離散數學作業布置

第1次作業(P15)

1.16設p、q的真值為0；r、s的真值為1,求下列各命題公式的真值。

解：(l)pV(qAr)=OV(OAl)=O

(2)(p?r)A(「qVs尸6?1)A(1V1)=OA1=O

(3)(FpArqAr)?(pAqArr)=(lAlAl)?(OAOAO)=O

(4)(rAs)—(pAq)=(OAl)—(1AO)=O-0=11.17判斷下面一段論述是否為真：“冗是無

理數。并且，如果3是無理數，則

也是無理數。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。”

解$)P九是無理數1

⑹:3是無理數0

r：邁是無理數1

再用真值表

s：6能被2整除

t：6能被4整除

命題符號化為：pA(q-r)A(t-s)的真值為1,所以這一段的論述為真。用真值表

19判斷下列公式的類型：

⑷(p-q)—([q-[p)A-q)

(5)

(DAr)?(rDAra)

(6)((p-q)A(q—r))—(p-r)

解：(4)

PqP-qqPq-p(p-q)—(q-p)

0Oil111

0

110j11

1

001o01

1

110o11

所以公式類型為永真式，最后一列全為1

公式類型為可滿足式(方法如上例)，最后一列至少有一個1公式類型為永真式(方法如

上例，最后一列全為1)。

第2次作業(P38)

2.3用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，

法求出成真賦值.

(1)](pAq—q)

(2)(p-(pVq))V(p-r)

⑶(pVq)—(pAr)

解:(1)r(pAq-q)r(J(pAq)Vq)(pAq)AFqpA(q

pAOO

所以公式類型為矛盾式

(2)(p-(pVq))V(p-r)(「pV(pVq))V(fpVr)「pVpVqVrl

所以公式類型為永真式

(3)(pVq)—(pAr)\(pVq)V(pAr)(「pA「q)V(p/\r)

易見,是可滿足式，但不是重言式.成真賦值為:000,001,101,111

pqrrpArqpAr(rpArq)V(pAr)

000i01

001i01

0i0000

0iI000

100000

101011

1i0000

1i1011

所以公式類型為可滿足式

2.4用等值演算法證明下面等值式：

⑵((p-q)A(p-r))(p—(qAr))

(4)(p/\Jq)V(FpAq)(pVq)A[(pAq)

證明⑵(p-q)A(p-r)

(rpVq)A(FpVr)

rpV(qAr))

P—(qAr)

(4)(pAFq)V(fpAq)(pV(fpAq))A(「qV(fpAq))

(pVFp)A(pVq)A(fqVFp)A([qVq)

1A(pVq)A(rpVrq)Al

(pVq)Ar(pAq)

第3次作業(P38)

2.5求下列公式的主析取范式，并求成真賦值：

⑵(’「)一(FqVp)

(3)(Fp-q)AqAr

⑶(pV(qAr))(pVqVr)

(4)f(p—q)AqAr

曲：

(1)(rp-q)—(FqVp)

[(pVq)V(TqVp)

FpA「qV「qVp

「qVp(吸收律)

(fpVp)ArqVpA(「qVq)

FpAFqVpArqVpAFqVpAq

mOVm2vm2Vm3

movm2Vm3

成真賦值為00.10.11.

(4)(「p-q)AqAr

(pVq)AqAr

(pAqAr)VqAr

(pAqAr)V(fpVp)AqAr

pAqArV「pAqArVpAqAr

m3Vm7

成真賦值為oil,111.

⑶(pV(qAr))—(pVqVr)

F(pV(qAr))V(pVqVr)

[pAr(qAr)V(pVqVr)

「pA([qVFr)V(pVqVr)

rpAFqV「pAFrVpVqVr

FpAFqA(rVFr)VFpA(qVFq)A[rVpA(qV「q)A(rV[r)V(pV\p)AqA(rVFr)

V(pVFp)A(qVFq)Ar

mc)vm12vm3Vmi\'m5Vm6Vm7，為重言式.

(4)F(p—q)AqAr

F([pVq)AqAr

(pAFq)AqAr

pA(FqAq)Ar

0

主析取范式為0,無成真賦值，為矛盾式.

