(3)2a·2b＝2ab.(×)(4)lg2＋lg5＝1.(√)2.(多選)下列運算正確的有()A.lg2＋lg3＝lg5B.log3100＝10log310C.4logD.log34·log43＝1答案CD解析lg2＋lg3＝lg6,故A錯誤；log3100＝2log310,故B錯誤；4log45＝5log34·log43＝1,故D正確.3.若a25＝425(a>0且a≠1),則logaA.254 B.2 C.15 D答案C解析由a25＝4∴loga252＝2∴loga254.2723＋4log43答案11解析2723＋4log43－lg5－lg2＝(33)23＋3－(lg5＋lg2)＝32＋31.靈活應用化簡指數冪常用的技巧(1)ba-p＝a(2)a＝(a1m)m,anm＝(a1(3)1的代換,如1＝a－1a(a>0),1＝a-12a1(4)乘法公式的常見變形,如(a12＋b12)(a12－b12(a12±b12)2＝a±2a12b12(a13＋b13)(a23?a13b12.謹防兩個失誤點(1)凡涉及對數,其真數與底數的取值范圍一定不能忽略.(2)在使用運算公式時,注意指數和對數中的和積之間的轉化.題型一指數運算例1(1)(多選)下列各式正確的是(式中字母均是正數)()A.aB.4a4C.(62D.a-2答案ABC解析對于A,a46對于B,4a4＝|a|＝a,對于C,(62)2＝62×對于D,a-23(2)(多選)下列運算正確的是(式中字母均是正數)()A.0.2512＋(5πB.278-23－4990.5＋(0.008)C.(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36a·D.若x12答案BD解析對于A,0.2512＋(5π)0－2－1＝0.對于B,278-23－4990.5＋(0.008)-23×125＋(π－1)0＝32-2－7對于C,原式＝(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)＝[2×(－6)÷(－對于D,當x12＋x-12＝6時,(x12＋x-12)2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由(x＋x-1)2＝思維升華(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統一為整數的分數指數冪,以便利用法則計算,還應注意：①必須同底數冪相乘,指數才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既有分母又含有負指數.跟蹤訓練1計算下列各式(式中字母均是正數)：(1)14-1(2)0.125解(1)14-＝412·(4ab-1(2)0.＝123-13－1＋＝2＋1＋8×9＝75.題型二對數運算例2(1)(多選)下列運算中正確的是()A.log37loB.8C.x＝lnexD.12-log26＋ln答案BCD解析對于A,log37log35對于B,827-對于C,x＝lnex,故C正確；對于D,12-log26＋ln(lne)＝2log26＋ln1＝(2)(多選)(2025·焦作模擬)下列等式成立的是()A.lg2＋lg5-lg8B.lg4＋lg5-1C.lg14－2lg73＋lg7－lg18＝D.(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝2答案AC解析lg2＋lg5-lg8lg50-lg40＝lglg4＋lg5-12lg0.5＋lg8lg14－2lg73＋lg7－lg18＝(lg7＋lg2)－(2lg7－2lg3)＋lg7－(2lg3＋lg2)＝0,C(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1,D不成立.思維升華解決對數運算問題的常用方法(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡.(2)將同底對數的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.跟蹤訓練2(1)(多選)設a,b,c均為不等于1的正實數,則下列等式中不成立的是()A.logab·logca＝logcbB.logab·logcb＝logcaC.loga(b＋c)＝logab＝logacD.loga(bc)＝logab·logac答案BCD解析對于A,logab·logca＝lgblga·lgalgc＝lg對于B,logab·logcb＝lgblga·lgblgc,而log對于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,則b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,顯然不符合要求,故C錯誤；對于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D錯誤.(2)(2025·八省聯考)已知函數f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln2)f(ln4)=8,則a=.

