第一章課后習題參考答案1-1機器人的基本構成要素是什么？請結合具體的機器人進行說明，并與實際生物系統比較。1-2什么是機器人的自由度？請舉例說明一至兩個生活中常見的機器人的自由著x、y、z方向的平移運動）和三個轉動自由度（繞x、y、z軸的旋轉，分別沿x軸、y軸和繞z軸進行運動。雖然它可以進行平移和轉動，但由于），1-3說明以下典型系統的自由度數目：（1）單1-4什么是機器人材料的剛度？請簡單說明機器人材料剛度和其自由度的聯系。1-5舉例說明機器人自由度數目對其特性、功能的影響和限制。三軸直角坐標機器人僅能沿x、y、z軸直線運動。這類機器人結構簡單、控制1-6除自由度和剛度以外，還有哪些可以表征機器人特征的量？請說說你自答運動性能參數：精度與重復精度；1-7試用自己的話定義以下術語：剛性機器人、柔性機器人、軟體機器人。解釋柔性機器人和軟體機器人的區別。答剛性機器人是由包括金屬、陶瓷、硬質塑料等剛性材料的柔韌性使得軟體機器人可以在與環境的交互過程中產生高自由度的連續形1-8以生活中常見的一些機器人為例，說明當它的剛性1-9從生物啟發和仿生學的角度來討論軟體機器人的發展前景，1-10結合自己的專業背景或興趣領域，提出一個可能的機器人應用場景，并設答：智能康復機器人旨在為術后恢復期患者、中風患者或運動功能受損人第二章課后習題參考答案2-1講述一下假設模態法的基本原理與優點。答：假設模態法通過將系統的位移表示為一組假設模態函數的線性組合，將復雜的動態問題轉化為有限維的代數方程，從而實現對結構動態特性的分析。其優點為：（1）計算效率：假設模態法通過將連續體問題簡化為有限維問題，顯著減少了計算量。這使得在動態分析中，尤其是在處理復雜結構時，計算效率大大提高。（2）適應性強：該方法可以根據具體的結構特性和邊界條件靈活選擇模態函數，適應性強，適用于多種類型的柔性結構分析。（3）易于與控制理論結合：在控制系統設計中，假設模態法提供了一個有效的途徑來分析和設計控制策略，尤其是在柔性機械臂的控制中，可以有效評估振動抑制和穩定性。等等2-2Euler-Bernoulli梁理論與Timoshenko梁理論有什么區別？答：Euler-Bernoulli梁理論忽略剪切變形，假設截面保持平面，只考慮彎曲應變，適用于長細梁，方程簡單。Timoshenko梁理論考慮剪切變形，截面在彎曲時發生相對位移，同時考慮彎曲和剪切應變，適用于短梁或剪切效應顯著的情況，但是過程復雜，需考慮更多因素。2-3什么是遲滯非線性？通常對于軟體材料，其遲滯非線性有哪些特點？表現在哪些方面？答：具有遲滯的系統的狀態變化同時手系統當前輸出及過去輸入的變化路徑的影響，機系統具有一定程度的記憶特性，能夠記住過去輸入對輸出狀態的影響。軟材料的遲滯特性通常與其他非線性結構相互耦合，從而表現出更為復雜的動力學特性，較為典型的有非對稱性、率相關性和應力相關性。非對稱性：系統的遲滯環相對于中心是不對稱的，無法通過系統部分的輸入輸出特性對整體的動態特性進行預測。率相關性：系統輸入信號的變化速率會影響遲滯特性，當遲滯系統被施加不同的輸入信號（例如幅值和頻率等）是，系統狀態會沿著完全不同的遲滯環變化。應力相關性：材料的內部應力會對其遲滯特性產生影響，通常表現為不同負載下的遲滯環也會存在差異。2-4圓柱拉環系統求解拉力。答：對于軟繩，由于它覆蓋了一個半圓，周長為L=πr，因此其線密度為ρ為：如圖，對于軟繩上的任意一點，坐標為(rcosθ,rsinθ)，其微小位移為(δx,δy)，其中：重力的虛功為：力F的虛功為：根據虛功原理，重力的虛功與力F的虛功和應為零，因此有：積分區間為(0,π/2)，有：解得：負號表示力F的方向與x軸正方向相反。2-5單擺系統建模。答：（注：題目中將“最大擺角θ”改為“擺角θ”，去掉“虛功原理”）該單擺系統只有擺角θ，因此選擇θ作為廣義坐標。首先求解系統的動能T和勢能V。當小球角度為θ時，其速度為：此時動能為：以單擺的最低點為零勢能點，則勢能為：拉格朗日量La為動能與勢能之差，為：根據歐拉拉格朗日方程，由：而將上述結果代入上述歐拉-拉格朗日方程，可得到：上式即為單擺系統動力學模型表達式。2-6試述基于模型驅動和基于數據驅動的唯象建模法的區別，以及兩者各自的優點和缺點。答：基于模型驅動的建模方法是通過構造等效的遲滯模型，然后將構造的模型的仿真結果與實際實驗數據對比，對模型具體參數進行辨識，使得最終的模型可以準確描述系統的遲滯特征。對于這類方法，構造合適的模型非常重要，其必須能夠準確反映材料動力學特性中存在的飽和、死區等特征。