第4次作業(P38)

2.6求下列公式的主合取范式，并求成假賦值：

(1)r(q-[p)7kTp

(2)(pAq)V(FpVr)

(3)(p-(pVq))Vr

解：

(i)r(q—tp)Arp

r([qvrp)A-p

qApAFp

qAO

0

M0AM1AM2AM3

這是矛盾式.成假賦值為00,01,10,11.

(2)(pAq)V(FpVr)

(pAq)VFpVr

(pVFp)A(FpVq)Vr

(TpVq)Vr

rpVqVr

M，i,成假賦值為100.

(3)(p-(pVq))Vr

(FpV(pVq))Vr

(FpVp)VqVr

1

主合取范式為1,為重言式.

第5次作業(P41)

⑴用消解原理證明下述公式是矛盾式:

第6次作業(P52)

3.6判斷下面推理是否正確.先將簡單命題符號化，再寫出前提，結論，推理的

形式結構(以蘊涵式的形式給

(1)若今天是星期，則明天是星期三；今天是星期一明所以明天是星期三.

一，則明天是星期二；天是星期二所以今天是星期一.

⑵若今天是星期，則明天是星期三；明天不是星期三

.所以今天不是星期一.

小廿八十n,IUa，則明天足星期二；今天不是星期一所以明天不是星期二

出)和判斷過程(至少給出兩種判斷方法)：

(5)若今天是星期一，則明天是星期二或星期三.今天是星期一.所以明天是星期二.

(6)今天是星期一當且僅當明天是星期三；今天不是星期一.所以明天不是星期三

設P：今天是星期一，q：明天是星期二，「明天是星期三.

⑴推理的形式結構為

(P-r)Ap-r

此形式結構為重言式，即

(p-r)Apr

所以推理正確.

⑵推理的形式結構為

(P—q)Aq-p

此形式結構不是重言式，故推理不正確.

⑶推理形式結構為

(p—r)AFr-Fp

此形式結構為重言式，即

(p—r)AFrFp

標推理正確.

⑷推理形式結構為

(P—q)AFp-Fq

此形式結構不是重言式，故推理不正確.

⑸推理形式結構為

(p-(qVr))Ap-q

它不是重言式，故推理不正確.

⑹推理形式結構為

(p?r)Arp-Tr

此形式結構為重言式，即

(P?r)AFpFr

訟推理正確.

推理是否正確，可用多種方法證明.證明的方法有真值表法，等值演算法.證明

推理正確還可用構造證明法.

下面用等值演算法和構造證明法證明⑹推理正確.

7..等值演算法

(p?r)Arp-Fr

(p-r)A(r—p)A[p-\r

r((rpvr)A(rrvp)AFp)vrr

r([pVr)Vr([rVp)VpV[r

(pAFr)V(rAFp)VpVFr

(rAFp)VpV-r吸收律

(rArp)V「([pVr)德摩根律

1

即(p?r)AFp[r

故推理正確

8..構造證明法

前提：(p?r),「p

結論：Fr

證明：前提引入

?p?r①置換

②(p-r)A(r-p)②化簡律

③r-p前提引入

④「P③④拒取式

⑤Fr

所以，推理正確.笛7?你\山八

3.15在自然推理系統P中用附加前提法證明下面各推理:

(D前提:p—(q—r),s-p,q結論:s-r

⑴證明：

①S附加前提引入

②s'p前提引入①?

③P假言推理前提

?P一(q—r)引入

⑤qfr③④假言推理

?q前提引入

⑦r

⑤⑥假言推理

⑵前提：(pVq)—(rAs),(sVt)-u結論：p-u

⑵證明：

①P附加前提引入

@pVq①附加前提引

③(pVq)—(rAs)入

④rAs②③假言推理

⑤S④化簡

?sVt⑤附加前提引

⑦(sVt)—u入⑥⑦假言推

⑧u3.16在自然推理系統P中理

用歸謬法證明下面推理

⑴前提：p——q,「rVq,rA\s

結論：rP

(2)前提：pVq,pfr,q-s

結論：rVs

⑴證明：結論否定引入

①P前提引入

②p-q①②假言推理

③Fq

前提引入

④FrVq

③④析取三段論

⑤fr

前提引入

@rAFs

⑥化簡規則

⑦r

⑤⑦合取引入規則

⑧[rAr

⑧為矛盾式，由歸謬法可知，推理正確.

