專(zhuān)題四折疊裁剪，破解有道折疊與裁剪問(wèn)題屬于實(shí)踐動(dòng)手操作題，不同方式的折疊，圖形之間有著不同的位置關(guān)系，圖形的元素之間有不同的數(shù)量關(guān)系.常考類(lèi)型：求線段長(zhǎng)、三角函數(shù)值、比值、動(dòng)線段長(zhǎng)的最值等.折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后兩個(gè)圖形全等，折痕是對(duì)應(yīng)線段(或所在直線)夾角的角平分線，也是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.在折疊過(guò)程中，我們需要關(guān)注折疊后的圖形位置是否唯一，若不唯一，則需要分類(lèi)討論，畫(huà)出不同情況下的圖形，用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.實(shí)踐操作基本圖形解決方法折疊與裁剪全等三角形

垂直平分線角平分線

等腰三角形勾股定理

相似三角形三角函數(shù)

方程典例精析類(lèi)型

1折疊與基本圖形例1

(2024·山東濟(jì)寧)綜合與實(shí)踐某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片(如圖1，在矩形ABCD中，AB＞AD且AB足夠長(zhǎng))進(jìn)行探究活動(dòng).圖1【動(dòng)手操作】如圖2，第一步，沿點(diǎn)A所在直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF，連接EF，把紙片展平.第二步，把四邊形AEFD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH，再把紙片展平.第三步，連接GF.圖2

（1）若要求tan

∠AFG的值，即想到構(gòu)造直角三角形，當(dāng)題目中未給出線段的長(zhǎng)度時(shí)，可考慮賦值法.

【繼續(xù)探究】在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作.如圖3，第四步，沿點(diǎn)G所在直線折疊，使點(diǎn)F落在AB上的點(diǎn)M處，折痕為GP，連接PM，把紙片展平.第五步，連接FM交GP于點(diǎn)N.圖3根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫(xiě)出了一個(gè)正確結(jié)論：FN·AM＝GN·AD.(2)請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.（2）根據(jù)折疊可知四邊形FGMP是

，可得△GFN為直角三角形，易證△GFN∽△PGH得到FN·PH=GN·GH，再利用等線段轉(zhuǎn)化即可得證；本題直接對(duì)線段進(jìn)行賦值也可得證.

菱形

提分練1如圖，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，折痕交AD于點(diǎn)E，連接EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.若EF＝2，OF＝3，則EC的長(zhǎng)為

.

5個(gè)與矩形折疊相關(guān)的圖形結(jié)構(gòu)圖形結(jié)構(gòu)常見(jiàn)結(jié)論將矩形ABCD的頂點(diǎn)C沿著直線BE折疊到邊AD上，設(shè)AB=a，BC=b圖形結(jié)構(gòu)常見(jiàn)結(jié)論將矩形ABCD的頂點(diǎn)B沿著直線AE折疊到對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)AB=a，BC=b，BE=x將矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C分別沿著直線AG，EG折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在AE上的同一點(diǎn)F，設(shè)CE=a，CG=b圖形結(jié)構(gòu)常見(jiàn)結(jié)論將矩形ABCD先上下對(duì)折后再打開(kāi)，得到折痕EF，再將頂點(diǎn)A折疊到折痕EF上將矩形ABCD的頂點(diǎn)C，D沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D'（1）DD'∥AC（2）四邊形AECF是菱形（3）△ABE≌△AD'F類(lèi)型

2折疊中的最值問(wèn)題例2如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在AC邊上，且CF＝2，E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn).將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到AB邊距離的最小值是

.1.2解法1：利用三角形的三邊關(guān)系：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，連接FN.由題意知P為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)P，F(xiàn)M為定長(zhǎng)，∴利用△PFN，△FMN建立三邊關(guān)系即可求解.解法2：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，由題意知F為定點(diǎn)，F(xiàn)P為定長(zhǎng)，則點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)P長(zhǎng)為半徑的圓上，易得當(dāng)點(diǎn)P在FM上時(shí)，得最小值.

圖1

解法2(隱形圓)：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M.易得FM＝3.2，由翻折可知PF＝CF＝2，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)P長(zhǎng)為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)P在FM上時(shí)，點(diǎn)P到AB邊距離的最小值是1.2.圖2“定點(diǎn)定長(zhǎng)”型隱形圓詳見(jiàn)第六章“微專(zhuān)題

構(gòu)造輔助圓”.提分練2如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6，G是邊AD上的點(diǎn)，AG＝2，H是邊BC上一點(diǎn).將紙片沿GH折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則CF長(zhǎng)的最小值為

.

存在定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)

是否存在定長(zhǎng)

是否存在隱形圓.

類(lèi)型

3裁剪與特殊圖形例3

(2024·四川巴中)綜合與實(shí)踐(1)【操作與發(fā)現(xiàn)】平行四邊形和梯形都可以剪開(kāi)拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖1，圖2.在圖2中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)是AD，BC邊上的點(diǎn).經(jīng)過(guò)剪拼，四邊形GHJK為矩形，則△EDK≌

.

