高考數學總復習資料大全

高三數學第三輪總復習分類討論押題針對訓練

復習目標.

1.掌握分類討論必須遵循的原則

2.能夠合理，正確地求解有關問題

命題分析：

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數學方法，這可以培養學生思維的條理性和

概括性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題，解決問題的能力.因此分類討論是歷年

數學高考的重點與熱點.而且也是高考的一個難點.這次的一模考試中，尤其是西城與海淀都設置了解答

題來考察學生對分類討論問題的掌握情況.

重點題型分析：

例1.解關于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

解:此題應按a是否為0來分類.

(1)當"0時，不等式為1>0,解集為R.

(2)&工0時分為a>0與a<Q兩類

a>0f?>0>0,

①《=><=>時，方程ax+2ax+l=()有兩根

/>0[4a2-46/>0-1)>0

-2a±-4a-a±yla2-a,,J-1)

x.,=-----------------=--------------=-1±----------.

那么原不等式的解為(-^,-1-u(-i+.

aa

a>0a>067>O

=>=>=>0<4V1時,

A<04/-4a<00<tz<1

方程ax2+2ax+l=0沒有實根，此時為開口向上的拋物線，那么不等式的解為(-oo,+ooi.

a>0fa>0\a>0

③<=><=>n〃=1時，

4=0\^a~-4〃=0[〃=0或〃=1

方程ax2+2ax+l=0只有一根為x=T,那么原不等式的解為(-8,T)U(-1,+oo).

a<0tz<0[a<0

=>i=>、=a<0時,

J>()4c/2-4a>0a<0或。>1

一?—-2a±Ja(a-\)Ja(a-l)

方程ax"+2ax+]=0有兩根，x.^=----------------=-1±----------

2aa

此時，拋物線的開口向下的拋物線，故原不等式的解為：

a<0[a<0

@5=>naw(|)

J<0[4a2-4a<0[0<<1

綜上：

當OWa。時，解集為：-oo,+8).

當a>l時，解集為(f,-I-'""一』)U(T+、""一』,”).

aa

當a=l時，解集為(-oo,T)U(-1,+8).

當a<0時，解集為(-1+迎二D,一］一'""T)).

a

例2.解關于x的不等式：/+〃3<(4+/口(”R)

解:原不等式可分解因式為：(x-a)(x-a2)<0

(下面按兩個根的大小關系分類)

(1)當aAa'na*-a<0即0<a〈l時，不等式的解為xe(a2,a).

(2)當aVa,naZi)。即a<0或a>l時，不等式的解為:xw(a,a2)

(3)當a=aJ>a°-a=0即a=0或a=l時,不等式為x'O或(xT)、O

不等式的解為XG0.

綜上，當0<a<l時，xe(a2,a)

當水0或a>l時，xe(a,a2)

當a=0或a=l時，X€0.

評述:抓住分類的轉折點，此題分解因式后，之所以不能馬上寫出解集，主要是不知兩根誰大誰小,

那么就按兩個根之間的大小關系來分類.

例3.解關于x的不等式axL222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

解：原不等式可化為=ax,+(a-2)x-220,

(l)a=0時，xWT,即X￡(-8,T］.

(2)aM時，不等式即為(ax-2)(x+1)20.

2

①a>0時，不等式化為(x--)(x+l)>(),

a

a>0

2

當42，即axm，不等式解為(―

->-1。

a

a>0

當2，此時a不存在.

-<-1

2

②水0時，不等式化為(x--)(x+l)<0,

a

。<0

2

當《2，即-2<a<0時，不等式解為［一,-1］

-<-la

a<0

當《2，即a<-2時，不等式解為［-1,一2］.

->-la

。<0

當，即a=-2時，不等式解為x=-l.

—=—1

綜上：

a=0時，(-°°,-1).

2

a>0時，x￡(―8,—1]U[—,+8)?

2

-2<a<0時，1].

a

?

a<-2時，x￡|—1,一].

a

a=-2時，xe{x|x=-l}.

評述:通過上面三個例題的分析與解答，可以概括出分類討論問題的根本原則為:

1°:能不分那么不分；

2°:假設不分那么無法確定任何一個結果；

3°:假設分的話，那么按誰礙事就分誰.

例4.函數f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2,求實數a的取值.

