上課手機(jī)關(guān)了嗎？6/11/20251第一章行列式習(xí)題課——行列式計(jì)算方法小結(jié)：

利用行列式的定義；化三角形法；拆行(列)法；4.按某一行(列)或某k行(列)展開；5.利用范德蒙行列式的結(jié)論；

6.數(shù)學(xué)歸納法；7.遞推法；

8.加邊法(升階法)。

6/11/20252第一章行列式例1.計(jì)算n階行列式

[分析]0較多,用行列式定義或展開定理.解(一)由行列式定義

(二)按第一列展開此行列式,得＝9?！化上三角形例2.計(jì)算

(1)＝9展開降階例2.計(jì)算

(1)＝－＝3=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12(3)=1604階“范德蒙行列式”!(2)例3.證明證明:法一:左＝＝右6/11/20257第一章行列式法二:左＝右6/11/20258第一章行列式解:D每行元素之和相同，2——n列加至首列例4.計(jì)算6/11/20259第一章行列式注:本題首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式6/11/202510第一章行列式例5

計(jì)算行列式

[分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后無法通過2至末行減首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.解：6/11/202511第一章行列式6/11/202512第一章行列式例6計(jì)算解:[分析]首行乘以(－1)加至2至n行可得箭形行列式6/11/202513第一章行列式例7.解方程解法(一)末列×(-ai)加至第i列(i=1,2,…,n)得上三角形.(二)末行×(-1)加至1至n行,再由行列式定義或按末列展開.(三)末行起,每行減其上行,再由行列式定義或按末列展開.(四)方程為一元n次方程,最多有n個(gè)實(shí)根,而當(dāng)x=a1,a2,…,an時(shí),方程左邊行列式兩行相同,值為0,方程成立,故為根.1.2例解方程6/11/202514第一章行列式例8計(jì)算

(P20)特點(diǎn):“0”多方法:降階找遞推公式0000解：法(一)按第1行展開，再6/11/202515第一章行列式解：法(一)按第1行展開,再遞推公式:＝adD2(n-1)－bcD2(n-1)

＝(ad－bc)D2(n-1)

D2n＝(ad－bc)D2(n-1)

＝(ad－bc)2D2(n-2)

＝(ad－bc)n-1D2＝(ad－bc)n＝…按末行展開，有：6/11/202516第一章行列式法(二)按中間兩行展開——拉普拉斯定理,重復(fù)此步驟.法(三)d＝0,用定義；d≠0,

化下三角形行列式.＝(ad－bc)D2(n-1)

＝(ad－bc)2D2(n-2)

＝(ad－bc)n-1D2＝(ad－bc)n＝…6/11/202517第一章行列式例9解:按首行(列)展開,變形為:①＝…后一行列式再按首列(行)展開得Dn-26/11/202518第一章行列式②①、②消去Dn-1得時(shí)由①得＝…按另一種方式變形為:①=…[注]1.《練習(xí)卷》P3.三5為本題特例:2.本題換作證明題則簡(jiǎn)單些：證明n階行列式(其中a≠b)證用數(shù)學(xué)歸納法：結(jié)論成立；結(jié)論成立；n=1,D＝a+b＝n=2,D＝a2+ab+b2＝設(shè)n≤k-1時(shí)結(jié)論成立,即按首行(列)展開,后一行列式再按首列(行)展開得Dk＝(a+b)Dk-1-abDk-2故命題成立.則例10

計(jì)算

(P22)(一)2至n列加至首列,再2至n行減首行得上三角.(二)2至n行減首行得箭形行列式(三)加邊(升階)法:解：6/11/202522第一章行列式箭形行列式加邊(升階)法另見《練習(xí)卷》P4.二1.6/11/202523第一章行列式例11《練習(xí)卷》P4.二主對(duì)角線上元素去掉1,則各行分別有公因子x1,x2,…,xn,提取公因子后各行元素都是x1,x2,…,xn,故考慮“加邊法”第2行減去第1行的x1倍,第3行減去第1行的x2倍,…,第n+1行減去第1行的xn倍.箭形行列式(－1)mnab設(shè)則(一)按前n行展開得(二)B的第一行逐行向上交換經(jīng)n次至C的首行,B的原第二行逐行向上交換經(jīng)n次至C的第二行,…,直至B位于C的左上角,得

(92考研試卷四

)1-a+a2-a3+a4-a5

(96考研試卷五

)(一)2－5列加至首列,按首列展開,得同型四階行列式再2－4列加至首列,按首列展開,三階行列式對(duì)角線法則展開易得.(二)從末列起,每列加至前列,所得行列式從首列起,每列×(-a)加至后列,即得下三角形行列式.6/11/202527第一章行列式(－1)n－1(n－1)

(97考研試卷四

)2－末列加至首列，再2－末行減首行，即得上三角形行列式。6/11/202528第一章行列式

(99考研試卷二)方程2－4列減首列，再2列加至4列：根的個(gè)數(shù)為（

）(A)1(B)2(C)3(D)4B－28

(01考研試卷四

)若題為“代數(shù)余子式之和”,則為0;本題直接計(jì)算易,因?yàn)楹?較多.若0不多，技巧：，第四行各元素余子式之和的值為

M41+M42+M43+M44＝－A41+A42－A43+A44

(96考研試卷一、二

)前例!——用定義.可按2、3兩行展開.四階行列式的值等于（）D(A)a1a2a3a4－b1b2b3b4(B)a1a2a3a4+b1b2b3b4(D)(a2a3－b2b3)(a1a4－b1b4)(C)(a1a2－b1b2)(a3a4－b3b4)6/11/202531第一章行列式備用題1.

計(jì)算行列式

[分析]n+2階的三對(duì)角行列式.其非0元特點(diǎn)!化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,…,直至將新的第n+1列-(a+nb)倍加到第n+2列6/11/202532第一章行列式解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,…,直至新第n＋1列-(a+nb)倍加到第n＋2列,得:＝a(a+b)(a+2b)…(a+(n+1)b)6/11/202533第一章行列式備用題2.計(jì)算行列式

另一思路：盡管每行元素之和不全相同，但若將第2至末列加至首列