重慶高二數學期末考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若函數\(y=f(x)\)在\(x=a\)處的導數\(f'(a)=0\)，則\(x=a\)是函數\(y=f(x)\)的（）A.極大值點B.極小值點C.極值點D.不一定是極值點答案：D2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，則\(x\)的值為（）A.-2B.2C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A3.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A4.過點\((1,1)\)且與直線\(y=2x+1\)平行的直線方程為（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=-2x+3\)C.\(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)D.\(y=2x+3\)答案：A5.在等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，公比\(q=2\)，則\(a_{4}\)的值為（）A.4B.8C.16D.32答案：B6.函數\(y=\sin(x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{2\pi}{3}\)答案：B7.已知集合\(A=\{x|x^{2}-x-2<0\}\)，\(B=\{x|x>0\}\)，則\(A\capB\)為（）A.\((0,2)\)B.\((-1,2)\)C.\((0,1)\)D.\((1,2)\)答案：A8.若\(\log_{a}2<\log_{a}3\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(0<a<1\)B.\(a>1\)C.\(a>0\)且\(a\neq1\)D.\(a<0\)答案：B9.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{16}x\)D.\(y=\pm\frac{16}{9}x\)答案：B10.已知函數\(y=x^{3}-3x^{2}+3\)，則函數的單調遞增區間是（）A.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)B.\((0,2)\)C.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上為增函數的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=2^{x}\)答案：ACD2.已知向量\(\vec{m}=(1,\lambda)\)，\(\vec{n}=(\lambda,2)\)，若\(\vec{m}\parallel\vec{n}\)，則\(\lambda\)的值可以為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(-\sqrt{2}\)C.\(0\)D.\(2\)答案：AB3.對于二次函數\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，下列說法正確的是（）A.當\(a>0\)時，函數圖象開口向上B.對稱軸為\(x=-\frac{b}{2a}\)C.\(\Delta=b^{2}-4ac\)決定函數圖象與\(x\)軸的交點個數D.當\(c=0\)時，函數圖象一定過原點答案：ABCD4.下列命題中正確的是（）A.若\(p\)且\(q\)為假命題，則\(p\)，\(q\)均為假命題B.若\(x>1\)，則\(x>2\)的逆否命題為真命題C.命題“\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+1<0\)”的否定是“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+1\geqslant0\)”D.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1>0\)答案：CD5.設等差數列\(\{a_{n}\}\)的公差為\(d\)，前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(d>0\)且\(S_{3}=S_{7}\)，則（）A.\(a_{5}>0\)B.\(a_{6}<0\)C.\(S_{5}\)最大D.\(S_{8}<S_{4}\)答案：BCD6.下列函數是奇函數的是（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\)D.\(y=e^{x}-e^{-x}\)答案：ABCD7.在\(\triangleABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，已知\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，則（）A.若\(b=1\)，則\(c=2\)B.若\(b=\sqrt{3}\)，則\(C=60^{\circ}\)C.若\(b+c=3\)，則\(\triangleABC\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\triangleABC\)外接圓半徑\(R=1\)答案：ABCD8.已知直線\(l_{1}:ax+y+1=0\)，\(l_{2}:x+ay+1=0\)，\(a\inR\)，則（）A.當\(a=1\)時，\(l_{1}\)與\(l_{2}\)重合B.當\(a=-1\)時，\(l_{1}\)與\(l_{2}\)平行C.\(l_{1}\)恒過定點\((0,-1)\)D.\(l_{2}\)恒過定點\((-1,0)\)答案：ACD9.已知函數\(y=f(x)\)的圖象關于直線\(x=1\)對稱，當\(x>1\)時，\(y=f(x)\)單調遞增，則下列結論正確的是（）A.\(f(0)<f(-1)\)B.\(f(2)<f(-1)\)C.\(f(3)>f(4)\)D.\(f(3)=f(-1)\)答案：AD10.若\(e^{x}>x^{2}+ax+1\)對\(x\in(0,+\infty)\)恒成立，則\(a\)的取值范圍可以是（）A.\((-\infty,e-2)\)B.\((-\infty,e)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((-\infty,1)\)答案：ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\cdotb=0\)，則\(a=0\)或者\(b=0\)。（×）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上是減函數。（×）3.對于任意的\(x\inR\)，\(2^{x}>0\)。（√）4.若數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+n\)，則\(a_{n}=2n\)。（√）5.直線\(y=kx+b\)的斜率\(k\)等于\(\tan\alpha\)，其中\(\alpha\)是直線的傾斜角。（×）6.在\(\triangleABC\)中，\(A>B\)是\(\sinA>\sinB\)的充分不必要條件。（×）7.函數\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)是奇函數。（√）8.若函數\(y=f(x)\)在區間\([a,b]\)上連續，則\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（√）9.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，\(e>1\)。（√）10.兩個向量的夾角的范圍是\([0,\pi]\)。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^{3}-3x^{2}-9x+5\)的極值。答案：首先求導\(y'=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(y'=0\)，得\(x=3\)或\(x=-1\)。當\(x<-1\)時，\(y'>0\)，函數單調遞增；當\(-1<x<3\)時，\(y'<0\)，函數單調遞減；當\(x>3\)時，\(y'>0\)，函數單調遞增。所以極大值為\(y(-1)=10\)，極小值為\(y(3)=-22\)。2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)以及\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times(-4)=3-8=-5\)。\(\vec{a}+\vec{b}=(4,-2)\)，\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。3.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點坐標和長軸長。答案：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)，這里\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=4\)。焦點坐標為\((\pm4,0)\)，長軸長\(2a=10\)。4.設等比數列\(\{a_{n}\}\)的公比\(q=2\)，\(a_{3}=8\)，求\(a_{1}\)和\(a_{n}\)。答案：由\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，\(a_{3}=a_{1}q^{2}\)，已知\(q=2\)，\(a_{3}=8\)，則\(8=a_{1}\times2^{2}\)，解得\(a_{1}=2\)。\(a_{n}=2\times2^{n-1}=2^{n}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\lnx-x\)的單調性。答案：求導得\(y'=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}\)，\(x>0\)。當\(0<x<1\)時，\(y'>0\)，函數單調遞增；當\(x>1\)時，\(y'<0\)，函數單調遞減。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(A=30^{\circ}\)，討論三角形解的個數。答案：根據正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{4\times\frac{1}{2}}{3}=\frac{2}{3}\)。因為\(a<b\)且\(\sinB=\frac{2}{3}\)，所以三角形有兩解。3.討論直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的位置關系。答案：將\(y=kx+1\)代入橢圓方程得\(\frac{x^{2}}{4}+(kx+1)^{2}=1\)，整理得\((1+4k^{2})x^{2}+8kx=0\)，\(\Delta=64k^{2}\)。當\(k=0\)時，直線與橢圓相切；當\(k\neq