因此這種建模方法可能受到模型的限制而普適于所有的遲滯系統。基于數據驅動的唯象建模法則從大量的實驗數據出發，通過回歸分析、神經網絡等數學方法分析和學習數據，最終直接建立系統的輸入輸出關系。這種方法適用性較強，然而數學模型需要較大的計算資源，且模型表達式一般比較復雜。2-7簡述前饋控制器的設計方法。答：前饋控制器通過構建被控對象的數學模型的逆模型進設計。設計方法有兩種：（1）通過對機器人模型求逆設計前饋控制器；（2）通過直接建立機器人逆模型設計前饋控制器。2-8畫出PID控制器的結構框圖，并簡述PID控制器的基本組成部分及其作用。答：PID控制器的結構框圖如圖R2-1所示，由比例環節、積分環節和微分環節構成。在比例環節作用下，系統誤差一旦產生，控制器立即產生控制作用以減小偏差；積分環節的主要作用是消除系統穩態誤差，提高系統誤差度；微分環節具有預測作用，可以反映誤差信號的變化趨勢，并能在誤差變得過大之前，在系統中引入控制信號修正機器人的控制輸入，從而加快機器人的反應速度，減少調節時間。圖R2-1PID控制器結構框圖2-9針對智能控制的應用前景，請談談你的看法。答：本題為開放性問題，無統一答，可根據個人體會答題。以下給出一個參考答：智能控制是自動化領域的重要分支，近年來在理論和應用上均取得了顯著進展。其應用前景廣闊，主要體現在以下幾個方面：（1）機器人技術。智能控制在機器人領域的應用尤為突出，尤其是在自主導航、路徑規劃和任務執行等方面。通過智能控制算法，機器人能夠在復雜環境中自主決策，廣泛應用于工業、醫療和服務等領域。例如，手術機器人通過智能控制實現高精度操作，提升手術成功率。（2）工業自動化。智能控制在工業生產中的應用日益廣泛，尤其是在復雜、非線性系統的控制中表現出色。通過模糊控制、神經網絡和自適應控制等技術，智能控制系統能夠有效應對不確定性，提升生產效率和產品質量。例如，在智能制造中，智能控制可實現生產線的自主優化和故障診斷。（3）智能交通。在交通領域，智能控制技術可用于交通信號優化、自動駕駛和車聯網等場景。通過實時數據處理和智能決策，智能控制系統能夠緩解交通擁堵、提升道路安全。自動駕駛汽車依賴智能控制算法進行環境感知和路徑規劃，是未來交通的重要發展方向。（4）智能家居。智能家居系統通過智能控制技術實現家電、照明、安防等設備的自動化管理。用戶可通過語音或手機遠程控制家居設備，提升生活便利性和能源效率。隨著物聯網技術的發展，智能家居的應用將更加普及。（5）醫療健康。智能控制在醫療設備中的應用也日益廣泛，如智能假肢、康復機器人和醫療影像分析等。通過智能控制算法，這些設備能夠提供個性化的治療方案，提升醫療效果。例如，智能假肢通過傳感器和智能控制實現自然運動，幫助患者恢復行動能力。未來，隨著人工智能、物聯網和大數據技術的進一步發展，智能控制將在更多領域得到應用。通過不斷的技術創新和應用探索，智能控制將為各行業帶來更多機遇和變革。

第三章課后習題參考答案3-1什么是全驅動機械臂的末端位置控制?答：全驅動機械臂的末端位置控制是指通過協調各關節的執行器輸入，使機械臂末端執行器精確跟蹤或收斂到期望的笛卡爾空間位置的控制過程。它通常涉及正向和反向運動學分析以及相應的控制算法，來確保末端執行器按照預定軌跡或位置執行任務。3-2列舉并解釋全驅動機械臂控制中常用的幾種控制策略。答：全驅動機械臂的控制策略主要包括:（1）PID控制：通過調節比例、積分和微分增益，減少末端執行器位置與目標位置之間的誤差。其優點是實現簡單，易于調節，廣泛應用于機械臂的軌跡跟蹤控制中。（2）學習控制：利用系統的歷史數據，通過學習算法優化控制策略，以提高控制精度和適應性。在機械臂控制中，學習控制可以通過神經網絡等方法實現對復雜非線性系統的建模和控制。（3）模糊自適應控制：結合模糊邏輯和自適應控制技術，處理系統的不確定性和時變性。在機械臂控制中，模糊自適應控制能夠根據環境變化自動調整控制參數，提升系統的魯棒性和適應性。（4）滑模控制：通過設計滑模面，使系統狀態沿著該面滑動，最終達到期望的狀態。在機械臂控制中，滑模控制常用于軌跡跟蹤和姿態控制，具有較強的魯棒性。圖3-SEQ圖\*ARABIC16平面三連桿機械臂的結構與坐標變換圖3-3平面三連桿機械臂的結構與坐標變換如圖3-16所示，機械臂的參數已在圖中標出。為機械臂每一連桿和末端執行器均建立一個二維坐標系，分別定義為坐標系、、和，各坐標系之間只存在沿x軸和y軸方向的平移變換以及繞z軸的旋轉變換，為機械臂所在的基坐標系，與坐標系重合；為系統末端執行器在基坐標系中的位置坐標，為末端執行器相對于基坐標系的姿態角。