3

f(x)=l-sin2x+asinx-a2+2a+5=-(sinx--)2--a24-la4-6.

24

令sinx=t,tG[-1,1].

那么f(t)=一"—合2—%+2a+6(t￡[7,1]).

(1)當州〉即a>2時，t=l,3

1?y*mIIIuaAx=-a+3a+5=2

3+4n由3+3—V2T

解方程得:a=----------或〃=--------1舍).

22

(2)當一時，即-2WaW2時，/=-,v=--f72+2?+6=2,

224

4

解方程為：。二一一或a=4(舍).

3

(3)當0V-1即a<-2時，t-1時，ynax-a2+a+5-2

2

1+V13-1+V13

即a2-a-3=0a=,'：a<-2,Z.a=全都舍去.

22

綜上，當4=3+721或〃=時,能使函數f(x)的最大值為2.

23

例5.設｛④｝是由正數組成的等比數列，權是其前n項和，證

明：如咨皿殳盤>叫0$

證明：(1)當q=l時，Sn=nai從而Sn-Sn+2S^+i-nax■(nI2)a](〃I1)%：=a：<0

(2)當qWl時，=),從而

"q

42(1_/)(1—產2)_%2(i_q〃+l)2

Sn-Sn+2-S：1=--------------------------------------------------=-Cl\qn<0.

Qi/

由⑴⑵得：s“?s”+2<s,>

???函數y=bg；5為單調遞減函數.???*S”5sM>iog05s〃…

例6.設一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

分析：由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應分兩種情況求解.

解：(1)當雙曲線的焦點在直線y=3時;雙曲線的方程可改為―()"？)-=],一條漸近線

ab~

的斜率為2=2,??.b=2.??.《=￡=應三2二=叵匚=后.

aaa5

12)當雙曲線的焦點在直線x=l時，仿(1)知雙曲線的一條漸近線的斜率為2,此時e二更.

h2

綜上m(2)可知，雙曲線的離心率等于返L或.JS

2

評述:例5,例6,的分類討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例1-4是對于含

有參數的問題而對參數的允許值進行的全面討論.

例7.解關于x的不等式5-2<1.

解:原不等式。5A2<5°

a(\-x),八a)x+a-2

<=>—-----+!<()<=>-<(-)-<-=->--(-x---2-)-[-(1-a)x-(2-?)]<0

x-2x-2

1-?>()1-6/<0

1-a=0

。⑴或(2),2—a或⑶，

(x-2)(l-2)<0U-2)(x---)<()—三)〉。

l-a

由⑴a=l時,x-2>0,即x￡(2,+8).

由(2)a〈l時,4>0,下面分為三種情況.

I-a

a<1

a<\即a<l時，解為(2,2二

①《2-

->2”()1—

1一4

a<1

a<\

②2-〃。n〃=0時，解為0.

-----=2a=0

」一。

[a<\

a<12

③12-a即0QG時，原不等式解為：(——,2).

—<26Z>01-a

A-a

2-a

由(3)a>l時,上■^的符號不確定，也分為3種情況.

1-a

a>\

①，2-4a>1

=>na不存在.

>2a<0

11-a

a>1

a>1=當a〉l時，原不等式的解為：(—8,2二q)11(2,+00).

②<2—a<2=

a>0\-a

綜上：

a=l時，x￡(2,+<?).

2-a

a〈l時，x￡(2,-----)

1-a

a=0時，xe0.

2—a

0<a<1時，x￡(-----,2)

1-a

2—a

a>1時',x￡(-oo,----)U(2,4-oo).

\—ci

評述:對于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個步驟:

1°:明確討論的對象，確定對象的全體；

2°:確定分類標準，正確分類，不重不漏；

3°:逐步講行討論，獲得結段性結記：

4°:歸納總結，綜合結記.

課后練習：

1.解不等式log,(5--8x+3)>2

2.解不等式Ilog】x|+|log|(3-x)區1

3.關于x的不等式)^<()的解集為扎

x-a

(1)當a=4時,求集合M:

(2)假設3eM,求實數a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線5*=2x,設點A坐標為(a,0),awR,求曲線上點到點A距離的最小值d,

并寫成d=f(a)的函數表達式.

