第十一章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第1節(jié)隨機(jī)抽樣與統(tǒng)計(jì)圖表

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P295

考試要求)---------------------------------------------------------------------------j

1.掌握三種抽樣方法的特點(diǎn)與應(yīng)序.

2.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述,體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.

........知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、隨機(jī)抽樣

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義:一股地，設(shè)一個(gè)總體含有/V個(gè)個(gè)體，從中—〃個(gè)個(gè)體作為樣本(儂M，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的

，就稱這樣的抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)常用方法：和及常次美.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)步賽:①先將總體的〃個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②根據(jù)樣本容量"，當(dāng)巴是整數(shù)時(shí)，取分段間隔曰,

nn

@在第1段用…幾；病定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)人左A)；

◎按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍:適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí).

3.分層抽樣

(1)定義:在抽樣時(shí)，將總體分成的層，然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一

起作為樣本,這種抽樣方法是分層抽樣.

(2)適用范圍:話用于總體由的幾個(gè)部分蛆成的情況.

注意三種抽樣的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)隨機(jī)數(shù)法編號(hào)要求:應(yīng)保證各號(hào)數(shù)的位數(shù)相同,而抽簽法則無(wú)限制.

(2)系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差3的整數(shù)倍.

(3)分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)秉以抽樣比.

二、常用統(tǒng)計(jì)圖表

1.頻率分布直方圖

(1)縱軸表示經(jīng)，即小長(zhǎng)方形的高里;

俎距也距

(2)小長(zhǎng)方形的面積組距筌=頻率;

(3)各小長(zhǎng)方形的面枳的總和等于1.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方量中各小長(zhǎng)方形上端的，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體宓度曲線:隨著樣本容量的增加作圖時(shí)增加,減小,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲

線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑的曲線為總體密度曲線.

3.莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)

莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的和都能帶來(lái)方便.

莖葉圖的畫法步賽：

第一步，將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；

第二步，將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列：

第三步，將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè).

V打展

頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小炬形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的拱坐標(biāo)之和;

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打Y",錯(cuò)的打+')

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣,與先后有關(guān).()

(2)抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.()

(3)在分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).()

(4)在頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()

字案(1)x(2)V(3)*(4)V

2.(教材改埔)我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、好養(yǎng)老人

等八項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽

取30人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為(：.

A.8B.10C.12D.18

答案C

由題意可得抽取的30人中，青年員工有30n2(人).

OU+1UU+1zu

3.(教材改編)某班共有學(xué)生40人,將一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)繪制成須率分布直方圖，如圖所示,則成績(jī)不低于80分的人數(shù)

為

答案15

由頻率分布直方圖的頻率利為1.

可得0.005/100.0225EOFE02.035E00.007510=1,解得5=0.030.

故成績(jī)不低于80分的學(xué)生的頻率為0.030*10旬.0075*10力,375,

所以成績(jī)不低于80分的人數(shù)為0375M0W5.

4.

（2023?濟(jì)南模擬）某學(xué)校于3月12日組蛆師生舉行植樹活動(dòng)，購(gòu)買垂柳、銀杏、他柏、海桐四種樹苗共計(jì)1200棵，各種樹苗的數(shù)量

所占比例如圖所示.高一、高二、高三年級(jí)報(bào)名參加植樹活動(dòng)的人數(shù)分別為600,400,200.若每種樹苗均按各年級(jí)報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)

行分配，則高三年級(jí)應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)■為（）.

A.34B.46C.50D.70

答案C

由扇形統(tǒng)計(jì)圖知,購(gòu)買的1200棵樹苗中，惻柏的數(shù)量為1200*25%=300,

依題意，高一、高二、高三分到的側(cè)柏的棵數(shù)比為600.400.-200=3.2;1,

所以高三年級(jí)應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)量為W71Mo0=50,

5.（2023?江西模擬）劉女士的網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)堅(jiān)果類食品,2022年各月份的收入、支出（單位:百元）情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是

（）.

A百元

80

70

60

50

40

30

20

10

o123456789101112月份

注:收入----支出...........