圖3-SEQ圖\*ARABIC16平面三連桿機械臂的結構與坐標變換圖坐標系相對于基坐標系的齊次坐標變換矩陣可表示為 (3-83)同樣地，坐標系相對于坐標系的齊次坐標變換矩陣為 (3-84)MACROBUTTONMTPlaceRefSEQMTEqn\h末端執行器所在坐標系相對于坐標系的齊次坐標變換矩陣為 (3-85)已知機械臂參數為：，，；機械臂末端執行器的目標位置坐標為，末連桿的目標姿態角記為。利用逆運動學，根據已給參數計算機械臂連桿的目標角度、和。答：根據末端姿態角及末端位置坐標，可得坐標系相對于基坐標系的齊次坐標變化矩陣為： (3-86)再由式(3-83)、(3-84)、(3-85)可以得到： (3-87)結合(3-86)(3-87)，可得機械臂的運動學方程： (3-88)題目給出末端執行器在基座標準系中的位置坐標和姿態角，計算各連桿的目標角度值，涉及機械臂的逆向運動學求解。前面我們計算出機械臂的運動學方程為： (3-89)通過計算，可進一步得到 (3-90)式(3-89)兩邊同乘的逆矩陣即，得到 (3-91)即： (3-92)結合各齊次坐標變換矩陣的具體表達式，計算式(3-92)得 (3-93)上式中，正體和分別表示和，且、、、分別代表、、、，以及、、、分別代表、、和。式(3-93)等號兩邊矩陣的元素一一對應相等，即 (3-94a) (3-94b) (3-94c)求解式(3-94a)可以得到 (3-95)觀察式(3-94b)和(3-94c)，并結合式(3-95)，可知，若能消除和，則式(3-94b)和(3-94c)只包含有未知量。因此，第一步，求取的值。首先重新整理式(3-94b)和(3-94c)為 (3-96)計算式(3-96)中兩個子公式的平均和，消去和，并整理為以下形式： (3-97)上式中 (3-98)對于式(3-98)形式的三角函數公式，可以直接求解，得到 (3-99)上式中，表示，則表示的反切函數，其值可以以弧度形式被直接求解。第二步，求取的值。觀察式(3-96)，在已知的情況下，很容易求得的值，首先將式(3-96)中兩個子公式直接求和，得到： (3-100)上式中，則可直接計算得到： (3-101)第三步，求取的值。根據式(3-95)，可以直接寫出 (3-102)綜上，對于位姿控制目標和，各連桿的目標角度經計算為： (3-103)將題設中與代入，可解出： 顯然，若式(3-103)中小于0，代表給定的位姿控制目標不可到達；若等于0，則代表不考慮角度周期性時，僅有一組可行的目標角度解；若大于0，則代表不考慮角度周期性時，有兩組可行的目標角度解。3-4什么是雅可比矩陣？它在全驅動機械臂控制中的作用是什么?答：雅可比矩陣是描述多變量函數在某一點的局部線性逼近的矩陣。在機器人學中，雅可比矩陣用于描述機械臂關節空間的速度與末端執行器在任務空間（通常是笛卡爾空間）的速度之間的關系。具體而言，它將關節空間的運動映射到任務空間的運動。在全驅動機械臂的控制中，雅可比矩陣的作用主要體現在以下幾個方面：（1）速度映射：雅可比矩陣將關節空間的速度（關節角速度或關節線速度）轉換為末端執行器在任務空間的線速度和角速度。這對于實時控制和路徑規劃至關重要。（2）力與力矩轉換：在力控制任務中，雅可比矩陣用于將末端執行器的力和力矩轉換為關節空間的力和力矩，反之亦然。這對于實現精確的力控制和感知非常重要。（3）奇異性分析：通過分析雅可比矩陣的行列式，可以評估機械臂在特定配置下的運動能力。當行列式接近零時，表示機械臂處于奇異配置，可能導致控制性能下降或失效。總之，雅可比矩陣在全驅動機械臂控制中起著橋梁作用，連接了關節空間和任務空間的運動和力學特性，是實現精確控制和性能優化的關鍵工具。3-5關節空間控制與任務空間控制的區別與聯系是什么?答：關節空間控制和任務空間控制是機器人控制中的兩種基本策略，各有其特點和適用場景。（1）關節空間控制：直接控制機器人各個關節的角度或位置。其優點是實現簡單，易于理解和實現。由于機器人控制系統直接使用關節空間坐標系，便于控制各個關節的運動。（2）任務空間控制：控制機器人末端執行器在笛卡爾空間（任務空間）中的位置和姿態。其優點是能夠直接實現末端執行器的精確定位和姿態控制，適用于需要高精度的任務。然而，控制算法相對復雜，需要考慮機器人動力學和運動學模型，計算量較大。總之，關節空間控制關注各關節的狀態，任務空間控制關注末端執行器的狀態。