參考答案:

1.(l,2)u(-,+oo)

252

3.(1)M為(-8,2)U(』，2)

4

(2)ae(-oo,-)IJ(9,+oo)

3

當a>1時

當a<1時

2006年高三數學第三輪總復習函數押題針對訓練

復習重點：函數問題專題，主要幫助學生整理函數根本知職，解決函數問題的根本方法體系，函數

問題中的易錯點，并提高學生靈活解決綜合函數問題的能力。

復習難點：樹立數形結合的思想，函數方程的思想解決有關問題。

主要內容：

(一)根本問題

1.定義域2.對應法則3.值域

4.圖象問題5.單調性6.奇偶性(對稱性)

7.周期性8.反函數9.函數值比大小

10.分段函數H.函數方程及不等式

(二)根本問題中的易錯點及根本方法

1.集合與映射

〈1〉認清集合中的代表元素

<2>有關集合運算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區別。還應注意空集的情形，驗算端點。

2.關于定義域

<1》復合函數的定義域，限制條件要找全。

<2>應用問題實際意義。

＜3＞求值域，研究函數性質（周期性，單調性，奇偶性）時要首先考察定義域。

＜4＞方程，不等式問題先確定定義域。

3.關于對應法則

注：＜1＞分段函數，不同區間上對應法則不同

＜2＞聯系函數性質求解析式

4.值域問題

根本方法：＜1＞化為根本函數一一換元（新元范圍）。化為二次函數，三角函數，……并結合函數單

調性，結合函數圖象，求值域。

xh

＜2＞均值不等式：一一形如和，積，及/（x）=之+—形式，注意識別及應用條件。

ax

＜3＞幾何背景：一一解析幾何如斜率，曲線間位置關系等等。

易錯點：＜1＞考察定義域

＜2＞均值不等式使用條件

5.函數的奇偶性，單調性，周期性。

關注問題：＜1＞判定時，先考察定義域。

＜2＞用定義證明單調性時，最好是證哪個區間上的單調性，在哪個區間上任取Xi及X2。

＜3＞求復合函數單調區間問題，內、外層函數單調區間及定義域，有時需分類討論。

＜4＞由周期性及奇偶性（對稱性）求函數解析式.

＜5＞“奇偶性”+“關于直線x=k”對稱，求出函數周期。

6.比大小問題

根本方法：＜1＞粗分。如以“0”，“1”，“T”等為分界點。

＜2＞搭橋＜3＞結合單調性，數形結合

＜4＞比差、比商＜5＞利用函數圖象的凸凹性。

7.函數的圖象

＜1》根本函數圖象

＜2＞圖象變換①平移②對稱（取絕對值）③放縮

易錯點：復合變換時，有兩種變換順序不能交換。如下：

＜1＞取絕對值（對稱）與平移

例：由），=4圖象，經過如何變換可得以下函數圖象？

＜1＞y=y）\x\-\＜2＞y=

分析：＜1＞y=4x—＞y=y/x-\—=7UI-1.

平移.對稱

＜2＞y=&上叫"眄入"曰＞二產H

對稱

評述：要由y=得到y=二I只能按上述順序變換，兩順序不能交換。

＜11＞平移與關于y=x對稱變換

例：y=f（x+3）的反函數與y=fT（x+3）是否相同？

分析：①丫=f（x）…川＞y=f（x+3）W?但-＞f（x+3）的反函數。

平移對稱

九一>戈+3,°、

②尸⑴--------------->f/+3).

平移

???兩個函數不是同一個函數（也可以用具體函數去驗證。）

（三）本周例題：

Y

例1.判斷函數/（幻=（1+吆%?吆H）?sinx的奇偶性及周期性。

X,兀

—W碗+一Xw2k兀+兀

分析：<1>定義域：,71(kGZ)

xwE+一

2

???f(x)定義域關于原點對稱，如圖：

乂f(x)=(1+tgx-i°M)sinx=tgx

如-710712n

:.f(-x)=-f(x),

???f(x)周期兀的奇函數。

評述：研究性質時美注定義域。

例2.<1>設f(x)定義在R上的偶函數，且/(x+3)=--—XSxG[-3,-2]Hd-，f(x)=2x,^f(113.5)

fM:

的值。

<2>f(x)是以2為周期的偶函數,且當x￡(0,1)時,fix):x+L求f(x)在為2)上的解析式。

解：<1>V/(x+3)=--J—

fM

f(x+6)=—；--------=/(x),:.￡6)周期!'二6,

/U+3)

.二f(113.5)=f(6x19-0.5)=f(-0.5).