A.4至5月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B.支出最高值與支出最低值的比是5.1

C.第三季度平均收入為5000元

D.利潤(rùn)最高的月份是3月份和10月份

B

對(duì)于A選項(xiàng).4至5月份的收入的變化率為置=-20,11至12月份的變化率為等*=-20,兩個(gè)變化率相同，故A正弱.對(duì)于

B選項(xiàng),支出最高值是2月份的60百元,支出最低值是5月份的10百元,故支出最高值與支出最低值的比是61故B錯(cuò)誤.對(duì)于C

選項(xiàng)，第三季度的7,8,9月,每個(gè)月的收入分別為40百元,50百元,60百元,故第三季度的平均收入為竺竽竺=50百元，故C正確.對(duì)

于D選項(xiàng)，利潤(rùn)最高的月份是3月份和10月份，都是30百元，故D正謫.練上，故選B.

怎二考點(diǎn)題型命題全研透

考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣

命題角度1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為（）.

。從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本.

②從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)■檢驗(yàn).

③某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子展高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

A.OB.1C.2D.3

答案A

⑦不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楦槿颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而不是有限的;②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,因?yàn)檫@是“一次性”抽

取,而不是“逐個(gè)”抽取;③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃?故選A.

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)

（1）抽取的個(gè)體數(shù)較少;（2）逐個(gè)抽取:（3）等可能抽取.只有這三個(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2.抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況.

感悟?qū)嵺`

利用簡(jiǎn)單的機(jī)抽樣，從"個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本若第二次他取時(shí),余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率處則在電個(gè)抽樣過程

中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（）.

AB

457。瑞

答案C

由題意知三毛，解得〃=28.所以整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為界故選C.

n-1JZO14

命題角度2系統(tǒng)抽樣

（2023?河南許昌模擬）某中學(xué)教務(wù)處采用系統(tǒng)抽樣方法,從學(xué)校高一年級(jí)全體1000名學(xué)生中抽50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問卷

調(diào)查.現(xiàn)將1000名學(xué)生從1到1000進(jìn)行編號(hào).在第一組中隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)，若抽到的是17號(hào)，則第八組中應(yīng)抽取的號(hào)碼是（）.

A.177B.417C.157D.367

答室C

由系統(tǒng)抽樣方法可知，該1000名學(xué)生城號(hào)后均力■為50組，每組20人每蛆中抽1人，號(hào)碼間隔為20,第一組中隨機(jī)抽取

到17號(hào)廁第8組中應(yīng)取的號(hào)碼為20*7+17=157.

1.若總體容■N能被樣本容■〃整除，則抽樣間隔為女』,否貝上可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣.特別注

n

意，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均是孑

2.系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對(duì)肉的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù),根據(jù)等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式就可以確定每一組所要抽取的樣本的號(hào)碼.

感悟?qū)嵺`

從編號(hào)為001,002，…,500的500個(gè)立品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中墉號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為007,032,則

樣本中最大的給號(hào)應(yīng)該為（）.

A.480B.481

C.482D.483

答案C

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本中的編號(hào)成等差數(shù)列，令ai=7,32=32,<tt/25,所以7+25（標(biāo)1）4500,店N.，所以正20,故最

大埔號(hào)為7,25M9W82.

命題角度3分層抽樣

（2023?莆田模擬）已知某校有教職工560人，其中女職工240人,現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則

抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）.

A.2B.4C.6D.8

答案B

抽取的女職工人數(shù)為段或8K2,抽取的男職工人數(shù)為28-12=16,

則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差為16-12=4.

分層抽樣問題類型及解題思路:（1）求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量，按該層所占總體的比例計(jì)算.（2）分層抽樣時(shí),每層抽取的個(gè)體可以不一樣

多，但必須滿足抽取所碎（閆,2，…,A）個(gè)個(gè)體（其中/是層數(shù)。是抽取的樣本容是第/層中個(gè)體的個(gè)數(shù),N是前體容■）.

感悟?qū)嵺`

某實(shí)驗(yàn)中學(xué)發(fā)起一場(chǎng)主題為“勞動(dòng)最光榮、勞動(dòng)最崇高、勞動(dòng)最偉大、勞動(dòng)最美麗?"的大型勞育實(shí)踐活動(dòng)，高中三個(gè)年級(jí)全

體學(xué)生都參加了這場(chǎng)活動(dòng)，隨后學(xué)生會(huì)組蛆按年級(jí)進(jìn)行分層抽樣抽取了120名學(xué)生暢談這次勞育實(shí)踐活動(dòng)感想，已知高一學(xué)生抽取

了45人參加，高二學(xué)生抽取的人數(shù)比高三學(xué)生抽取的人數(shù)少5人,高三年級(jí)學(xué)生油取的比例為1.40,則（）.