圖1

圖2△EAG

(2)【探究與證明】探究將任意一個(gè)四邊形剪開(kāi)拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖3，圖4，圖5.在圖5中，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD邊上的點(diǎn)，OJKL是拼接之后形成的四邊形.(ⅰ)通過(guò)操作得出：AE與EB的比值為

；

圖3

圖4圖5

1（2）（ⅱ）剪、拼的實(shí)質(zhì)是全等.本題要證明四邊形OJKL為平行四邊形，首先要證明四邊形各邊上的點(diǎn)共線，再證明兩組對(duì)邊分別平行即可.(ⅱ)求證：四邊形OJKL為平行四邊形.【答案】如圖1，由題意得∠HAE＋∠QAE＋∠PAQ＋∠PAH＝∠DAB＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠KPA＋∠JPA＝∠CGO＋∠DGO＝180°，∴K，P，J三點(diǎn)共線.同理K，Q，L三點(diǎn)共線，L，E，O三點(diǎn)共線，J，H，O三點(diǎn)共線.易得∠2＝∠L，∠3＝∠J.∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，∴∠1＋∠L＝180°，∠1＋∠J＝180°，∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四邊形OJKL為平行四邊形.圖1

(3)【實(shí)踐與應(yīng)用】任意一個(gè)四邊形能不能剪開(kāi)拼成一個(gè)矩形？若能，請(qǐng)將四邊形ABCD剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡(jiǎn)單說(shuō)明剪開(kāi)和拼接過(guò)程.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖6（3）由第（2）問(wèn)引發(fā)思考要將平行四邊形變成矩形，可令對(duì)角線相等或添加直角，對(duì)本題可言，可操作的是添加直角，作垂線段即可.【答案】如圖2，取AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接FH，過(guò)點(diǎn)E，G分別作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足為點(diǎn)M，N，將四邊形EBFM繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAF'M'，將四邊形HDGN繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形HAG'N'，將四邊形NGCF向左上方移動(dòng)得到四邊形N″G'AF'，則四邊形MM'N″N'即為所求矩形.圖2提分練3

(2023·湖北十堰)

在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC(∠A＝90°)硬紙片剪切成如圖所示的四塊(其中D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，G，H分別為DE，BF的中點(diǎn))，小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形(相互不重疊，不留空隙)，則所能拼成的四邊形中周長(zhǎng)的最小值為

，最大值為

.

8

圖1

圖2圖3提分練4如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.將紙片先沿直線BD對(duì)折，再將對(duì)折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開(kāi)后的圖形打開(kāi)鋪平.若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為2的平行四邊形，則CD＝

.

圖1

圖2針對(duì)訓(xùn)練A.紙帶①②的邊線都平行B.紙帶①②的邊線都不平行C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行類(lèi)型1

折疊與基本圖形1.(2024·黑龍江大慶)如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得∠1＝∠2＝59°；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合，且點(diǎn)C，G，D在同一條直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一條直線上.下列判斷正確的是(

)D【解析】紙帶①中，如圖，由題知∠ADB＝∠1＝59°，∴∠DBA＝180°－∠ADB－∠2＝62°，由翻折的性質(zhì)得∠ABC＝∠DBA＝62°，∴∠DBE＝180°－∠ABC－∠DBA＝56°，∴∠1≠∠DBE，∴AD與EB不平行.紙帶②中，由翻折的性質(zhì)得∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，∵∠CGH＋∠DGH＝180°，∠EHG＋∠FHG＝180°，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH＋∠EHG＝180°，∴CD∥EF.A.1∶2 B.1∶3C.2∶3 D.3∶5圖1圖22.如圖1，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，且點(diǎn)E在BC上，DE∥AB.將△DEC沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在線段AB上，如圖2所示.若CE＝2，DE＝4，則圖2的BC與AC的長(zhǎng)度比為(

)B

圖1

圖23.(2024·黑龍江牡丹江)小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進(jìn)行了如下操作：第一步，如圖1，將矩形紙片對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平.第二步，如圖2，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點(diǎn)E，則線段EN的長(zhǎng)為(

)B

4.(2024·合肥蜀山區(qū)二模)如圖，O是矩形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，按如圖所示的方式折疊，使邊AB落在BD上，邊CD也落在BD上，A，C兩點(diǎn)恰好重合于點(diǎn)O，連接EC，交BD于點(diǎn)G，交DF于點(diǎn)H.

60

5.(2024·湖北)在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將四邊形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H.(1)如圖1，求證：△EDP∽△PCH.圖1解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DPE＋∠DEP＝90°.由翻折可知∠EPH＝∠A＝90°，∴∠DPE＋∠CPH＝90°，∴∠DEP＝∠CPH，∴△EDP∽△PCH.