四川省樂山市2025屆第三次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知在復(fù)平面內(nèi)，，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，，則（

）A．5 B． C．2 D．3．已知數(shù)列的通項公式為，則下列不是數(shù)列的項的是（

）A．2 B．13 C．39 D．494．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．5．與雙曲線有公共焦點，且離心率為的橢圓方程為（

）A． B． C． D．6．已知等腰三角形中，，，，，，那么（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為，，，是不為0的常數(shù)，則（

）A．的極差等于的極差B．的第50百分位數(shù)等于的第50百分位數(shù)C．的平均數(shù)等于的平均數(shù)D．的方差等于的方差10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．若直線傾斜角為，則C． D．與之間的距離為311．已知函數(shù)，當且僅當時，導(dǎo)函數(shù)成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．曲線與在點處的切線方程為.13．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，在以，，，，，為起點和終點的所有有向線段表示的向量中，相反的向量共有對.

14．三棱錐中，，，，，，向量與向量的夾角為，則三棱錐外接球的表面積為.四、解答題15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，前三項分別是，，，且.（1）求和的值；（2）若（為常數(shù)），使得，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和的最小值，及其取最小值時的值.16．在中，角的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，的角平分線交于，求.17．如圖，直五棱柱中，四邊形為正方形，，二面角的平面角為，為中點.（1）當時，證明：平面；（2）當直線與平面所成的角為時，求的值.18．電影《哪吒2》上映以來引起了全社會甚至全世界的關(guān)注，全球票房突破百億.“跟著吒兒去旅游”成為熱門出游方式，某景點宣傳投入金額（單位：萬元）與游客滿意度評分（滿分：100分）之間可能存在一定的關(guān)系，以下是隨機抽取的6個不同線上宣傳投入金額和游客滿意度評分的數(shù)據(jù)：線上宣傳投入金額（萬元）203040506070游客滿意度評分（分）606570788085（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？若可以，求出關(guān)于之間的線性回歸方程；若不可以，請說明理由（精確到小數(shù)點后兩位）；（2）《哪吒2》中更是蘊含著豐富的中國傳統(tǒng)文化，某校舉辦中國傳統(tǒng)文化比賽，甲、乙兩人進入決賽，決賽采用“五局三勝制”，已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，.①若甲以獲勝的概率為，求的最大值；②在①中，若，以作為的值，設(shè)甲、乙比賽的局數(shù)為，求的分布列和期望.參考公式：相關(guān)系數(shù)，，參考數(shù)據(jù)：.19．已知動點與兩個定點，的距離的比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過上的動點作的切線交軸于點，以為圓心，為半徑的圓與軸交于，.已知，，連接，交于點.①求動點的軌跡方程；②過點的直線與點的軌跡交于，兩點，過作軸的垂線，記與直線0的交點為，若，證明：直線過定點.

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，則，故選A.2．【答案】B【詳解】法一：因為，，所以，，所以，則，即.法二：如圖，在坐標系內(nèi)做出復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，，由勾股定理易得.故選B.3．【答案】C【詳解】對于A，令，，故A錯誤；對于B，令，，故B錯誤；對于C，當為偶數(shù)，令，解得：，當為奇數(shù)，令，解得：，故39不是數(shù)列的項，故C正確；對于D，令，，故D錯誤.故選C.4．【答案】B【詳解】由可得，又因為，所以，故選B.5．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，雙曲線的焦點為，所以，又因為離心率為，所以，所以，又因為，所以圓的方程為.故選C.6．【答案】B【詳解】解法一：由余弦定理可知：，所以，；解法二：由余弦定理可知，因為，則，所以，即，故選B.7．【答案】D【詳解】解法一：由題意可得：，，從而；解法二：由得，平方可得，所以，又，，從而.故選D.8．【答案】C【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，且，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當時，，且，所以的大致圖象，如圖所示.由，可知與的圖象有兩個不同的交點，可得，即實數(shù)的取值范圍為.故選C.9．【答案】AD【詳解】對于選項A，極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，原來的極差是的極差為的極差等于的極差，A選項正確；對于選項B，記樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，是不為0的常數(shù)，當時，；當時，；故B選項錯誤；對于選項C，不妨設(shè)的平均數(shù)為，是不為0的常數(shù)，則的平均數(shù)為，故C選項錯誤；對于選項D，由方差的定義可知與的離散程度相同，兩組數(shù)據(jù)方差相等，故選項D正確.故選AD10．【答案】AC【詳解】拋物線的焦點為，由軸，，得，直線斜率，直線方程為，由，得，對于A，，，A正確；對于B，，由，，得，B正確；對于C，，C正確；對于D，與之間的距離為，D錯誤.故選AC11．【答案】ABD【詳解】由得，，則的定義域為，又當且僅當時，導(dǎo)函數(shù)成立，則的解集為，即的解集為，則，，，則，故A正確；，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，則，故B正確；C錯誤；因，則，則，記，則，兩式相加得，則，記，故D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】由，可得，可得所以曲線在點處的切線方程.13．【答案】39【詳解】當取兩個點時，比如與，這樣的相反向量有對；當不是上述情況時：①斜著時，有4對；②豎著時，有對；③橫著時，短橫有對；長橫有對；相反的向量共有對.14．【答案】【詳解】過作，過作，交于，因為向量與向量的夾角為，所以，又因為，所以，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，且平面平面，過作于，且平面，所以平面，在直角中，因為，所以，，在直角中，因為，，可得，所以，取中點，則為直角的外心，且，在中，由余弦定理可得，則三棱錐外接球的球心在過且垂直于平面的直線上，由于平面，平面，故，如圖所示，過作交于，則四邊形為矩形，所以，設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，則，可得，即，解得，所以三棱錐外接球的表面積為.15．【答案】（1），（2）或，【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的前三項分別是，，，則，解得.當時，，，故.又，即，則或（舍去），故.（2）由（1）可得，，，，，成等比數(shù)列，即即，解得.故，且為等差數(shù)列，時，，且，當時，，故或時，有最小值.且.16．【答案】（1）（2）2【詳解】（1）由，得，所以，因為，所以，所以，即.（2）解法一：等面積法.因為，，由（1）知，所以，，，因為，即，所以解得.解法二：在中，因為，，由（1）知，由余弦定理，解得，由正弦定理可得，所以，即或（舍），所以.又，所以是等腰三角形，所以.17．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因為為直五棱柱，所以平面，又平面，所以，，由，得，所以.因為為的中點，在中，由勾股定理得.因為，，，所以，故，又，，平面，所以平面.（2）如圖，易知，，兩兩垂直，以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，因為平面，平面，所以，，所以為二面角的平面角，所以，則，，，，故，.設(shè)平面的法向量為，由得取，得，故.又，，即，化簡可得.解得得（舍去）.18．【答案】（1）可以，（2）①；②分布列見解析，【詳解】（1）解：由已知得，，可得，，，所以，因為，可以推斷與正兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，則，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）解：①若甲以獲勝，則前四局中甲、乙各勝兩局，且第五局甲獲勝，所以，所以，令，可得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當時，取得最大值，②由①知，，隨機變量，可得；；，所以隨機變量的分布列為345所以.19．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【詳解】（1）設(shè)點，由，即，化簡得.（2）①解法一：設(shè)，則：，.：，.，，即...解法二：設(shè)，