A.該校全體學(xué)生的總?cè)藬?shù)為3600

B.高一學(xué)生比高三學(xué)生多220人

C.高二學(xué)生抽取的人數(shù)為35

D.高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比值為7.8/9

答案C

依據(jù)高三年級(jí)學(xué)生抽取的比例為1.40,可知本次全體學(xué)生抽樣的比例為玄，所以該校全體學(xué)生的總?cè)藬?shù)為

120*40=4800,A錯(cuò)誤;高一學(xué)生人數(shù)為45,406800,高二學(xué)生抽取的人數(shù)比高三學(xué)生抽取的人數(shù)少5人，且高二學(xué)生抽取的人數(shù)與

高三學(xué)生抽取的人數(shù)之和為12045=75,故高二學(xué)生抽取的人數(shù)為35,高三學(xué)生抽取的人數(shù)為40,所以高二學(xué)生人數(shù)為35*40=1400,

高三學(xué)生人數(shù)為40*40=1600,1600-1400=200,B錯(cuò)誤,C正確,D錯(cuò)誤.故選C.

考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)圖表

命題角度1扇形圖、條形圖

（2023?三明檢測(cè)）某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，

近視率

50%.................................

30%................I-

15%…”一

0__―—―]—?------->

小學(xué)初中高中年段

圖甲圖乙

為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取1%的學(xué)空進(jìn)行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容

■和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為（）.

A.200和25B.200和2500

C.8000和25D.6000和2500

答比B

由扇形統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣知識(shí)易知樣本容?為緇=200,

則樣本中高中生的人數(shù)為200*25%=50,易知高中生總體的容量為黑=5000,

結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視人數(shù)為5000x50%=2500.

禍總結(jié)?

1.扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

2.由條形圖可知總■體中樣本的種類及對(duì)應(yīng)各類樣木的數(shù)量.

感悟?qū)嵺`

為了解某貧困地區(qū)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧后的成果，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該地區(qū)三個(gè)縣市在2021年建檔立卡人員年人均收入提升狀況.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，力縣

建檔立卡人員年人均收入提升狀況用錚狀圖表示,8縣建檔立卡人員年人均收入提升狀況用條形圖表示,。縣建檔立卡人員年人均收

入提升的均值為122百元,方差為4,45C三縣建檔立卡人數(shù)比例為3.4.5,則下列說法錯(cuò)誤的是（）.

A./1縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為122百元

B.8縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為5.6

C.估計(jì)該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升120.75百元

D.C縣精準(zhǔn)扶貧的效果最好

答案A

對(duì)于Ad縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為123*+114*+121毛=121(百元)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,8縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為115M0%+117或0%#119>50%+123或0%=119,8縣建檔立卡人員年人均

收入提升的方差為(115-119)2?」?117-119)2迅2?119-119)2m5*123-119)2屹2與6故B正詢：

對(duì)于C,該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升*M121*3+119*4+122*5)=120.75(百元)，故C正確；

對(duì)于D,4縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為(123-121)2**114-121)2**121-121)2弓=10.5,

設(shè)48。三縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值分別為",&兀,方差分別為廢用周，則底>M>M，SFS*琛故C縣精

準(zhǔn)扶貧的效果最好，故D正確.

命題角度2折線圖、頻率分布直方圖

(1)(改編)某網(wǎng)站為了了解某“應(yīng)團(tuán)”每月跑步的平均里程,收集并整理了2021年1月至2021年11月期間該“跑團(tuán)”每月跑步

的平均里程(單位:公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是().

30

25

20

15

10

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

答案D

由折線圖可知，月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3個(gè)月，比6月份低的有1,234,5,7,8,共7個(gè)月，故6月份

對(duì)應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù),因此A不正確;月跑步平均里程在1月到2月,6月到7月,7月到8月,10月到11月都是減少的，故不是逐月

增加，因此B不正確;月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三個(gè)月,8月份是相系較低的，因此C不正確;從折線圖來(lái)看,1萬(wàn)至5月的

跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確.

(2)小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間(單位:分鐘，得到下列兩個(gè)頻率

分布直方圖：

基于以上統(tǒng)計(jì)信息，下列描述錯(cuò)誤的是().