⑵證明：

?J(rVs)②pVq結論否定引入

③p-r前提引入

?qfs

前提引入

⑤(p-r)?\(q-s)A(pVq)

前提引入

⑥rVs

②?④合取引入規則

⑦(rVs)A」(rVs)

⑦為矛盾式，所以推理正確.⑤構造性二難

，-./TVEXAR77nl>+hlmil

第

8次作業(P65-66)

4.5在一階邏輯中將下列命題符號化

⑴火車都比輪船快.

⑵有的火車比有的汽車快.

⑶不存在比所有火乍都快的汽車.

⑷凡是汽車就比火車慢”是不對的.

解：因為沒指明個體域，因而使用全總個體域

xy(F(x)AG(y)H(x,y))

其中,F(x)：x是火車，G(y)：y是輪船，H(x,y)：x比y快.

xy(F(x)AG(y)AH(x,y))

其中，F(x)：x是火車，G(y)：y是汽車，H(x,y)：x比y快.

⑶F?x(F(x)Ay(G(y)H(x,y)))

或

x(F(x)?y(G(y)A「H(x,y)))

y快.

其中,F(x)：x是汽車,G(y)：y是火車,H(x.y)：xtl(4)

「？x?y(F(x)/\G(y)H(x,y))

或

?x?y(F(x)AG(y)A「H(x,y))其中,F(x)：x是汽車，G(y)：

“慢.

是火車，H(x,y)：x

4.9給定解釋I如下：

(a)個體域為實數集合R.

(b)特定元索a=0.

(c)特定函數t(x,y)=xy,x,y€R.

(d)謂詞F(x,y)：x=y,G(x,y)：x<y,x,y€R,

給出下列公式在I下的解釋，并指出它們的真值：

(l)?x?y(G(x,y)「F(x,y))

7.?x?y(F(f(x,y),a)G(x,y))

⑶?x?y(G(x,y)FF(f(x,y),a))

⑷？x?y(G(f(x,y),a)F(x,y))

解：

?x?y(x<yx*y),真值為1.

?x?y((x-y=O)x<y)),真值為0.

⑶？x?y((x<y)(xyw0)),真值為1.

⑷？x?y((xy<0)(x=y)),真值為0.

第9次作業(P79-80)

5.5給定解釋I如下：

(a)個體域D={3,4}；

(b)f(x)：f(3)=4,f(4)=3；

(c)F(x,y)：F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1.

試求下列公式在I下的真值：

⑴？x?yF(x,y)

7.?x?yF(x,y)

(3)?x?y(F(x,y)-F(f(x),f(y)))

解：

?x?yF(x,y)

(F(3,3)VF(3,4))A(F(4,3)VF(4,4))

(OV1)A(1VO)1

?x?yF(x,y)

(F(3,3)AF(3,4))V(F(4,3)AF(4,4))

(OA1)V(1AO)O

⑶？x?y(F(x,y)-F(f(x),f(y)))

(F(3,3)-F(f(3),f(3)))

A(F(4,3)-F(f(4),f(3)))

A(F(3.4)-F(f(3),f(4)))

A(F(4.4)-F(f(4),f(4)))

(0—0)A(l-1)A(1—l)A(0-0)15.12求下列各式的前束

范式.

(l)?xF(x)—?yG(x,y)

(3)?xF(x,y)??xG(x,y)

(5)?XIF(XI,X2)一(F(xi)一J?X2G(XI,X2)).

斕：

前束范式不是唯一的.

(l)?xF(x)—?yG(x,y)

?x(F(x)-?yG(t,y))

?x?y(F(x)-G(l,y)).