答案e解析f(ln2)f(ln4)=aln2aln4=aln2+ln4=a3ln2=aln∴aln2=2,∴a=e.題型三指對運算的應用例3(1)(2024·重慶模擬)在經濟學中,常用Logistic回歸模型來分析還款信度評價問題.某銀行統計得到如下Logistic模型：P(x)＝e-0.97＋0.127x1＋e-0.97＋0.127x,其中x是客戶年收入(單位：萬元),P(x)是按時還款概率的預測值,如果某人年收入是10萬元,那么他按時還款概率的預測值大約為A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68答案C解析由題意得ln1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝e-0.97＋1.271＋e(2)(2024·貴陽模擬)電動汽車逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向.1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C(單位：Ah)、放電時間t(單位：h)和放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式：C＝Iλt,其中λ為與蓄電池結構有關的常數(稱為Peukert常數),在電池容量不變的條件下,當放電電流為7.5A時,放電時間為60h；當放電電流為25A時,放電時間為15h,則該蓄電池的Peukert常數λ約為(參考數據：lg2≈0.301,lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15答案D解析由題意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,所以257.5λ＝兩邊取以10為底的對數,得λlg103＝2lg2所以λ＝2lg21-lg3≈2×0.3011-0.477思維升華利用指數、對數運算解決實際問題時認清所給函數模型、變量、參數,利用待定系數法確定參數的值,然后解決問題.跟蹤訓練3(1)蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中,為了簡化其中的大數之間的計算而發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知lg5≈0.699,則231是()A.9位數 B.10位數C.11位數 D.12位數答案B解析記231＝M,則31×lg2＝lgM,則lgM＝31×(1－lg5)≈9.331,則M≈109.331∈(109,1010),故231是10位數.(2)(2024·恩施模擬)區塊鏈作為一種革新技術,已經應用于許多領域,在區塊鏈技術中,若密碼的長度設定為256比特,則密碼一共有2256種可能,因此為了破解密碼,最壞情況需要進行2256次運算.現在有一臺機器,每秒能進行2.5×1011次運算,假設機器一直正常運轉,那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需的時間大約為(參考數據：lg2≈0.301,100.658≈4.5)()A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒答案A解析由題意知所需時間t＝22562.5×10∴lgt＝256lg2－(lg2.5＋11)＝256lg2－lg104＋11＝258lg2－∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.下列各式正確的是()A.(-3)2＝－3 B.log2x2＝2logC.22＝2 D.a0＝答案C解析(-3)2＝3,故A錯誤；log2x2＝2log2|x|,故B錯誤；22＝2,故C正確；a0＝1,當a≠0時成立,故2.21＋logA.4 B.6 C.8 D.10答案B解析因為log23＝log2312log2212＝log23.若2x＝52,lg2≈0.301,則x的值約為(A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669答案A解析因為2x＝52,lg2≈0.所以x＝log252＝lg5-lg2lg2＝1-2lg24.(2024·武漢模擬)已知ab≠1,logam＝2,logbm＝3,則logabm等于()A.16 B.15 C.56答案D解析由換底公式得,logma＝1logam＝所以logabm＝1lo5.數學家歐拉研究調和級數得到了以下的結果：當x較大時,1＋12＋13＋…＋1x≈lnx＋γ(x∈N*,常數γ＝0.557…).利用以上公式,可以估算1101＋1A.ln30 B.ln3C.－ln3 D.－ln30答案B解析依題意可得1＋12＋13＋…＋1300≈ln1＋12＋13＋…＋1100≈ln兩式相減可得1101＋1102＋…＋1300≈ln300－ln1006.(2024·大連模擬)本福特定律指出,一個沒有人為編造的自然生成的數據(為正實數)中,首位非零的數字是1~9這九個事件并不是等可能的,而是大約遵循這樣一個公式：隨機變量ξ是一個沒有人為編造的首位非零數字,則P(ξ＝k)＝lg1＋1k(k＝1,2,…,9),則根據本福特定律,在一個沒有人為編造的數據中,首位非零數字是8的概率約是(參考數據：lg2≈0.301,lg3≈0.477A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067答案B解析由題意可得P(ξ＝8)＝lg98＝lg9－lg8＝2lg3－3lg2≈2×0.477－3×0.301＝0.051二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.下列判斷正確的有()A.4(3-π)4＝B.lnm·lnn＝ln(m＋n)(其中m>0,n>0)C.a·a·a＝a7D.27答案ACD解析對于A,4(3-π)4＝|3－π|＝π－對于B,由對數性質可知ln(mn)＝lnm＋lnn,B錯誤；對于C,a·a·對于D,27-13＝(33)-13＝3－1＝8.以下運算中正確的有()A.若lg3＝m,lg2＝n,則log518＝2B.[(1-2)2]C.13-2－2ln(lnee)D.log23·log94＝2答案AC解析對于A,log518＝lg18lg5＝lg2對于B,[(1-2)2]12－(1＋2)-1＋(1＋2對于C,13-2－2ln(lnee)＝9－2lne＝9－2＝7,對于D,log23·log94＝log23·log24log29＝log23·2三、填空題(每小題5分,共10分)9.278-13＋log43·log32＋2答案5解析278-13＋log43·log＋14log23·log32＋210.(2024·荊州模擬)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝22,則loga1a2…答案2解析因為loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝22,則bi＝ai22(i＝所以loga1a2…a10(b1b2四、解答題(共27分)11.(13分)計算下列各式的值：(1)-338-23＋0.002-(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－eln54.(解(1)-338-2＝(-1)-23＝323×-23＋50012＝49＋105－105－20＋1＝－167(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－e＝lo＝32log32×56log23－54＝32×56×log32×log12.(14分)已知P＝80.25×42＋2764-13－(－2024)0,Q＝2log32－log(1)分別求P和Q；(8分)(2)若2a＝5b＝m,且1a＋1b＝Q,求m.解(1)P＝80.25×42＋2764-13－＝(8×2＝2＋43－1＝Q＝2log32－log3329＋log38＝log34÷329×8＝(2)因為2a＝5b＝m>0,