A.驪車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是22分鐘

B.騎車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值是21分鐘

C.坐公交車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20分鐘

D.坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值

答案A

設(shè)騎車時(shí)間的中位數(shù)為

則有0.1或4.2乂3-20)=05解得分=21.5,因此選項(xiàng)A不正確；

弱車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值為21分鐘，因此選項(xiàng)B正確；

設(shè)坐公交車時(shí)間的中位數(shù)為我,

因?yàn)?0.025905907591)x2=05所以及=20,因此選項(xiàng)C正確;

設(shè)㈱車時(shí)間的平均數(shù)為

則ZM=(19*0.1+21*0.2*23*0.15*25*0.05)*2=21.6,

設(shè)坐公交車時(shí)間的平均數(shù)為奧，

則比＜13*0.025+15*0.05+17Q075+19*0.1*21*0.1+23.*0.075*25*0.05+27*0.025)*2=20,

因?yàn)?1,6＞20,所以％＞生因此選項(xiàng)D正確.

感悟總紇》

頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)

(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果.不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆.

(2)頻率分布直方圖中各小K方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵，常利用發(fā)率分布直方圖估計(jì)總體分布.

感悟?qū)嵺`

某市抽取了1000名市民進(jìn)行防火安全知識(shí)問卷調(diào)查，根據(jù)問卷得分制成的頻率分布直方圖如圖所示，問卷得分分蛆區(qū)間是

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是().

成績(jī)/分

A.圖中a的值為0.01

B.得分在80分及以上的人數(shù)為200

C.這組數(shù)據(jù)的極差為50

D.這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.1)為71.7

答案D

對(duì)于A,因?yàn)椋?a*0.02*0.03*0.04）x10=1,解得a=0.005,所以A情誤；

對(duì)于B,得分在80分及以上的人效為1000吊0.02句.005）切0=250,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的最大值與最小值無(wú)法確定，所以C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,由（0.005心04）M0R.45<05（0.0054.044.03）切0=0.75乂）.5，所以中位數(shù)杭［70,80）,所以0.45心03Mx-7。）4）.5,解

得*=70號(hào)=71.7,所以D正確.

9基礎(chǔ)過關(guān)

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“關(guān)谷粒分''題:糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)

夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）.

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

由隨機(jī)抽樣的含義，得考M534=169（石）,故該批米內(nèi)夾谷約為169石.

2.利用隨機(jī)數(shù)表法從某班的50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01,02，…,50進(jìn)行編號(hào),然后從隨機(jī)數(shù)

表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）.

注:表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行

03474373863696473661469863716297

74246792428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

答案A

由題可知，從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始.依次選出的編號(hào)是43,36,47,46,24.

3.某中學(xué)400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作為樣本，若采用分層抽樣的方法，則40歲以下的年齡改應(yīng)抽取

A.40AB.200A

C.20AD.10人

C

由圖可知,40歲以下的年齡段的人數(shù)為400*50%=200,若采用分層抽樣，該年齡段應(yīng)抽取200喘=20（人）.

4.在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，參賽學(xué)生的成績(jī)被分為5蛆，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示,圖中從左到右依次為第一、第二、

第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是40.則成績(jī)?cè)?0T00分的學(xué)生人數(shù)是（）.

A.15B.18C.20D.25

答案A

由頻率分布直方圖知，第二蛆的頻率為10P.040R.4,

總?cè)藬?shù)為蕓K00.又：成績(jī)?cè)?0700分的頻率為10M0.010心005）=0.15,.:成績(jī)?cè)?0700分的學(xué)生人數(shù)為100Q15K5.

5.為了比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)）,繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如

圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5,則下列說法正確的是（）.

A.甲的邏輯推理建力指標(biāo)值優(yōu)于乙的避輯推理能力指標(biāo)值

B.甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C.甲的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于乙的六維能力指標(biāo)值整體水平

D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

軍A

對(duì)于選項(xiàng)A,甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4,乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3,甲優(yōu)于乙，故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,甲的數(shù)學(xué)建模

能力指標(biāo)值為3,乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5,所以乙的直觀想象能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模鏈力指標(biāo)值，故B錯(cuò)誤;對(duì)干選項(xiàng)C,

甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為：Y4+3Y*5+3M）車,乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為:故C錯(cuò)誤;對(duì)于

Oobb

選項(xiàng)D,甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4,甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5,所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值,

故D錯(cuò)誤.