⑶?xF(x,y)??xG(x,y)

(?xF(x,y)—?xG(x,y))A(?xG(x,y)—?xF(x,y))

(?xF(x,y)-?uG(u,y))A(?xG(x,y)-?vF(v,y))

?x?u(F(x,y)-G(u,y))A?:<?v(G(x,y)-F(v,y))

?x?u(F(x,y)—G(u,y))A?w?v(G(w,y)-F(v,y))

?x?u?w?v((F(x)y)-G(u,y))A(G(w.y)-F(v,y)))

(5)?XiF(xi,X2)一(F(xi)一「？X2G(xi,X2))

?XiF(Xi,X2)一(F(X1)一？X2rG(Xl,X2))

?XiF(Xi,X2)一？X2(F(xi)一「G(xi,x2))

?XiF(Xi,X3)—？X2(F(X4)—rG(X4,X2))

?Xi(F(Xi,X3)一？X2(F(XO-「G(X4,X2)))

?Xi?X2(F(xi,X3)一(F(X41-\G(X4,X2)))

第iO次作業(P79-80)

5.15在自然推理系統FL中構造下面推理的證明：(i)前提：？

xF(x)—?y((F(y)VG(y))-R(y)),?xF(x)結論：？xR(x).

⑵前提：？x(F(x)-(G(aiAR(x))),?xF(x)

結論:?x(F(x)AR(x))

⑶前提：？x(F(x)VG(x)),F?xG(x)

結論：？xF(x)

⑷前提：？x(F(x)VG(x)),?x(「G(x)V結論:？xF(x)

⑴證明：

①？xF(x)—？y((F(y)VG(y))-R(y))

R(x)),?xR(x)

②？xF(x)

③？y((F(y)VG(y))-R(y))

@(F(c)VG(c))-R(c)

前提引入

⑤F(c)

@F(c)VG(c)前提引入

⑦R(c)①②假言推理

⑧？xR(x)③全稱量詞消去規則

⑵證明：①存在量詞消去規則

①？xF(x)⑤附加

②F(c)④⑥假言推理

③？x(F(x)~(G(a)AR(x)))⑦存在量詞引入規則

@F(c)—(G(a)AR(c))

⑤G(a)AR(c)

前提引入

@R(c)

①存在量詞消去規則

⑦F(c)AR(c)

前提引入

⑧？x(F(x)AR(x))

④全稱量詞消去規則

②④假言推理

⑤化簡

②⑥合取引入

令左鳥■:三izHxirnmi!

⑶證明：①置換

①「？xG(x)②全稱量詞消去規則

②？xFG(X)前提引入

③FG(C)④全稱量詞消去規則

④？x(F(x)VG(x))

③⑤析取三段論

⑤F(c)VG(c)

@F(c)⑥存在量詞引入規則

⑦？xF(x)

⑷證明：前提引入

①？x(F(x)VG(x))①全稱量詞消去規則

@F(y)VG(y)前提引入

③？x(fG(x)R(x))

③全稱量詞消去規則

④「G(y)V「R(y)

前提引入

⑤？xR(x)

⑤全稱量詞消去規則

@R(y)

⑦「G(y)④⑥析取三段論

@F(y)②⑦析取三段論

⑥？xF(x)⑧存在量詞引入規則

前提引入

第11次作業(P96)

⑴設F表示一年級大學生的集合，S表示二年級大學生的集合，M表示數學專業學生

的集合，R表示計算機專業學生的集合，T表示聽離散數學課學生的集合，G表示星期

一晚上參加音樂會的學生的集合，H表示星期一晚上很遲才唾覺的學生的集合.問下列

各句子所對應的集合表達式分別是什么？請從備選的答

案中挑出來.

⑴所有計算機專業二年級的學生在學離散數學課.

⑵這些且只有這些學離散數學課的學生或者星期一晚上去聽音樂會的學生在星期一

晚上很遲才睡覺.

⑶聽離散數學課的學生都沒參加星期一晚上的音樂會.

⑷這個音樂會只有大學一，二年級的學生參加.

⑸除去數學專業和計算磯專業以外的二年級學生都去參加了音樂會.