當x￡(T,0)時，x+3W(2,3).

,:x￡⑵3)時,f(x)=f(-x)=2x.

:.f(x+3)=-2(x+3).

???/*)=

/a+3)2(X4-3)

?〃I11

22x(—73)〉

<2>(法1)(從解析式入手)

■:xG(1,2),那么-xE(-2,T),

2-xe(0,1),,??T=2.

,:f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+l=3-x.

f(x)=3-x,x￡(l,2).

小結：由奇偶性結合周期性，將要求區間上問題轉化為解析式的區間上。

(法2)(圖象)y個

f(x)=f(x+2)

如圖：xe(0,1),f(x)=x+L7匕\

xG(-1,0)-f(x)=-x+l.牛、

x￡(1,2)-*f(x)=-(x-2)+l=3~x.-iO~~\~2

注：從圖象入手也可解決，且較直觀。

例3.<1>假設x￡(l,2)時，不等式(x-l)2<log“x恒成立，求a的取值范

<2>二次函數f(x)=x?+ax+5對任意t都有f(t)=f(-4-1),且在閉區間Z[m,0]上有最大值5,最小

值1,求m的取值范圍。

分析：<1>設y尸(XT),,y2=lognx處(

xe(1,2),即x￡(l,2)時，曲線y1在丫2的下方，如圖：.：，1

??.a=2時，x￡(l,2)也成立，??.a￡(l,2].月X-“"月。第

小結：①數形結合②變化的觀點\1?

③注意邊界點，a=2,x取不到2,???仍成立。

<2>Vf(t)=f(-4-t),:.f(-2+t)=f(-2-t)0流.%

/.f(x)圖象關于x=-2對稱，Ja=4,:.f(x)=x2+4x+5.\//\

f(x)=(x+2)'+l.動區間：「m,0],

xE[m,0],[f(x)]的=5,[f(x)]mln=l,?V，

:.me[-4,0].\)

小結：函數問題，充分利用數形結合的思想，并應用運動變化的觀!\i/

點研究問題。如二次函數問題中常見問題，定函數動區間及動函數和定區間，工

但兩類問題假設涉及函數最值，必然要考慮函數的單調區間，而二次函數的一、?產

單調性研究關鍵在于其圖象對稱軸的位置。以開展的眼光看?，還可.解決一類

動直線定曲線相關問題。

例4.函數/(x)=k)g〃土」，伍〉0且。工1).

x+5

(I)判定f(x)在xE(-8：-5)上的單調性，并證明。

(II)設g(x)=l+log.(x-3),假設方程f(x)=g(x)有實根，求a的取值范圍。

分析：(I)任取XKX2<-5,

i內一5x2-5(x,-5)(X2+5)

那么：/(x,)-/(x2)=log.——-logfl——=log.———-----，

X)+5x2+5(2+5)(工2-5)

V(x.-5)(X2+5)-(XI+5)(X2-5)=10(XI-X2)<0

又(x-5)(X2+5)>0且(xi+5)(x2-5)>0

0<a-5)(/+5)<1

、(x,+5)*2-5)

:.當a>l時，f(xi)-f(xs)<0,:.f(x)單調遞增，

當0<a<l時,f(xj-f(X2)>O,(x)單調遞減。

(ID假設f(x)=g(x)有實根,即：k)g“g=l+log〃*-3)。

x+5

^^>0

x+5=>x>5.

x-3>0

???即方程：土m二a(x—3)有大于5的實根。

x+5

x-5(x-5)*〉5)

(法1)

(x—3)(x+5)(x—5+2)(x—5+10)

x-53-后

(A5)+工+12?2+2病

U-5)2+12(x-5)+20

U-5)

3-V5

aw(0,-rrJ.

(法2)(實根分布)土x—」5二〃(x-3)(l)有大于5的實根,

A■十5

方程(1)化為：ax-+(2aT)xT5a+5=0.

Va>0,AA=64a2-24a+l>0.

①有一根大于50n卜

J>()「

3-J5

②兩根均大于《f(5)>0naw(0,-^].