前者實現簡單，但難以直接控制末端位置；后者能夠直接控制末端位置，但控制算法復雜。兩者通過運動學模型相互關聯。關節空間的運動通過正向運動學映射到任務空間，任務空間的控制需求可以通過逆運動學轉換為關節空間的控制指令。在實際應用中，常常需要在兩者之間進行轉換，以實現對機器人末端執行器的精確控制。在實際應用中，選擇關節空間控制還是任務空間控制取決于具體任務的需求、控制精度要求以及計算資源的限制。3-6如何實現機械臂末端點坐標在關節空間與任務空間中的轉換?答：機械臂末端點坐標在關節空間與任務空間之間的轉換，主要通過運動學模型來實現，包括正向運動學和逆向運動學。（1）正向運動學：指已知機械臂的關節角度（關節空間坐標），計算末端執行器在任務空間中的位置和姿態。通過關節的變換矩陣（如雅可比矩陣、齊次變換矩陣等），依次將每個連桿的坐標系轉換到基坐標系，最終得到末端執行器的位置和姿態。（2）逆向運動學：指已知末端執行器在任務空間中的位置和姿態，求解對應的關節角度（關節空間坐標）。通過給定末端執行器的位置和姿態，逆向運動學可以反推每個關節的角度，實現從任務空間到關節空間的轉換。3-7什么是機器人末端的阻抗控制?它是如何應用于全驅動機械臂的操作中?答：機器人末端的阻抗控制是一種控制策略，旨在使機器人末端執行器（如機械臂的末端工具）與環境之間保持一定的動態交互。這種控制方法通過控制末端執行器的“阻抗”（即力和位置之間的關系），來實現對外界力的響應和調整。具體來說，阻抗控制可以通過設定末端執行器的目標力/位置關系，使機器人在執行任務時能夠對外界力（如碰撞、接觸等）做出適應性反應。這種控制策略將末端執行器的位置、速度、力和力矩結合在一起，并根據環境的變化來調整末端執行器的動作。通過結合位置、速度、力和力矩的調節，使機械臂能夠與外界環境進行柔性互動。在全驅動機械臂操作中，阻抗控制不僅增強了機械臂的適應性和精確性，還提高了安全性和魯棒性，尤其是在與人類或復雜環境交互時。3-8描述機器人末端阻抗控制的原理及其在工業自動化中的應用。答：機器人末端阻抗控制的基本原理是通過調節機器人的末端執行器所施加的力與末端位移之間的關系，以實現對外部環境的適應性響應。這種控制方法利用物理學中的阻抗概念，將機器人末端視為一個具有質量、阻尼和彈性的系統，從而允許機器人在與外部物體接觸時，依據實時反饋信號調整其行為。控制軟件通過傳感器（如力傳感器和位置傳感器）不斷獲取實時數據，并利用反饋機制，在機器人的行動中實現力和位移的動態平衡。在工業自動化中，機器人末端阻抗控制有著廣泛的應用，尤其是在需要與環境進行精細交互的場合。如：（1）裝配與協作任務:阻抗控制可以使機器人在進行裝配或協作任務時對外界力做出反應。例如，在裝配過程中，機器人能夠根據插入部件的阻力自動調整力度，防止過度施力導致損壞。特別對于協作型機器人，阻抗控制使機器人能夠與人類工人共同工作，避免對人體產生危險的沖擊力。（2）表面處理和精密操作：例如在研磨、拋光等任務中，機器人需要施加精確的力來進行操作。阻抗控制可以確保機器人末端執行器在與工件接觸時，能夠根據工件表面的反饋自動調節施加的力量，從而保證表面處理的質量。（3）力反饋和操作的適應性：機器人在處理不確定的物體或變化的環境時，通過阻抗控制，可以實時適應外界的變化。當機器人碰到障礙物時，阻抗控制幫助機器人柔性應對，避免損壞工作環境或自身。應用場景包括自動化裝配線中的機器人和無人操作設備。（4）醫療機器人：在醫療領域，特別是在外科手術機器人中，阻抗控制能確保機器人在進行精細手術時對患者施加適當的力量，避免過度力或反作用力造成傷害。3-9解釋機器人末端阻抗中的阻抗模型和阻抗參數。答：阻抗模型是在描述機器人末端與環境之間力的相互作用時所使用的一個數學表達式，它綜合了彈性、阻量和慣性三個部分，以幫助描述和調節機器人在接觸環境時的動力學特性。其中：（1）阻抗模型：一種數學模型，用于描述機器人末端在運動過程中受到的力的綜合效果。并且通常由三部分組成：阻量、彈性和慣性。這些因素相互作用，形成總的阻抗效應。（2）阻抗參數：阻量系數D（與速度相關）、彈性系數K（與位置相關）和慣性系數I（與加速度相關）。這些參數反映了機器人末端在不同環境下的動力學特性，例如接觸較軟物體時參數較小，而接較硬物體時則較大。

