第24課時人造衛星宇宙速度目標要求1.會比較衛星運行的各物理量之間的關系。2.理解三種宇宙速度，并會求解第一宇宙速度的大小。3.會分析天體的“追及”問題。考點一衛星運行參量的分析1.基本公式(1)線速度大小：由GMmr2＝mv2r得(2)角速度：由GMmr2＝mω2r得ω＝(3)周期：由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝(4)向心加速度：由GMmr2＝man得an＝結論：同一中心天體的不同衛星，軌道半徑r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。2.“黃金代換式”的應用忽略中心天體自轉影響，則有mg＝GMmR2，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天體質量M未知時，可用gR2替換3.人造衛星衛星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛星中的靜止衛星的軌道是赤道軌道。(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋。(2)同步衛星①靜止衛星的軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉的方向相同。②周期與地球自轉周期相等，T＝24h。

③高度固定不變，h＝3.6×107m。④運行速率約為v＝3.1km/s。(3)近地衛星：軌道在地球表面附近的衛星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛星做勻速圓周運動的最大運行速度)。注意：近地衛星可能為極地衛星，也可能為赤道衛星。(1)在同一軌道上質量大的衛星受到地球引力大，是否加速度就大，運行速度就快？(2)隨著我國航空航天科技的發展，將來可以發射定點到廣州上空的靜止衛星嗎？(3)赤道上放置一待發射衛星A，天空運行一同步衛星B，可以由v＝GMr得A衛星線速度大于B答案(1)由a＝GMr2及v＝(2)由于靜止衛星必須與地球自轉同步，且轉動中心必須在地心，故靜止衛星只能定點在赤道正上方。(3)赤道上放置的物體由萬有引力的一個分力提供向心力，故不滿足v＝GMr，又由v＝ωr，A、B兩衛星具有相同的角速度，故B例1(2023·天津卷·1)運行周期為24h的北斗衛星比運行周期為12h的()A.加速度大 B.角速度大C.周期小 D.線速度小答案D解析根據萬有引力提供向心力有F＝GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝ma，可得T＝2πr3GM，v＝GMr，ω＝GM例2(2023·廣東卷·7)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉周期相同。已知Q的質量為M，引力常量為G。關于P的公轉，下列說法正確的是()A.周期為2t1－t0B.半徑為3C.角速度的大小為πD.加速度的大小為3答案B解析由題圖(b)可知探測器探測到Q的亮度隨時間變化的周期為T＝t1－t0，則P的公轉周期為t1－t0，故A錯誤；P繞Q做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得GMmr2＝m4π2T2r，解得半徑為r＝3GMT24π2＝3GM(t1-t0)24π2，故B正確；P例3(多選)(2024·山東青島市校考)如圖所示，赤道面內的同步衛星與地心的距離為r，運行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度大小為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是()A.a1a2＝rR B.C.v1v答案AD解析根據萬有引力提供向心力，有GMmr2＝mv12r，GMm'R2＝m'v22R，故v1v2＝Rr；對于同步衛星和地球赤道上的物體，其共同點是角速度相等，有a1＝ω同步衛星、近地衛星及赤道上物體的比較如圖所示，a為近地衛星，軌道半徑為r1；b為赤道面內的地球同步衛星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉的物體，軌道半徑為r3。比較項目近地衛星(r1、ω1、v1、a1)同步衛星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力來源萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力軌道半徑r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3線速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3考點二宇宙速度三個宇宙速度第一宇宙速度(環繞速度)v1＝7.9km/s，是人造地球衛星的最小發射速度，這也是地球衛星的最大環繞速度第二宇宙速度v2＝11.2km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度(1)試推導第一宇宙速度的兩個表達式。(2)近地衛星的運行周期大約是多長時間？(已知地球質量為m地，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，其中R＝6.4×103km，g＝9.8m/s2)答案(1)由Gm地mR2＝mv由mg＝mv2R得v(2)近地衛星運行周期T＝2πRg＝2π6.4×10例4中國火星探測器“天問一號”成功發射后，沿地火轉移軌道飛行七個多月到達火星附近，要通過制動減速被火星引力俘獲，才能進入環繞火星的軌道飛行。已知地球的質量約為火星質量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，下列說法正確的是()A.