16

\-2a=

2a

小結：實根分布即利用二次函數圖象及不等式組解決問題。用此數形結合方法解決問題時，具

體步驟為：①二次函數圖象開口方向。②圖象對稱軸的位置。③圖象與X軸交點。④端點函數值的符號。

此題(2)中，也可以用韋達定理解決。

小結：

函數局部是高考考察重點內容，應當對其予以充分的重視，并配備必要例題，理順根本方法體

系。

練習：

小)是定義在11,1］上的奇函數,且乳1)=1,假設叫正［-1,1］,01+廿0時,有人“)+'5)>()。

m+n

<1>用定義證明f(x)在［-1,1］上是增函數。

<2>假設f(x)Vt2-2at+l對所有xW［-l,1］,a￡［-1,1］恒成立，求實數t的取值范圉。

參考答案：

(2)|t|22或t=0.

2006年高三數學第三輪總復習排列與組合押題針對訓練

授課內容：復習排列與組合

考試內容：兩個原理；排列、排列數公式；組合、組合數公式。

考試要求：1)掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單的問題。

2)理解排列、組合的意義。掌握排列數、組合數的計算公式，并能用它們解決一些簡單

的問題。

試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現的應用題。有時還另有一道排

列、組合與其他內容的綜合題(大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合)。

重點，兩個原理尤K是乘法原理的應用。

難點：不重不漏。

知識要點及典型例題分析：

1.加法原理和乘法原理

兩個原理是理解排列與組合的概念，推導排列數及組合數公式；分析和解決排列與組合的應用

問題的根本原則和依據：完成?件事共有多少種不同方法，這是兩個原理所要答復的共同問題。而兩

者的區別在于完成一件事可分幾類方法和需要分幾個步驟。

例1.書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。

(1)假設從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)假設從這些書中取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)假設從這些書中取不同的科目的書兩本,有多少種不同的取法°

解：(1)由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應分類，由于有3種書，那么分為3類

然后依據加法原理，得到的取法種數是：3+5+6=14種。

(2)由于從書架上任取數學書、語文書、英語書各1本，需要分成3個步驟完成，據乘法原理,

得到不同的取法種數是：3X5X6=90(種)。

(3)由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況(數語各1本，數英各1本，語英

各1本)而在每一類情況中又需分2個步驟才能完成。故應依據加法與乘法兩個原理計算出共得到的不

同的取法種數是:3X5+3X6+5X6=63(種)。

例2.兩個集合A={1,2,3},B={a,b,c,d),從A到B建立映射，問可建立多少個不同的映射？

分析：首先應明確此題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對A中的每一個元素，在B中都有唯

一的元素與之對應。”

因A中有3個元素，那么必須將這3個元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應分3個

步驟，當這三個步驟全講行完，一個映射就被建立了，據乘法原理，共可建立不同的映射數目為：5X5

X5=53(種)。

2.排列數與組合數的兩個公式

排列數與組合數公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計算；二是階乘的

形式，這種形式主要用于化簡與證明。

連乘積的形式階乘形式

n!

Pn"=n(n-1)(n-2).......(n-m+1)=------:——

(n-m)!

-1)........3-21〃?!(〃-〃?)！

例3.求證:P；+mPr=PnJ

證明：左邊:一--+機——-——

(〃-m)\(〃-m+1)!

(n-m+l)n!+m-n!

(n-m+1)!

(n+1)!

[(n+l)-mj!

=P'=右邊

:.等式成立。

評述：這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質。

n!(n+l)=(n+l)!.可使變形過程得以簡化。

例4?解方程笈X=140P；.

解：原方程可化為：

2x+l>4

x>3

(2x+l)2x(2x-l)(2x-2)=140x(x-1)(x一2)

x>3

=N

(2x+l)(2x-l)=35(x-2)

x>3

=<xeN解得x=3.