6.已知空氣質(zhì)■指數(shù)大小分為五級(jí)，指數(shù)越大，說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危吉越大，指數(shù)范圍在

[0,50],[51,100）001,200],[201,300],[301,500]分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”良”"輕度污染中度污染,“重度污染”五個(gè)等級(jí).若某市連續(xù)14天的空氣

質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)圖如圖所示，則下列說法正確的是（）.

A.從2日到5日空氣質(zhì)?越來(lái)越好

B.這14天中空氣質(zhì)僵指數(shù)的極差為195

C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為-良??的頻率為白

14

答案B

從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來(lái)越高,故空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故A錯(cuò)誤；

這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為220-25=195,故B正確：

將這14天空氣質(zhì)?指數(shù)由小到大排列.中間為86,121,故中位數(shù)為醬口6335故C錯(cuò)誤;

因?yàn)?4天中的1日,3日,12日,13日空氣質(zhì)量指數(shù)為良，共4天，所以空氣質(zhì)■指數(shù)為“良”的頻率為故D錯(cuò)誤

7.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周內(nèi)的生活支出，抽取了一個(gè)樣本?為〃的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在［50,60）元的學(xué)

生有60人，則下列說法正確的是（）.

A.樣本中支出在［50,60）元的頻率為0.03

B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為130

C.〃的值為200

D.若該校有2000名學(xué)生，則一定有600人的支出在（50,60）元

答案C

樣本中支出在［50,60）元的頻率為1<0.010W.024心036）X1003故A錯(cuò)誤:

上4號(hào)=200,故〃的值為200,故C正確；

U.IJ.5X1U

樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200吊0.0304.036）*10=132,故B錯(cuò)誤；

若該校有2000名學(xué)生，則可能有600人的支出在［50,60）元，故D錯(cuò)誤.

8.某校高三年級(jí)共有30個(gè)班，學(xué)校心理咨詢室為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班煽號(hào),依次為1到30,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取

5個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的編號(hào)之和為75,則抽到的最小的編號(hào)為.

答案3

系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為費(fèi)五設(shè)抽到的最小編號(hào)為x則X*6"M12，M?18+MH24"）=75,所以*=3.

9.（2023?云南昆明一模）甲、乙兩個(gè)樣本莖葉圖如圖所示,將甲中的一個(gè)數(shù)據(jù)調(diào)入乙，使調(diào)整后兩組數(shù)據(jù)的平均值都比調(diào)整前增大，則

這個(gè)數(shù)據(jù)可以是.（填一個(gè)數(shù)據(jù)即可）

甲乙

~~65624

87671368

63208128

59

76（或77或78,填一個(gè)即可）

數(shù)據(jù)調(diào)整前.甲組的數(shù)據(jù)之和為6546+76+77+78相0陽(yáng)2川3*86閣2*95=880,平均數(shù)為等=80.

乙組的數(shù)據(jù)之和為6244+71*73*76*78^61儂用8W75,平均數(shù)為警=75.

答>8。,

設(shè)甲中的一個(gè)數(shù)據(jù)調(diào)入乙的數(shù)據(jù)為X由已知條件可得解得75Vx<80.

甯>75,

10.某班有40名男生,20名女生，已知男女身高有明顯不同，現(xiàn)欲調(diào)查班內(nèi)的平均身高，準(zhǔn)備抽取總?cè)藬?shù)中的表采用比例分配的方法抽

取1名男生,1名女生，你認(rèn)為這種做法是否妥當(dāng)？如果讓你來(lái)調(diào)查，你準(zhǔn)備怎樣做？

這種做法不妥當(dāng).原因:取樣比例數(shù)去過小，很難準(zhǔn)哨反映總體情況，況且男、女身高差異較大，抽取相同人數(shù)并不合理.

考慮到本題的情況，可以采用分層抽樣的方法，可取抽樣比為!.

男生抽取40毛=8（名），女生抽取2。w=4（名）,各自用抽簽法或隨機(jī)數(shù)法抽取組成樣本.

%能力提升

11.某地區(qū)公共部門為了調(diào)杳本地區(qū)中學(xué)生日常穿校服的情況,對(duì)隨機(jī)抽出的編號(hào)為17000的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用

了兩個(gè)問題，問邈1:您的編號(hào)是否為奇致？問題2:您日常是否穿校服？被調(diào)查者隨機(jī)從設(shè)計(jì)好的裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球

100個(gè)，紅球100個(gè)）中摸出一個(gè)小球期則如下:若摸出白球則回答問題1,若摸出紅球則回答問題2.已知共有700人回答“是"，則下列

說法正謫的是（）.