第四章課后習題參考答案4-1欠驅動機器人有哪些類別？欠驅動系統的控制難點是什么？答：欠驅動機器人分為以下幾類：（1）因運動約束而欠驅動的機器人：示例：移動機器人、宇航飛行器、直升機等。特點：由于設計時考慮了特定的動態約束，導致控制輸入少于自由度。（2）針對特殊環境條件設計的欠驅動機器人：示例：柔性連桿機器人、太空機器人等。特點：在微重力等特殊環境下，為優化能源消耗和提高靈活性而故意設計。（3）因系統故障或延遲轉為欠驅動的機器人：示例：自動駕駛汽車：在某些情況下，例如傳感器失效或控制模塊反應延遲，汽車可能會在部分功能失效的情況下依靠其他駕駛模式（如輔助駕駛）繼續行駛。無人機：在飛行過程中，如果某個電動機出現問題，無人機可能會失去一個自由度，需要采取適當的控制措施來穩定飛行。特點：在全驅動系統中，驅動裝置損壞或存在反應時滯，導致系統暫時變為欠驅動狀態。（4）固有欠驅動機器人：示例：懸掛式機器人：如某些類型的行走機器人，利用連桿和重力使其自由運動而無需完全驅動所有關節。柔性機械手：某些設計上依賴于其本身的柔性與彈性，通過適應性控制實現抓取，而非完全依靠驅動器控制每個關節特點：一些物理系統本身就是欠驅動的，這在現實工程應用中非常常見。控制難點：由于控制輸入（即驅動器）的減少，使得系統的某些自由度無法通過控制器直接驅動，導致系統通常涉及非完整的運動約束，使得系統狀態變量位于不確定的位形空間中，從而給系統的控制設計帶來了諸多新的挑戰。此外，欠驅動機械系統往往無法通過光滑的靜態或動態反饋控制律實現全狀態的嚴密反饋線性化，有時甚至不滿足Brockett必要條件。4-2為什么針對垂直欠驅動機器人要分區控制？如果不分區控制有什么挑戰？答：動力學特性：欠驅動與非線性耦合垂直欠驅動機械臂驅動器個數小于關節個數，導致：自由度與控制輸入不匹配：系統有2個自由度（兩個連桿的角度），但僅1個控制輸入，無法直接獨立控制所有狀態。強非線性耦合：兩連桿的動力學方程高度非線性，且被動關節的運動完全依賴主動關節的間接驅動。這種耦合使得單一控制器難以在全狀態空間內有效。（1）全局穩定性難以實現系統動力學在搖起區（低勢能穩定）和平衡區（高勢能不穩定）表現出截然不同的行為，單一控制器無法同時滿足兩種區域的穩定性要求。（2）能量管理的矛盾搖起階段：需向系統注入能量（如通過大幅擺動將機械臂提升至倒立位置）。平衡階段：需抑制能量波動以維持倒立姿態。單一控制器無法同時實現兩種相反的能量控制目標。例如，若在平衡區仍持續注入能量，會導致系統越過平衡點，引發振蕩甚至失控。（3）非線性動力學模型復雜垂直兩連桿的動力學方程為強非線性，且狀態變量（角度、角速度）之間存在復雜耦合，且搖起平衡控制不能嚴密反饋線性化，難以使用一種控制器來進行控制。4-3本章討論的垂直欠驅動機器人是Pendubot系統，如果是Acrobot系統又該如何進行分區控制設計控制器？垂直Pendubot系統與垂直Acrobot系統類似，區別在于驅動關節位置不同。垂直Acrobot的動力學模型為： （4-n）則（4-10）改寫為 （4-10）式中 （4-11）其運動空間劃分與垂直Pendubot系統一樣，即（4-19）和（4-20）。平衡控制器設計：近似線性模型為 （4-24）同垂直Pendubot系統的控制器，評估標準設計為 （4-29）平衡控制器設計為 （4-30）搖起控制器設計：同垂直Pendubot系統，設計的搖起區控制律為 （4-39）其中，，和為正的常數，設計思路同垂直Pendubot。

第五章課后習題參考答案5-1根據平面柔性關節建模方法，建立垂直柔性關節機械臂的動力學模型。答：柔性關節的重力勢能可以表示為： (1)系統總勢能表示為： (2)系統總動能表示為： (3)拉格朗日函數為系統的總動能和總勢能之差，表示為： (4)代入拉拉格朗日方程： (5)整理可得單連桿柔性關節機器人的動力學模型，表示為： (6)5-2根據單連桿柔性機械臂的建模方法，建立剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的動力學模型。答：圖1顯示了剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的結構，其中機械臂的參數定義如下：是機械臂的慣性框架，是剛性連桿的旋轉框架，是柔性連桿的旋轉框架。和是剛性連桿和柔性連桿的長度。,和分別為剛性連桿、第二關節和末端負載的質量，為柔性連桿的單位長度質量。是柔性關節的剛度。和分別是第二關節和剛性連桿繞其中心點的轉動慣量。圖1剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的物理結構對于柔性連桿上在時刻位于的一點，其坐標矢量可寫成 (1)其中和分別是剛性連桿和柔性連桿的旋轉角度。