4X2-35X+69=0

評述：解由排列數與組合數形式給出的方程時，在脫掉排列數與組合數的符號時，要注意把排列數

與組合數定義中的取出元素與被取元素之間的關系以及它們都屬自然數的這重要限定寫在脫掉符號之

前。

3.排列與組合的應用題

歷屆高考數學試題中，排列與組合局部的試題主要是應用問題。?般都附有某些限制條件；或

是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應用問題的內容和情景是多種多樣的而解決它們的方法

還是有規律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。

一般方法有：直接法和間接法

(1)在直接法中又分為兩類，假設問題可分為互斥各類，據加法原理，可用分類法；假設問題

考慮先后次序，據乘法原理，可用占位法。

(2)間接法一般用于當問題的反面簡單明了，據AUX=I且的原理，采用排除的方

法來獲得問題的解決。

特殊方法：

(1)特元特位：優先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位善。

(2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結合粘成小組，組內外分別排

列。

(3)插空法：某些元素必須不在一起的別離排列用“插空法”，不需別離的站好實位，在空位

上進行排列。

(4)其它方法。

例5.7人排成一行，分別求出符合以下要求的不同排法的種數。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰；

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解"1)甲排中間屬“特元特位”，優先安置，只有一種站法，其余6人任意排列.故共有：IX&二720

種不同排法。

(2)甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優先安置甲在中間五個位置上任何一個位置那么

有尸;種，其余6人可任意排列有片種,故共有尸；?4=360。種不同排法。

(3)甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個“元素”，連同其余5人共6個元素任意

排列，再由甲、乙組內排列，故共有4?g=1400種不同的排法。

(4)甲在乙的左邊。考慮在7人排成一行形成的所有排列可中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右

邊”的排法是一一對應的，在不要求相鄰時，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有

g尸：=2520種。

(5)甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙

合為一個“元素”，連同其余4人共5個“元素”任意排列，現由甲、乙、丙交換位置，故共有區?@=720

種不同排法。

(6)甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的別離排列，用“插空法”，先將甲、

乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空二再將甲、乙、丙插入其中的三個“空”,

故共有4-乃刁440種不同的排法。

例6.用0,1,2,3,4,5這六個數字組成無重復數字的五位數，分別求出以下各類數的個數：

(1)奇數；(2)5的倍數；(3)比20300大的數;

(4)不含數字0,且1,2不相鄰的數。

解：(1)奇數：要得到一個5位數的奇數，分成3步，第一步考慮個位必須是奇數，從1,3,5中

選出一個數排列個位的位置上有外種；第二步考慮首位不能是0,從余下的不是0的4個數字中任選一

個排在首位上有P：種；第三步：從余下的4個數字中任選3個排在中間的3個

數的位置上，由乘法原理共有P；E丹=388(個

(2)5的倍數：按0作不作個位來分類

第一類：。作個位，那么有丹=120。

第二類：0不作個位即5作個位，那么Eg=96。

那么共有這樣的數為：N+H8=216(個).

