§2.5

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是

＝

(a>0，m，n∈N＋，且

為既約分數(shù)).正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是

＝

(a>0，m，n∈N＋，且

為既約分數(shù))；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于

；0的負分數(shù)指數(shù)冪

.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aαaβ＝

，(aα)β＝

，(ab)α＝

，其中a>0，b>0，α，β∈Q.知識梳理0沒有意義aα＋βaαβaαbα2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)__值域(2)_________性質(zhì)(3)過定點____(4)當(dāng)x>0時，

；當(dāng)x<0時，_________(5)當(dāng)x>0時，

；當(dāng)x<0時，______(6)在(－∞，＋∞)上是_______(7)在(－∞，＋∞)上是________(0，＋∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)R幾何畫板展示1.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，

.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)

＝a(n∈N＋).(

)(2)分數(shù)指數(shù)冪

可以理解為

個a相乘.(

)(3)函數(shù)y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數(shù)函數(shù).(

)(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(

)(5)函數(shù)y＝2－x在R上為單調(diào)減函數(shù).(

)基礎(chǔ)自測××√×123456√7題組二教材改編12456答案解析－2x2y374.已知a＝

，b＝

，c＝

，則a，b，c的大小關(guān)系是________.解析12456答案3c<b<a7即a>b>1，∴c<b<a.題組三易錯自糾解析原式＝

×1＋

×

－

＝2.解析12456答案3726.若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______________________.解析12456答案解析由題意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，377.已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大

，則a的值為________.解析答案1245637題型分類深度剖析1.化簡：

·(a>0，b>0)＝____.題型一指數(shù)冪的運算自主演練答案解析2.計算：

＋

－10(－2)－1＋π0＝________.解析答案3.(2017·蘭州模擬)化簡：

(a>0)＝____.

解析答案a2解析原式＝

＝

＝a2.(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).思維升華典例

(1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是解析題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用師生共研解析f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合條件的圖象只有A.答案√(2)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b≥0，c＞0C.2－a＜2c

D.2a＋2c＜2解析答案√幾何畫板展示解析作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，∵a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，結(jié)合圖象知，0＜f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故選D.(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除.(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)已知實數(shù)a，b滿足等式2018a＝2019b，下列五個關(guān)系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式有A.1個

B.2個

C.3個

D.4個解析如圖，觀察易知，a，b的關(guān)系為a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.解析答案√(2)方程2x＝2－x的解的個數(shù)是_____.解析方程的解可看作函數(shù)y＝2x和y＝2－x的圖象交點的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個函數(shù)的圖象(如圖).由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解.1解析答案命題點1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用典例

(1)(2017·河南百校聯(lián)考)已知f(x)＝2x－2－x，a＝

，b＝

，則f(a)，f(b)的大小關(guān)系是__________.題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究f(b)＜f(a)答案解析易知f(x)＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，又a＝

＝

＞

＝b.∴f(a)＞f(b).解析解析(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是________.(－3,1)答案∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.∴0≤a<1，綜上，a的取值范圍為(－3,1).命題點2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典例

(1)已知函數(shù)f(x)＝

(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是__________；(－∞，4]答案而y＝2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以m的取值范圍是(－∞，4].解析幾何畫板展示(2)函數(shù)f(x)＝

的單調(diào)減區(qū)間為____________.(－∞，1]解析答案又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1].(3)函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是___________.[0，＋∞)解析答案解析設(shè)t＝2x(t>0)，則y＝t2－2t的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是[0，＋∞).命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例

已知函數(shù)f(x)＝

.(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解當(dāng)a＝－1時，f(x)＝

，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.則u在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2).解答(2)若f(x)有最大值3，求a的值；由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值－1，解答即當(dāng)f(x)有最大值3時，a的值為1.(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.解由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域為R，則必有a＝0.解答(1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域，單調(diào)區(qū)間，最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)已知函數(shù)f(x)＝

的值域是[－8,1]，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，－3] B.[－3,0)C.[－3，－1] D.{－3}解析答案解析當(dāng)0≤x≤4時，f(x)∈[－8,1]，√∴實數(shù)a的取值范圍是[－3,0).幾何畫板展示(2)(2017·江淮十校第三次聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx) D.與x有關(guān)，不確定解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)關(guān)于x＝1對稱，易知b＝2，c＝3，當(dāng)x＝0時，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，當(dāng)x＞0時，3x＞2x＞1，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(bx)<f(cx)，當(dāng)x＜0時，3x＜2x＜1，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，∴f(bx)<f(cx)，綜上，f(bx)≤f(cx).√解析答案典例

已知函數(shù)y＝

(a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)在區(qū)間上有最大值3，最小值

，

試求a，b的值.指數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論現(xiàn)場糾錯糾錯心得現(xiàn)場糾錯錯解展示錯解展示：現(xiàn)場糾錯解令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，①若a>1，函數(shù)f(t)＝at在[－1,0]上為增函數(shù)，②若0<a<1，函數(shù)f(t)＝at在[－1,0]上為減函數(shù)，糾錯心得在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性或值域問題時，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時，要對底數(shù)分類討論.課時作業(yè)1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.a>1，b<0 B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.解析答案√2.設(shè)2x＝8y＋1,9y＝3x－9，則x＋y的值為A.18

B.21

C.24 D.27答案√12345678910111213141516解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1),∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y,∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.解析3.(2017·河南南陽、信陽等六市一模)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，當(dāng)x＞0時，1＜bx＜ax，則A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1C.1＜b＜a

D.1＜a＜b答案12345678910111213141516√解析∵當(dāng)x＞0時，1＜bx，∴b＞1.解析4.(2018屆吉林實驗中學(xué)月考)設(shè)a＝

，b＝

，c＝lnπ，則A.c<a<b

B.a<c<bC.a<b<c

D.b＜a＜c解析答案12345678910111213141516√解析∵

<0，0<<1，lnπ>1，∴a<b<c.5.已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1)，則f(x)的值域為A.[9,81] B.[3,9]C.[1,9] D.[1，＋∞)解析答案12345678910111213141516√解析由f(x)過定點(2,1)可知b＝2，因為f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函數(shù)，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故選C.6.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝

，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]解析答案12345678910111213141516√由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減.故選B.解析答案123456789101112131415167.(2017·濮陽質(zhì)檢)若“m＞a”是“函數(shù)f(x)＝

＋

的圖象不過第三象限”的必要不充分條件，則實數(shù)a能取的最大整數(shù)為_____.－1答案123456789101112131415168.不等式

>

的解集為________.(－1,4)解析

原不等式等價為

>2－x－4，解析又函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，∴－x2＋2x>－x－4，即x2－3x－4<0，∴－1<x<4.解析答案9.若直線y1＝2a與函數(shù)y2＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是______.解析

(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)0<a<1時，作出函數(shù)y2＝|ax－1|的圖象，1234567891011121314151610.當(dāng)x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析12345678910111213141516答案(－1,2)11.(2017·安徽江淮十校聯(lián)考)已知max(a，b)表示a，b兩數(shù)中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，則f(x)的最小值為___.解析e答案12345678910111213141516當(dāng)x≥1時，f(x)＝ex≥e(當(dāng)x＝1時取等號)，當(dāng)x＜1時，f(x)＝e|x－2|＝e2－x＞e，因此x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝e.12.已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常量，且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24).(1)求f(x)的表達式；解因為f(x)的圖象過A(1,6)，B(3,24)，解答12345678910111213141516所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)若不等式

在(－∞，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解答1234567891011