A.估計(jì)被調(diào)查者中約有250人日常穿校服

B.估計(jì)約有450人對(duì)問題2的回答為'是.

C.估計(jì)該地區(qū)約有80%的中學(xué)生日常穿校服

D.估計(jì)該地區(qū)約有35%的中學(xué)生日常穿校服

亭案B

在隨機(jī)抽出的io。。名學(xué)生中，回答第一個(gè)問題的概率是發(fā)其墉號(hào)是套數(shù)的概率也是:,所以回答問題1且回答??是-的人數(shù)

大約為1000弓弓=250,回答問題2且回答為一是一的人數(shù)大約為700-250N50,由此估計(jì)此地區(qū)的中學(xué)生日常穿校服的人數(shù)的百分比

為擺=90%,被調(diào)查者中約有1000*90%=900（人）日常穿校服.故選B.

12.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛,6000輛和2000輛.為檢蛤該公司的產(chǎn)品質(zhì),質(zhì)檢部門要抽取46輛轎車進(jìn)行

檢驗(yàn)，則下列說法韜誤的是（）.

A.應(yīng)采用分層抽樣法抽取

B.應(yīng)采用抽簽法抽取

C.三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛,30輛和10輛

D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

咨案B

因?yàn)榭傮w按型號(hào)分為三個(gè)子總體,所以應(yīng)采用分層抽樣法抽取，故A正確;因?yàn)榭傮w量較大,所以不宜采用抽簽法，故B錯(cuò)

（X_y_z_46X=6,

誤;設(shè)三種型號(hào)的轎車依次抽取x輛/輛N輛則有同一麗一麗一旃僻得y=30,所以三種型號(hào)的轎車依次抽取5輛,30輛

b+y+z=46,2=10.

和10輛，故C正晌;由分層抽樣的意義可知,D正確.

13.某工廠的三個(gè)車間在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，為了檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若從第一、二、

三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)（單位:雙）分別為ab,G且aRc成等差數(shù)列,則第二車間12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為.

答案1200

因?yàn)閍?c成等差數(shù)列.所以20=a+c,則等=6,故第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的g.

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，可知第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的；，即為：*3600=1200.

14.為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,分別從48c三所高校中用分層抽樣法抽取若干名教授組成研究小組，其中高校4有m名教授，高校8

有72名教授，高校C有〃名教授（其中720m.

（1）若從48兩所高校中共抽取3名教授,8。兩所高校中共抽取5名教授，求m,rr,

（2）若從高校8中抽取的教授數(shù)是從高校/和C中抽取的教授總數(shù)的宗求三所高校的教授的總?cè)藬?shù).

（1）:0＜加724〃從A8兩所高校中共抽取3名教授,8,。兩所高校中共抽取5名教授，.:從高校8中抽取2名教授，高校A

中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授,.：△《品，解得＜77=36,77=108.

m72.n

（2）:從高校8中抽取的教授數(shù)是從高校力和C中抽取的教授總數(shù)的aWm"=72,解得m+e08,.:三所高校的教授的總?cè)藬?shù)

為/n+n*72=180.

K彳思維拓展

15.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法.在《九

章算術(shù)》第三章“袁分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢,欲以錢數(shù)多少

衰出之，問各幾何?”其譯文為:今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢，要按照著人帶錢多

少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯(cuò)誤的是（）.

A.甲應(yīng)付51器錢

B.乙應(yīng)付32磊錢

C.丙應(yīng)會(huì)1嶗錢

D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少

答案B

解析由分層抽樣可知，抽樣比為就鵬端

則甲應(yīng)付程*560=51曲（錢）、乙應(yīng)付推*350=32喘（錢），丙應(yīng)付益M80K焉錢）.

16.某單位招聘員工，有250名應(yīng)聘者參加筆試，隨機(jī)抽查了其中20名應(yīng)聘者的綣試試卷，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（單位:分）如下表:

分?jǐn)?shù)段[60,65)[65,70)[70,75)(75,80)

人數(shù)1345

分?jǐn)?shù)段[80,85)[85,90)[90,95]

人數(shù)322

若按筆試成績(jī)擇優(yōu)錄取50名參加面試，則可預(yù)測(cè)參加面試的分?jǐn)?shù)線為.

