2025屆江西省部分學(xué)校高三考前演練數(shù)學(xué)試題（一）一、單選題1．已知向量，，且，則（

）A． B． C．1 D．22．若，則（

）A． B．1 C．2 D．43．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．4．在四面體中，為的中點，且，已知四面體的體積為，則四面體的體積為（

）A．2 B．3 C．4 D．65．的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．2 D．46．已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且不是常函數(shù)，則命題“是周期函數(shù)”是“是周期函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知為拋物線的切線，且交圓于兩點，則的最大值是（

）A． B． C． D．48．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．2024 B．2025 C． D．二、多選題9．已知，則（

）A．的最小正周期為B．的最小值為C．在內(nèi)有3個零點D．在內(nèi)有3個零點10．已知實數(shù)滿足，那么不存在這樣的，使得（

）A． B．C． D．11．設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（

）A．若，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B．若，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C．不可能組成等邊三角形的三邊D．有可能組成直角三角形的三邊三、填空題12．已知集合，則的真子集個數(shù)為．13．在中，角的對邊分別為，且，若，則的最大值為．14．著名的“冰雹猜想”定義了一個具有兩種運算的函數(shù)，其定義域和值域均為正整數(shù)集：例如：設(shè)初始值為5，則接下來的復(fù)合運算為從集合中隨機抽取一元素，使得的前五次復(fù)合運算分別為的概率為．四、解答題15．如圖所示，在三棱臺中，為等腰直角三角形，設(shè)為中點，若，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面夾角的余弦值．16．設(shè)的面積為，內(nèi)角的對邊分別為為中點，已知．（1）求；（2）若，求的范圍．17．已知．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）已知方程恰有3個實根，求的值．18．已知為坐標(biāo)原點，橢圓，雙曲線與焦點相同，離心率互為倒數(shù)．線段是的一條弦，且中點在上．（1）求的方程；（2）求直線縱截距絕對值的最小值；（3）求面積的最大值．19．馬路上有盞連續(xù)排列的燈，每盞燈亮的概率均為，記存在至少連續(xù)盞燈亮的概率為，已知．（1）寫出；（2）設(shè)為連續(xù)亮的燈數(shù)最大值，求時的期望；（3）求的值．

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，，所以，又因為，所以，即，，解得，故選D2．【答案】C【詳解】由有，令，則，所以，故選C.3．【答案】A【詳解】因為，則，可得，所以，故.故選A.4．【答案】B【詳解】根據(jù)題意如圖所示，過點做垂直于垂足為，過做垂直于垂足為，因為，所以，因為為的中點，所以，，，所以，設(shè)點到平面的距離為，，，所以，又因為四面體的體積為，所以四面體的體積為.故答案為：B5．【答案】D【詳解】因為中常數(shù)項為1，項的系數(shù)為，所以的展開式中，的系數(shù)為，故選D6．【答案】A【詳解】若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，兩邊求導(dǎo)，有：，所以也是周期為的周期函數(shù)；若為周期函數(shù)，但不一定為周期函數(shù)，例如，，不具有周期性，而，周期為，所以“是周期函數(shù)”是“是周期函數(shù)”的充分不必要條件，故選A7．【答案】B【詳解】設(shè)切點為，所以，所以直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，令，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選B.8．【答案】B【詳解】由可得，即，因此；因此，可得，所以.故選B9．【答案】BC【詳解】對于A，由，顯然不恒等于，即不是的周期，故A錯誤；對于B，因，，則，故B正確；對于C，，因，則由可得，即零點有3個，故C正確；對于D，，因，則由有，即零點有4個，故D錯誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，即，解得，又，即，解得，所以，故A符合題意；對于B，令，則，代入，可得，展開可得，由可得，即，故B不符合題意；對于C，表示圓上的點與點連線的斜率，設(shè)過點的直線方程為，即，由圓心到直線的距離可得，即，即不存在符合題意的，故C符合題意；對于D，由可得，則，令，則，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即不存在符合題意的，故D符合題意；故選ACD11．【答案】ABD【詳解】對于A，，，所以，若，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，正確；對于B，若，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，正確；對于C，取，可得平均數(shù)為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，此時，即有可能組成等邊三角形的三邊，錯誤；對于D，取，可得平均數(shù)為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，此時滿足，即有可能組成直角三角形的三邊，正確.故選ABD12．【答案】7【詳解】對于集合，當(dāng)是，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，則其真子集的個數(shù)為.13．【答案】/【詳解】因為，由正弦定理得，在中，，即，故，，由余弦定理得，又因為，所以，當(dāng)即時等號成立.14．【答案】/【詳解】設(shè)初始值為，第一次運算為，所以為奇數(shù)，運算結(jié)果為；第二次運算為，所以為偶數(shù)，運算結(jié)果為；第三次運算為，所以為奇數(shù)，運算結(jié)果為；第四、五次運算均為，所以為4的倍數(shù).設(shè)，，則，因為，所以，.所以，.又，由.所以滿足題意的初始值有13個.所以所求的概率為：.15．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：設(shè)中點為，由于所以，在底面中，由中位線性質(zhì)可知，又所以，且平面故平面，在平面內(nèi)，所以，又，為中點，所以,為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面.（2）連接，由（1）易知：兩兩垂直，如圖建系，由，，則,由（1）平面，在平面內(nèi)，所以，所以，可得：,，又，且同向，則，又，所以，所以，即，因為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又，設(shè)直線與平面夾角為，則，所以，即直線與平面夾角的余弦值，16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為為中點，所以，所以即，又，所以，即，又由余弦定理，即，所以，則；（2）因為，顯然，所以，即，又，，所以，即由正弦定理可得，因為，不妨令，，建立平面直角坐標(biāo)系，由，所以點在以、為焦點的橢圓（除頂點外）上，令橢圓方程為，則，，所以橢圓方程為，當(dāng)在橢圓短軸頂點時，此時無意義，所以，則.17．【答案】（1）在上遞減，遞增（2）【詳解】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)得，構(gòu)造，求導(dǎo)得，則當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞增；則當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞減；即，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）同理，由（1）得，所以當(dāng)時，有則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時方程最多只有兩根，不滿足題意；則討論的情形：由，存在三個零點，分別為和1，其中的零點由數(shù)形結(jié)合可得：可知，由此可得：當(dāng)時，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；此時依次有2個極小值點和一個極大值點1，因為，所以則，，所以有，即兩個極小值相等，所以方程有3個實根，必然，即．18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由題意可得橢圓的焦點坐標(biāo)為，離心率為，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為，離心率為，即，所以的方程為；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線為，，直線與雙曲線聯(lián)立方程組有：，，所以，因為，所以，得中點，因為中點在上，所以，整理化簡得，即，得，因為當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，即，所以直線縱截距絕對值的最小值為；（3）

設(shè)面積為，當(dāng)直線斜率不存在時，由題意可知，直線與軸交點坐標(biāo)為雙曲線的左右頂點，即，代入橢圓得，此時，當(dāng)直線斜率存在時，由（2）可知，，由三角形面積公式得：，代入可得：，令，因為，所以，所以當(dāng)時，，由于，所以面積的最大值是.19．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由于，所以，而表示只有燈亮或只有亮，或者都亮的概率，即.（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、、，則，表示