是該點相對于其未變形位置的偏轉。因此，末端負載的坐標矢量表示為： (2)為便于描述，其余部分做了如下簡化。 (3)由于柔性連桿具有細長的連桿結構，將其視為Euler–Bernoulli梁。此外，根據柔性連桿的運動特性，還可以進一步假設它具有無夾緊邊界條件。因此，對于該機械臂，其剛性部分（即剛性連桿、剛性第二關節和末端負載）的動能表示為： (4)其柔性部分（即柔性連桿）的動能表示為： (5)其中。因此，剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的總動能為： (6)柔性連桿的勢能為： (7)通過應用擴展的Hamilton原理，可以推導出剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的動態模型為： (8)其中，是變量的變化，和是兩個任意時間常數，是拉格朗日方程的變化，是作用在兩個關節上的控制力矩所做的虛功，表示為： (9)根據式(4)-(7)，可以得知： (10)由于包含變量，，，，，，且包含變量，，，，，，因此可得： (11)根據擴展的Hamilton原理，虛位移，，，在和時刻等于零。應用分部積分法，(11)可進一步表示為： (12)以及， (13)對于柔性連桿的初始點(即)，由于它被夾緊在第二個關節上，因此該點的邊界條件為： (14)因此，結合式(9)，(12)，(13)和(14)，可將式(8)寫為： (15)其中、、、和為包含系統變量的函數。要使(15)成立，我們有。其中，根據等式得到剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的PDE動力學模型，可表示為如下： (16) (17) (18) (19)進一步，由等式得到柔性連桿端點(即)的邊界條件如下： (20)將代入式(18)，并將式(18)和式(19)結合，可以得到： (21)對于剛柔耦合型雙連桿柔性機械臂的PDE動力學模型，式(16)為剛性連桿的動力學方程，式(17)為柔性連桿的動力學方程，式(18)為柔性連桿的振動動力學方程，式(19)為末端負載的振動動力學方程。其中(14)、(20)、(21)為柔性連桿的邊界條件。5-3柔性關節機械臂和柔性連桿機械臂的控制方法有哪些？答：柔性關節機械臂控制方法有：模型預測控制、自適應控制、魯棒控制、滑模控制、模糊控制等等。柔性關節機械臂控制方法有：動態建模與控制、增益調度控制、模態控制、運動規劃與軌跡控制、神經網絡控制等等5-4柔性關節機械臂和柔性連桿機械臂位置控制的最終控制目標是什么？答：柔性關節機械臂的控制目標是使關節電機角度到達目標角度并且抑制連桿角度振動。柔性連桿機械臂的控制目標是使連桿達到目標角度且連桿的抑制連桿振動。5-5請簡述諧波減速器的作用、原理以及應用場景。答：諧波減速器的作用為：（1）減速：諧波減速器可以將輸入的高速旋轉運動轉化為低速高扭矩的輸出，適用于需要高精度和高扭矩的場合。（2）增大扭矩：通過減速，諧波減速器能夠在輸出端提供更大的扭矩，適合驅動重負載的應用。（3）提高精度：諧波減速器具有較小的間隙和高傳動精度，適用于需要高定位精度的場合。原理為：輸入軸連接到電動機，驅動諧波減速器。輸入軸上的一個柔性齒輪通過特殊設計的方式與固定的外殼相互作用。當輸入軸旋轉時，柔性齒輪會發生彈性變形，與外殼內的固定齒輪嚙合。輸出軸與柔性齒輪連接，輸出軸的旋轉速度和扭矩與輸入軸相比降低。應用場景：機器人、自動化設備、航空航天和醫療設備等等。5-6簡述一下PD控制和PID控制的關系和優缺點？答：PD控制器是比例-微分控制器，其控制輸出由比例項P和微分項D組成。PD控制主要關注當前誤差及其變化速率，適用于需要快速響應但不需要穩態精度的系統。PID控制器是比例-積分-微分控制器，其控制輸出由比例項P、積分項I和微分項D組成。PID控制器在PD控制的基礎上增加了積分項I，用于消除穩態誤差，提供更高的穩態精度。PD控制能夠快速響應系統的變化，適合動態性強的系統，但是無法消除穩態誤差，系統可能在穩態時存在偏差。通過積分項，PID控制器能夠消除穩態誤差，確保系統在穩態時達到設定值，但是PID控制器的設計和參數調節相對復雜，尤其是在多變量系統中，可能調節較為困難。