(3)比2030()大的數的五位數可分為三類：

第一類：3xxxx,4xxxx；5xxxx有38個；

第二類：21xxx,23xxx.24xxx,25xxx,的4印個；

第三類：203xx,204xx:205xx,有3片個，因此，比20300大的五位數共有：

3G4+4丹+3*474(個)。

(4)不含數字0且1,2不相鄰的數：分兩步完成，第一步將3,4,5三個數字排成一行：第

二步將1和2插入四個“空”中的兩個位置，故共有8=72個不含數字0,且1和2不相鄰的五位

數。

例7.直線與圓相離，直線上六點兒,即，例例例例圓上四點氏,B2,B：,,Bo任兩點連成直

線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

解：所得直線最多時，即為任意三點都不共線可分為三類：第一類為直線上與圓上各取一點連線的

直線條數為=24；第二類為圓上任取兩點所得的直線條數為=6；第三類為直線為1條，那么直

線最多的條數為N產C：C：+C：+1=31(條)。

所得直線最少時，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字數較為方便，而重合的直線即是

由圓上取兩點連成的直線，排除重復，便是直線最少條數：

N2=NI-2C4=31-12=19(條)。

2006年高三數學第三輪總復習三角函數的定義與三角變換押題針對訓練

內容：三角函數的定義與三角變換

重點：任意角的三角函數定義

難點：三角變換公式的應用

內容安排說明及分析：

本局部內容分為兩大塊，一塊是三角的根底與預備知識，另一塊是三角變換公式及其應用。把三角

變換公式提到三角函數圖象與性質之前來復習，其目的是突出“工具提前”的原則。即眾多的三角變

換公式是解決三角學中一系列典型問題的工具，也是進一步研究三角函數的圖象和性質的重要工具。

由于本局部內容的根底性與工具性，這是高中數學的重要內容之一，因此，最近幾年的高考試題中

占有?定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時也有解答題，難度多為容易題與中等題。

知識要點及典型例題分析：

一、三角函數的定義

1.角的概念

(1)角的定義及正角，負角與零角

(2)象限角與軸上角的表達

(3)終邊相同的角

(4)角度制

(5)弧度制

2.任意角的三角函數定義

任意角的6個三角函數定義的本質是給角這個幾何量以代數表達。借助直角坐標系這個工具，把角

放進直角坐標系中完成的。由任意角的三角函數定義直接可以得到：

(1)三角函數的定義域

(2)三角函數值在四個象限中的符號

(3)同角三角函數的關系

(4)單位圓中的三角函數線：要充分利用三角函數線在記Z三角函數性質與公式以及解決三角函數

問題中的作用。

3.誘導公式

總共9組共36個公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號看象限”，并弄清口決中的字詞含義，并根

據結構總結使用功能。

“奇變”是指所涉及的軸上角為三的奇數倍時(包括4組：-±a,—±a)函數名稱變為原來函數

222

的余函數；其主要功能在于：當需要改變函數名稱時，比方：由于“和差化積”公式都是同名函數的和

差。使用時，對于不同名的函數先化為同名函數，乂如：復數化三角形式，有時也需要改變函數名稱，

如：sina-icosa=cos(―+a)+i.sin(—+a)。

22

“偶不變”是指所涉及的軸上角為王的偶數倍時(包括5組：2kn+a,兀土a,2兀-a,-a),函數名

2

稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數值，化簡及某些證明問題。

二、典型例題分析：

例1.(1)-]<01印<5，求a+0與a邛的范圍。

(2)a的終邊在第二象限，確定兀-a所在象限。

解：(1)<a<0<],-7t<a+p<7i,-n<a_p<0.

（2）有兩種思路：其一是先杷a的終功關于x軸對稱放到-a的終功（在第三象限），再將-a的終功

按逆時方向旋轉兀放到兀-a的終邊即-a的終邊的反向延長線，此時兀-a的終邊也在第二象限。

思路2：是先把a的終邊［第二象限）按順時針方向旋轉冗，得到a+（F）（第四象限），再將它關于x

軸對稱得到-（aF）=ka的終邊，此時也在第一象限。

例2.假設A;{x|x=紅，kwZ},B={x|x=—+—,keZ）,那么AB。

424

解：由B中的乂=—"+1）不可視為土的奇數倍所構成的集合。

2444

而A中的*二y是三的所有奇數倍，因此AnB。

44

例3.設（）<9<2兀，問50與憑0線邊相同，求0。

解：由5。=2丘+0,keZ,有0二/，

2

0<e<2n,，k=l時，G=-；k=2時，。=兀；k=3時，。=2

________22

例4.假設小一8s'=cig&csc。,求。取值范圍。

Vl+cos<9

解：先看一看右邊二cige-csce二四-」一=c°s°-i,這樣就決定了左邊的變形方向。

sin<9sin。sin。

???不存在這樣的0使所給等式成立。

例5.sin(n-a)-cos(n+a)=,—<a<n.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sin，(生+a)+cos'(工+a)的值

22

解：(1)由，得sina+cosa=1^,平方得：l+2sinacosa=Z

39

..2sinacosa=-—,

9

71,,

—<a<7t,

2

sina-cosa=J(sina-cosa)*2=V1-2sinacosa=—

v3

⑵sinJ(—+a)+cosJ(—+a)=cosa-sina

22

=(cosa-sina)(cos'a+sinacosa+sina)

口

318

=--2-2

27'

例6.sin(a-?r)=2cos(a-2n),求以下三角函數的值:

sin(/r+a)+5cosQ/r-a)

(1)(2)l+cos2a~—sin2a.

3sin(--(2)-cos^+a)2

22

解：由：-sina=2cosa,有tga=-2,那么

E3—sin/r+5cos<y—tea+57

UJ原式=--------------=---------=--o

-3cosa+sina-3+tga5

(2)l+cos2a~-sin2a

2

sin2a+2cos2a-'sin2atg2a+2---2tga

-2二2

sin2ar+cos2a吆？a+l

(-2)2+2-5(-2)_16

(-2f+1T'

評述：對于形如絲叱必經為關于sina與cosa的一次分式齊次式，處理的方法，就是將分子

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