若在火星上發射一顆繞火星運動的近地衛星，其速度至少需要7.9km/sB.“天問一號”探測器的發射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC.火星與地球的第一宇宙速度之比為1∶5D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析衛星在行星表面附近繞行的速度為該行星的第一宇宙速度，由GMmR2＝mv2R，可得v＝GMR，故v火∶v地＝1∶5，所以在火星上發射一顆繞火星運動的近地衛星，其速度至少需要v火＝7.95km/s，故A錯誤，C正確；“天問一號”探測器掙脫了地球引力束縛，則它的發射速度大于等于11.2km/s，故B錯誤；g地＝GM地R地2，g火＝G宇宙速度與運動軌跡的關系1.v發＝7.9km/s時，衛星繞地球表面做勻速圓周運動。2.7.9km/s<v發<11.2km/s時，衛星繞地球運動的軌跡為橢圓。3.11.2km/s≤v發<16.7km/s時，衛星繞太陽運動的軌跡為橢圓。4.v發≥16.7km/s時，衛星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。考點三天體的“追及”共線問題例5(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據以上信息可以得出()A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D.下一次“火星沖日”出現在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據開普勒第三定律有r火3r地3＝T火2T地2，可得T火T地＝r火3r地3＝3322，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，速度大小均不變，當火星與地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據萬有引力定律有GMmR2＝mg，由于不知道火星和地球的質量比以及火星和地球的半徑比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度大小之比，故C錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，有ω火＝2πT火，ω地＝2π例6(2024·山東濟寧市校考)地球的兩顆衛星繞地球在同一平面內做勻速圓周運動，環繞方向如圖所示。已知衛星一運行的周期為T0，地球的半徑為R0，衛星一和衛星二到地球中心的距離分別為R1＝2R0，R2＝8R0，引力常量為G，某時刻兩衛星與地心連線之間的夾角為23π，下列說法正確的是()A.衛星二的機械能一定大于衛星一的機械能B.地球的質量M＝30C.衛星二圍繞地球做圓周運動的周期T2＝4T0D.從圖示時刻開始，經過t＝1621T0答案D解析因為兩衛星的質量未知，所以無法比較它們機械能的大小，A錯誤；對衛星一，由牛頓第二定律得GMm4R02＝m(2πT0)2×2R0，解得地球質量為M＝32π2R03GT02，故B錯誤；由開普勒第三定律T22T02＝(8R02R0)3可得衛星二圍繞地球做圓周運動的周期為T2＝8天體“追及”問題的處理方法1.相距最近：兩同心轉動的衛星(rA<rB)同向轉動時，位于同一直徑上且在圓心的同側時，相距最近。從相距最近到再次相距最近，兩衛星的運動關系滿足：(ωA－ωB)t＝2π或tTA－2.相距最遠：兩同心轉動的衛星(rA<rB)同向轉動時，位于同一直徑上且在圓心的異側時，相距最遠。從相距最近到第一次相距最遠，兩衛星的運動關系滿足：(ωA－ωB)t'＝π或t'T3.若兩同心轉動的衛星初始位置不在同一直徑上時，找兩衛星的運動關系時需注意初始時刻兩衛星與地心連線之間的夾角。課時精練(分值：60分)1~7題每小題4分，共28分1.(多選)(2024·山東德州市期中)關于地球同步衛星，下列說法正確的是()A.它的周期與地球自轉周期相同B.它的周期、高度、速度大小都是一定的C.它的速度大小隨高度的變化而變化，但周期都是一定的D.我國發射的同步通信衛星可以定點在北京上空答案AB解析地球同步衛星的周期與地球自轉周期相同，A正確；根據GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r2.2023年10月26日11時14分，“神舟十七號”載人飛船發射成功，10月26日17時46分，“神舟十七號”載人飛船與空間站組合體完成自主快速交會對接，我國空間站在離地球表面高約400km的軌道上運行，已知同步衛星距離地球表面的高度約為36000km。下列說法正確的是()A.我國空間站的運行周期為24hB.我國空間站運行的角速度小于地球自轉的角速度C.我國空間站運行的線速度比地球同步衛星的線速度大D.我國空間站的發射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度答案C解析衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得GMmr2＝m4π2T2r＝可知T＝4π2r3GM，ω＝由于空間站的軌道半徑小于同步衛星的軌道半徑，則空間站的運行周期小于24h；空間站的角速度大于同步衛星的角速度，即大于地球自轉的角速度；空間站的線速度大于地球同步衛星的線速度，故A、B錯誤，C正確；我國空間站的發射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故D錯誤。3.(2024·山東濱州市期末)2023年12月15日，我國在文昌航天發射場使用長征五號遙六運載火箭成功將遙感四十一號衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功。