備選答案：

①TGUH②GUHT③SART

@ILCUT⑤TAG-⑥FUSG

⑦GFUS⑧S-(RUM)G⑥GS-(RAM)

解：

(1)③SART

(2)?H=GUT

(3)@TAG=

⑷⑦GFUS

(5)@S-(RUM)G

(1)確定下列命題是否為真：

⑴

<⑶2)e。

?)e{}

(5){a,b){a,b,c,{a,b,c}}

(6){a,b)€{a,b,c,{a.b}}

(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}

(8){a.b}€{a.b,{{a.b}}}

解：

(1)真(2)假(3)真(4)真(5)真(6)真(7)真(8)彳限

第12次作業(P130T31)

7.1.已知A={,{}},求AXP(A).

解：

AXP(A尸{,{}}X,{},{{}},{,{}}}

列出集合A={2,3,4}上的恒等關系h,全域關系EA,小于或等于關系LA,整除關系DR.解:

IA={2,2,3,3,4,4}

EA=AXA={2.2.2.3.2.4.3.2.3.R,3.4.4.2.4.3.4.4}

LA={2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4}

DA={2,2,2,4,3,3,4,4)

設人={0,1,2,3},R是A上的關系，且

R=l?0,0?.?0.3?.?2.0?.?2.1?.?2.3?.?3.2?)

給出R的關系矩陣和關系圖

解：

第13次作業（P131）

設

A={?1.2?.?2.4?.?3.3?!

B{?1,3?,?2,4?.?4.2?}

求AIB.APB.donA.do<n(AI.B),ranA.ranB.rar(APB).fld(A-B).

解:AUB={?1.2?.?!.3?.?2,4?.?3.3?.?4.2?)AIIB=(?2.4?)

do?A={1.2.3)dom(ALB)={1.2.3.4}ranA=⑵3.4}ranB=[3.4.2}ran(MB)=⑷fId(A-B)=U.2.3}

設

解：

A

Aa={?(?!.(?.{?))?),

A'=?.

A?⑵={??.{?.(?}}?>.

A[?J={?.{?)),

ATE,

A?({?!)=I?(?).??!.

A[({?}}]=?

A=(a.b.ad).Rl.R2為A上的關系，其中

Ri=l?a.a?.?a.b?.?b.d?)

R2={?a.d?,?b.c?.?b.d?,?c.b?}

求R1CR2.R2CR1.R1,.R2,.

解：

R1CR2={?a,a?.?a.c?,?a.<l?L

R2CRl?{?c,d?l.

Rl!=|?a.a?,?a.b?.?a.d?J.

R2*={?b,c?.?b.<t?.?c.b?!

設A={a.b.cL試給出A上兩個不同的關系RI和R2,使得RlMl.RZ^RZ.

解：

Rl=(?a.a?.?b.b?),

R2=(?b.c?.?c.b?)

第14次作業(P131T33)

設人二{12…［。}，定義A上的關系

R={<x,y>|X,yCAAx+y=10}

說明R具有哪些性質并說明理由。

解：只有對稱性。因為1+1"0,<1,1>ER,所以都是自反的:又由于<5,5>CR,因此都是反自

反的；根據xRy?x+y=10=>yRx,可知好對稱的；又由于<1,9>,<9,1>都是屬于R,因此R不是

反對稱的；<1,9>,<9,1>都屬于R,如果雙傳遞的，必有<1,1>屬于R.但這是不成立的，因

此R也不是彳一遞的.

設人二{1,2,3,4,5,6}.R為A上的關系,R的關系圖如圖3.13所示：

解：

(1)R={<1,5>,<2,5>,<3,1>,<3,3>,<4.5>}

R={<3,3>,<3,1>,<3,5?,R={<3,3>,<3,1>,<3,5>}.

(2)r(Rj=,{<l,l>,<1,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,l>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6.6>}

s(R)={<l,5>,<5J>,<2,5>,<5,2>t<3,3>,<3,l>,<l,3>,<4,5>,<5,4>}

T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}

第15次作業(P134-135)

設人二{1,2,3,4),R為AA上的二元關系,<a,b>,<c,d>AA,

<a,b>R<c,d>a+b=c+d

⑴證明R為等價關系.