第六章課后習題參考答案6-1氣動軟體機器人在控制方面相較于傳統的剛性機器人存在哪些挑戰?請思考應該從哪些方面人手應對這樣的挑戰。答：（1）氣動軟體機器人通常具有“無限自由度”的特性（運動中可以在多維空間中以任意方式變化，沒有固定的關節或限制），這種特性使得其運動學和動力學建模變得復雜，難以制定有效的控制策略。應對方法：采用分段建模或近似模型，將復雜的系統分解為多個較簡單的子系統，以降低建模和控制的復雜性；運用機器學習與深度學習技術，根據實際數據建立機器人模型并設計控制方法，以適應氣動軟體機器人復雜變形。（2）氣動軟體機器人常常存在遲滯現象和蠕變現象（遲滯現象即輸入氣壓與輸出運動之間存在滯后關系，蠕變現象即持續施加恒定壓力（或氣體）時，驅動器的位移或變形隨時間逐漸增加的現象。）導致控制精度和控制方法的可重復性下降。應對方法：開發基于遲滯蠕變模型的動態補償技術，實時修正因遲滯和蠕變產生的誤差；設計自適應控制器，能夠根據實時反饋動態調整控制參數，以適應遲滯和蠕變特性。（3）由于氣動軟體機器人在結構上的柔順性，傳統的傳感器難以提供高精度的位置和力反饋。這提高了對于氣動軟體機器人進行精確控制的難度。應對方法：集成多種傳感器，如壓力傳感器、位移傳感器和力傳感器，利用傳感器融合技術提高反饋的準確性和可靠性；結合數學模型和傳感器數據，使用預測控制方法來提前預判機器人在不同條件下的行為，從而實現更精確的控制。6-2波紋管型氣動軟體驅動器是一類經典的伸縮型氣動軟體驅動器，請結合教材分析為什么這種設計適用于單一方向上的伸縮運動。答：波紋的縱向排列使得氣動驅動器充氣時主要沿波紋的軸向方向膨脹，而在其他方向（如橫向）則相對受到限制。這種設計確保了驅動器在氣體充氣時主要向一個方向伸長，從而實現穩健的伸縮運動。6-3若想通過波紋管型氣動軟體驅動器的組合實現機器人向特定方向的彎曲，應當如何設計?請簡述你的構想。答：設計方案一：將波紋管型氣動軟體驅動器的兩端分別固定于機器人扭轉關節的兩端，當驅動器抽氣收縮時，關節向驅動器一側扭轉，驅動器充氣伸長時，關節向驅動器一側的反方向扭轉。設計方案二：在機器人需要彎曲的部位并行布置多個波紋管型氣動軟體驅動器，每個驅動器的輸入氣壓由獨立控制系統管理。若希望機器人向某一側彎曲，則控制位于該側的驅動器抽氣收縮，同時控制相對側的驅動器充氣伸長。6-4若想加快氣動軟體驅動器對于突變信號的響應速度，應當著重調節PID控制器的哪項參數?若想降低超調量或是降低跟蹤誤差，又應當著重調節PID控制器的哪項參數?請簡單說明原因。答：（1）若想加快氣動軟體驅動器對于突變信號的響應速度，應當重點調節參數：微分增益（D）。原因：微分增益負責響應信號變化的速率，即對系統輸出變化的預測。增加微分增益可以提高控制器對突變信號（如階躍信號）的反應速度，因為它能迅速感知到系統的變化并采取措施，從而減少響應時間。（2）若想降低超調量，應當重點調節參數：比例增益（P）。原因：過高的比例增益會導致系統在達到設定點時產生過度的反應，即超調。適當降低比例增益可以使系統在接近目標值時減小反應速度，從而減少超調現象。（3）若想降低跟蹤誤差，應當重點調節參數：積分增益（I）。原因：積分控制的作用是消除穩態誤差，當系統長期存在偏差時，積分項會不斷累積，最終主動調整系統輸出以消除誤差。適當增加積分增益可以有效降低穩態跟蹤誤差，確保系統在長時間運行中的準確性。6-5請分析采用lsqcurveft函數進行參數辨識時，哪些因素會影響參數辨識的結果。答：（1）模型的適用性：所選模型必須能夠準確描述系統的實際行為。如果模型過于簡單（欠擬合），可能導致辨識結果不理想。（2）初始參數的設置：使用的參數初始值會影響優化的結果。若初始值接近真實值，收斂速度通常較快且結果較好；反之，可能導致局部最優解或收斂失敗。（3）辨識使用的數據質量：輸入數據中存在的測量噪聲會影響參數辨識的結果。噪聲成分過高的數據可能會導致辨識結果不理想。（4）約束條件：在lsqcurvefit中可以設置具體參數的上下界。如果這些邊界定義不合理，使得參數的估計空間有誤，將可能導致不準確的結果。6-6寫出圖6-24所示垂直狀態下的氣動軟體驅動器的三元模型(考慮重力作用，忽略空氣阻力)。答：M其中M為載荷質量，x、x和x氣動軟體驅動器活動端的位移、速度和加速度，BP和