答案85分

因?yàn)橛?50名應(yīng)聘者參加筆試,按筆試成績(jī)擇優(yōu)錄取50名參加面試，所以錄取的比例為1.5隨機(jī)抽查的20名應(yīng)聘者中

被錄取的人數(shù)為20*H.由20名應(yīng)聘者的成績(jī)表可知，極錄取的4人成績(jī)不低于85分，故可預(yù)測(cè)參加面試的分?jǐn)?shù)線為85分.

第2節(jié)用樣本估計(jì)總體

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P300

考試要求

1.會(huì)求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解寓散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

清,知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征概念優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)

一組數(shù)據(jù)中重復(fù)

人*U眾數(shù)遹常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無(wú)法客觀地

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多

反映息體特征

的數(shù)

把一組數(shù)據(jù)按

從」的順

小八皿序排列，處在中中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某蛀情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端

中位數(shù)----

間位置的一個(gè)值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)

數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù))

如果有0個(gè)數(shù)據(jù)

…左，那么這

平均數(shù)"個(gè)數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的

--極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低

X-

X1+x2+…+Xn

n

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差

①標(biāo)準(zhǔn)差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距宙,一般用5表示.

S=J；Q1-X)2+(X2-G)2+…+(%-X)2].

②方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方

*中(必-加犬及-")2+...*/晟河，

其中雙/=1,2,3，…,〃)是樣本數(shù)據(jù)，。是樣本容量二是樣本平均數(shù).

1.會(huì)用三個(gè)關(guān)系

頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的唾心等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

2.巧用三個(gè)有關(guān)的結(jié)論

⑴若木,X2，…,物的平均數(shù)為x廁mxi+&m2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為rm+a,

(2)數(shù)據(jù)必,及，…,拓與數(shù)據(jù)xi'=x、+a、2'=2+a…M/=M1+a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變;

(3)若必,越，…,先的方差為d則ax、+b,ax2+b,…,axn+b的方差為Hs＜

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打錯(cuò)的打

(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.()

(2)在頻率分布直方圖中.最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)的值計(jì)值.()

(3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.()

(4)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，那么這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.

答案(1)*(2)V(3)*(4)J

2.已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為().

769

83676

92941586

103

114

A.95和94

B.92和86

C.99和86

D.95和91

答案B

由莖葉圖可知，此蛆數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114,ft17個(gè),92為

中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù),眾數(shù)為86.故選B.

3.(教材改編)已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4,此時(shí)這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)為工方差為式則().

A.x=4,^＜2B.x=4,^=2

C.x^.s2^D.x-＞4,s:?＞2

答A

設(shè)這1個(gè)數(shù)分別為小―內(nèi),必,心所,也則；*(加收為以《儀+粕為)=4,；乂(必＜)2*筮＜)2*用＜)2*網(wǎng)＜)2*思_4)2“胭-

4)2*甘4)2]之,

所以必+設(shè)+M9+x&+X7=28,(*4)24)2*用4)2-4)2彳后4)2*法4)2-4)2=d4.

則這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)筮+啟膽+H*4)W*(28*4)=4,方差*=^*[(小4)2彳及-4)2彳用4)2犬放＜)2犬拈＜)2式府-

OOo

4.某班班主任為了了解該班學(xué)生寒假期間做家務(wù)勞動(dòng)的情況,隨機(jī)抽取該班15名學(xué)生，調(diào)查得到這15名學(xué)生塞假期間做家務(wù)勞動(dòng)

的天數(shù)分別是8,18.15,20,16,20,19,1819,10,6,20,20,23,25,則下列結(jié)論正確的是().

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18

B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20

C.若在記錄數(shù)據(jù)時(shí)，漏掉了一個(gè)數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是19

D.若在記錄數(shù)據(jù)時(shí)，漏掉了一個(gè)數(shù)據(jù),則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是19

答案B

由題意知,這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為6,8,10,15,16,18,18,19,19,20,20.20,20,23.25,

根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是19和20,故A楮誤.B正確；

漏掉了一個(gè)數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)仍然是20,故C錯(cuò)誤；

若漏掉的一個(gè)數(shù)據(jù)大于或等于19,則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18.5,故D錯(cuò)誤.

5.（2022年全國(guó)甲卷）某社區(qū)通過公益部座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座

前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正胞率如圖，則（）.

*講座前?講座后

居民編號(hào)

A.講座前問卷答題的正耨率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正真率的極差大于講座前正確率的極差

答案B

講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為螫產(chǎn)=72.5%>70%,所以A借誤;