(2)求R導出的劃分.

⑴證明：<a,b>AA

a+b=a+b<a,b>R<a,b>

R是自反的

任意的<a,b〉,<c,d>CAxA

設<a,b>R<c,d>,a+b=c+d

c+d=a+b<cFd>R<a,b>

R是對稱的

任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>€AXA

若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>

a+b=c+d,c+d=x+y

a+b=x+y<a,b>R<x,y>

??.R是傳遞的

?R是AXA上的等價關系

<2>

n={{<l,l>},{<1,2>,<2,1>},{<1,3>,<2,2>,<3,1>},{<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>

),{<2,4>,<4,2>,<3,3>},{<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}

7.43.對于下列集合與整除關系畫出哈斯圖

{1,2,3,4,6,8,12.24)

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.12}

下列各偏序集VA,Rp>的哈斯圖，并找出A的極大元，極小元，最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e}

Rp={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}IA.

(2)A={a,b,c,d,e),Rp={<c,d>}IA.

極大元e；極小元a；最大e；最小元a

極大兀a,b,d,c；極小兀a,b,c,e：沒有最大與最小兀。

第16次作業（P161-135）

斷下列函數中哪些是滿射的？哪些是單射的？哪些是雙射的?

(2)f：NN,f(x)=(x)mod3,x除以3的余數

1,若x為奇數

(3)f：NN,f(x)=

。，若x為偶數

0,若以奇數

(4)f：N{0,1},f(x)=

1,若XM禺數

(l)f：NN,f(x)=x2+2

f：N-{0}R,f(x)=]gx

f：RR,f(x)=x2-2x-15

解：

⑴不是滿射，不是單射

⑵不是滿射，不是單射

⑶不是滿射，不是單射

⑷是滿射，不是單射

⑸不是滿射，是單射

⑹不是滿射，不是單射

37.根據自然數的集合定義計算：

(D3U6.2A5；

⑵43301

(3)U4tnl

(4)14,2

解：

(1)3U6=6,2A5=2；

(2)4W={3},3?1={1,2}

(3)U4=3,A1=O

(4)14={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2?{九1九R},其中:

：={<0,0>,<1,0>}={<0,0>,<1,1>}

38.計算下列集合的基數：

解：

(1)3,(2)\(3),(4).,(5),(6)；：

第17次作業(P178T80)

4.判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉：

⑴整數集合Z和普通的減法運算。

(2)非零整數集合Z*和普通的除法運算。

(3)全體nxn實矩陣集合Mn(R)和矩陣加法及乘法運算，其中n>%

(4)全體,實可逆矩陣集合關于矩陣加法及乘法運算，其中n錯誤!未找到

引用源。2。

(5)正實數集合錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。運算，其中錯誤!未找到

引用源。運算定義為：

錯誤!未找到引用源。

n錯誤!未找到引月源。關于普通的加法和乘法運算。

A={",用錯誤味找到引用源。n錯誤!未找到引用源。運算定義如下：

錯誤!未找到引用源。

S=錯誤!未找到引用源。關于普通的加法和乘法運算。

S={0,1},S是關于普通的加法和乘法運算。

S=錯誤！未找到引用源。$美于普通的加法和乘法運算。

5.對于上題中封閉的二兀運算判斷是否適合交換律，結合律，分配律。

解：

(1)封閉，不滿足交換律和結合律，無零元和單位元

(2)不封閉

(3)封閉均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律；

加法單位元是零矩陣，無零元；

乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；

(4)不封閉

⑸不封閉因為1111U1R

(6)封閉，均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律加法單位元是0,無零元;

乘法無單位元("1),零元是0;nl單位元是1

⑺封閉不滿足交換律，滿足結合律，

⑻封閉均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律

⑼加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結合律

(10)加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結合律

*ababab□ab

aaaaababaaab

baclbbabaabab

(a)(b)(c)

1。令S={a,b},S上有四個運算：：錯誤!未找到引用源。分別有表10.8確定。

⑵求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元

解：

(a)交換律，結合律，幕等律都滿足，零元力a,沒有單位元；

(b)滿