第七章課后習題參考答案7-1除了7.1節提到的幾種智能材料，還有哪些智能材料有可能應用到軟體機器人中，為什么？答：（1）液態金屬：在常溫或接近常溫下呈液態的金屬或合金，常見的有鎵銦合金、鎵銦錫合金等。具有低熔點、高流動性、高導電性和高導熱性等特點。液態金屬的流動性使其能在軟體機器人中實現極其復雜和靈活的變形，適應各種不規則的環境。（2）磁流變液：在外磁場作用下，能在液態和固態之間進行快速可逆的轉換，且轉換時間在毫秒量級。將其應用于軟體機器人的關節或肢體部位，通過控制磁場可調節這些部位的剛度和阻尼，使機器人能根據不同任務需求和環境條件，靈活調整自身的運動狀態和力學性能。（3）電共軛流體：當施加電壓時，流體中的電極對之間會產生定向射流。具有響應速度快，能量密度高的優點。在軟體機器人領域潛力巨大，可實現多樣靈活運動，適應復雜環境；助力集成化、小型化設計；憑借生物相容性，為生物醫學提供新可能，且能保障人機交互安全。7-2介電彈性體驅動器和液晶彈性體驅動器的驅動原理有什么不同？它們的動態行為有什不同？答：（1）驅動原理方面：介電彈性體驅動器主要基于麥克斯韋應力效應，當在介電彈性體材料上施加電場時，材料內部會產生麥克斯韋應力，使材料在電場方向上收縮，垂直于電場方向上膨脹，從而產生形變，實現驅動功能；而液晶彈性體驅動器依靠液晶分子的取向變化與彈性體的耦合作用。液晶分子在外界刺激（如溫度、光、電場等）下會發生取向改變，由于與彈性體網絡相互耦合，這種取向變化會帶動彈性體產生宏觀的形變，進而產生驅動效果。（2）動態行為方面：介電彈性體驅動器響應速度相對較快，可實現較高頻率的驅動響應，能產生較大的應變。不過，其輸出力相對有限；而液晶彈性體驅動器響應速度通常比介電彈性體驅動器慢，但其優勢在于可實現多種復雜的形變模式，輸出力相對較大。此外，與介電彈性體驅動器相比，液晶彈性體驅動器并不表現出明顯的蠕變特性，但表現出明顯的飽和特性。7-3常見的介電彈性體材料有哪些？它們的優點和缺點分別是什么？答：常見的介電彈性體材料主要有三種：丙烯酸樹脂材料、硅橡膠材料和聚氨酯材料。（1）丙烯酸樹脂材料的優點在于驅動應變大、商業化程度高，缺點在于具有高粘性，且需預拉伸處理以提升電擊穿強度；（2）硅橡膠材料的優點在于彈性模量低、響應速度快、粘性較低，缺點在于介電常數較小，驅動電壓高，存在一定的安全隱患；（3）聚氨酯材料的優點在于具有較高的強度和耐磨性，抗氧化能力強，缺點在于驅動應變較小，介電損耗較高，長期驅動易發熱。7-4用兩種方法證明公式（7-8）所示線性系統的穩定性。答：（1）系統的特征方程為：該特征方程的根為：、和由于特征方程所有根均具有負實部，故公式（7-8）所示線性系統是穩定的。（2）系統的特征方程為：該系統的勞斯表為：1553.894132.933682.9719551.3747082.9719由于勞斯表第一列系數均為正值，故公式（7-8）所示線性系統是穩定的。7-5分別闡述7.3.2節前饋-反饋復合控制方法中前饋控制器和反饋控制器的作用。答：前饋控制器的作用是補償介電彈性體驅動器的平方輸入、非對稱遲滯、率相關遲滯和蠕變非線性行為以實現其運動控制目標；反饋控制器的作用是處理系統的不確定性，加強系統的魯棒性，提高控制精度。7-6哪種液晶彈性體被廣泛應用于軟體機器人設計中？主要依賴其何種特性？這種特性的本質是什么？答：向列型液晶彈性體因其獨特的性能，在軟體機器人設計領域得到了廣泛應用。在其眾多特性中，取向性是最關鍵的特征之一，也是軟體機器人設計的核心依據。這種材料的取向性本質上是指：液晶彈性體在受到外部刺激后，從微觀層面上看內部分子秩序發生變化，在宏觀上則表現為液晶彈性體發生定向的形變。當撤銷刺激后，液晶彈性體會恢復到原狀態，即具有記憶功能。7-7向列相液晶彈性體在受到刺激后內部微觀層面會出現什么現象？在宏觀上有什么表現？答：在液晶彈性體未受到外界刺激時，構成液晶彈性體驅動器的液晶彈性體內部分子呈向列相分布，即分子大致沿特定的長軸方向x排列，這一取向是在制備過程中預先設定的。當其受到外界刺激（如溫度、光照或電場等）作用后，液晶彈性體內的分子會由向列相逐步轉變為各向同性相，即分子排列從有序態逐步變為無序態。在宏觀上，這種變化表現為沿x方向收縮，同時向與x方向垂直的兩個方向（即y和z方向）發生伸展，形成一種各向同性的體積膨脹效應。7-8液晶彈性體驅動器的建模方法有哪幾種？各自有什么優缺點？答：針對液晶彈性體的建模方法大致可以分為三種：唯象建模法、物理建模法和半物理半唯象建模法。唯象建模法的優點在于簡單直接，使得建立模型的過程更加容易和高效；缺點在于這些模型無法進一步研究液晶彈性體驅動器形變過程中的物理性質，這并不利于深入了解液晶彈性體驅動器。物理建模法的優點在于能更準確地描述液晶彈性體形變過程和性質，并進一步推動對液晶彈性體驅動器的深入研究；缺點在于模型較為復雜，難以用于后續系統控制器的設計。半物理半唯象建模法的有點在