2012年高考數學試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函數\(y=2^x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec=(\)\)A.\((0,3)\)B.\((1,3)\)C.\((2,3)\)D.\((0,1)\)4.直線\(y=x+1\)的斜率為（）A.-1B.0C.1D.25.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)6.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=(\)\)A.1B.2C.3D.48.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)9.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.210.已知\(f(x)=x^3\)，則\(f^\prime(1)=(\)\)A.1B.2C.3D.4多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)3.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(k_1=k_2\)且\(b_1\neqb_2\)4.一個正方體的棱長為\(a\)，則它的（）A.表面積為\(6a^2\)B.體積為\(a^3\)C.面對角線長為\(\sqrt{2}a\)D.體對角線長為\(\sqrt{3}a\)5.以下屬于基本初等函數的有（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數6.已知\(\triangleABC\)，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則以下哪些是正弦定理的表達式（）A.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)B.\(a\sinB=b\sinA\)C.\(b\sinC=c\sinB\)D.\(a\sinC=c\sinA\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)8.以下哪些點在圓\(x^2+y^2=4\)上（）A.\((0,2)\)B.\((2,0)\)C.\((\sqrt{2},\sqrt{2})\)D.\((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\)9.已知函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導，則（）A.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f^\prime(x_0)\)B.函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續C.函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的切線斜率為\(f^\prime(x_0)\)D.\(f^\prime(x_0)\)是一個常數10.以下哪些是復數的表示形式（）A.代數形式\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）B.三角形式\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)C.指數形式\(z=re^{i\theta}\)D.向量形式\(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)（對應復數\(z=a+bi\)）判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）5.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為\(r\)。（）6.若\(\cos\alpha=0\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)。（）7.等比數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）8.函數\(y=\cosx\)的圖像關于\(y\)軸對稱。（）9.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f(-x)=f(x)\)。（）10.導數\(f^\prime(x)\)表示函數\(f(x)\)在\(x\)處的瞬時變化率。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x^2-2x+1\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數\(a=3\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點坐標\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與直線\(x+2y-3=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+1=0\\x+2y-3=0\end{cases}\)，由第一個方程得\(y=2x+1\)，代入第二個方程得\(x+2(2x+1)-3=0\)，解得\(x=\frac{1}{5}\)，\(y=\frac{7}{5}\)，交點坐標\((\frac{1}{5},\frac{7}{5})\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：設公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)，\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^3\)的單調性與奇偶性。答案：單調性：對\(y=x^3\)求導得\(y^\prime=3x^2\geq0\)，\(x\inR\)，所以在\(R\)上單調遞增。奇偶性：\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)，所以\(y=x^3\)是奇函數。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判定方法。答案：代數法：聯立直線與圓方程，消元得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。幾何法：計算圓心到直線距離\(d\)，與半徑\(r\)比較，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離。3.討論在實際問題中，如何建立函數模型來解決問題。答案：首先明確問題中的變量關系，確定自變量與因變量。然后根據實際情況，找出變量間的數學關系，列出函數表達式。最后根據實際意義確定定義域，再利用函數性質求解最值等問題以解決實際問題。4.討論三角函數在物理學中的應用。答案：在簡諧振動、交流電等方面有廣泛應用。如簡諧振動位移隨時間變化可用正弦或余弦函數描述；交流電的電壓、電流隨時間變化規律也能用三角函數表示，通過三角