某遙感衛星沿地球同步軌道運行，關于該遙感衛星，下列說法正確的是()A.其運行速度等于7.9km/sB.其向心加速度大于放在赤道上的物體的向心加速度C.其向心加速度大于地球表面的重力加速度D.已知該衛星的軌道半徑和地球自轉的周期，不能求出該衛星的線速度大小答案B解析衛星所受的萬有引力提供做勻速圓周運動的向心力，即GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，因為7.9km/s是近地衛星的環繞速度，且近地衛星的環繞半徑比地球同步衛星小，則該遙感衛星的線速度小于近地衛星的線速度，即其運行速度小于7.9km/s，故A錯誤；因為該衛星與赤道上的物體環繞周期和角速度相等，該衛星的環繞半徑大于赤道上的物體隨地球做勻速圓周運動的半徑，根據a＝ω2r可知，其向心加速度大于放在赤道上的物體的向心加速度，故B正確；根據GMmr2＝ma，解得該衛星的向心加速度a＝GMr2，設地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，有GMmR2＝mg，解得g＝GMR2，因為r>R4.如圖所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的靜止軌道衛星。下列關于a、b、c的說法中正確的是()A.地球同步衛星都與c在同一個軌道上，并且它們受到的萬有引力大小相等B.a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為aa>ab>acC.a與地球的萬有引力全部提供a隨地球自轉的向心力D.a、b、c做勻速圓周運動的周期大小關系為Ta＝Tc>Tb答案D解析地球同步衛星不一定與c在同一個軌道上，但軌道半徑相等，衛星的質量不一定相等，由萬有引力定律F＝GMmr2可知，它們受到的萬有引力大小不一定相等，A錯誤；對于b、c，由萬有引力提供向心力有GMmr2＝ma，解得a＝GMr2，rc>rb，所以ab>ac，由于a、c做勻速圓周運動的周期相等，又a＝rω2，ω＝2πT，rc>ra，可得ac>aa，所以a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為ab>ac>aa，B錯誤；a與地球的萬有引力一部分提供a隨地球自轉的向心力，C錯誤；對于a、c，其周期相等，所以Ta＝Tc，對于b、c，由萬有引力提供向心力有GMmr2＝mr4π2T2，解得T＝2πr3GM，rc>rb，所以Tc>Tb，即a、b5.(2024·江西卷·4)“嫦娥六號”探測器于2024年5月8日進入環月軌道，后續經調整環月軌道高度和傾角，實施月球背面軟著陸。當探測器的軌道半徑從r1調整到r2時(兩軌道均可視為圓形軌道)，其動能和周期從Ek1、T1分別變為Ek2、T2。下列選項正確的是()A.Ek1EB.Ek1EC.Ek1ED.Ek1E答案A解析探測器在環月軌道做勻速圓周運動，則月球對探測器的萬有引力提供向心力，設月球的質量為M，探測器的質量為m，則半徑為r1時有GMmr12＝mv12r1＝m4π2T12r1，半徑為r2時有GMmr22＝mv22r2＝6.(2024·山東煙臺市、德州市模擬)迷你系繩衛星在地球赤道正上方大氣層外，沿圓形軌道繞地球飛行。如圖所示，某系繩衛星由兩個質量相等的子衛星a、b組成，子衛星間的繩沿地球半徑方向，已知子衛星a、b繞地球做圓周運動的軌道半徑分別為r1、r2，地球半徑為R，地球表面處的重力加速度大小為g，系繩質量不計，則系繩衛星做圓周運動的角速度大小為()A.Rr1r2gC.Rr1r2g答案A解析對地球表面附近的物體，有GMmR2=mg。設系繩衛星做圓周運動的角速度大小為ω，子衛星質量均為m0，由萬有引力提供向心力有GMm0r12+GMm0r22=m0ω2r1+m7.火星是近些年來發現的最適宜人類居住生活的星球，我國成功發射“天問一號”標志著我國成功地邁出了探測火星的第一步。已知火星直徑約為地球直徑的一半，火星質量約為地球質量的十分之一，航天器貼近地球表面飛行一周所用時間為T，地球表面的重力加速度為g，若未來在火星表面發射一顆人造衛星，最小發射速度約為()A.gT2π B.5gT10π C.答案B解析由GMmR2＝mv2R，得到星球的第一宇宙速度v＝GMR，設地球的第一宇宙速度為v1，由g＝ωv1＝2πTv1，得v1＝gT2π，設火星的第一宇宙速度為v2，則v2v1＝M2M8~11題每小題6分，共24分8.(多選)(2024·湖南卷·7)2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器順利進入地月轉移軌道，正式開啟月球之旅。相較于“嫦娥四號”和“嫦娥五號”，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集并通過升空器將月壤轉移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的16，月球半徑約為地球半徑的14。關于返回艙在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是(A.其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度B.其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度C.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的23D.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的32答案BD解析返回艙在該繞月軌道上運動時萬有引力提供向心力，且返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑，則有mg月＝mv月2R月得v由于地球第一宇宙速度為近地衛星的環繞速度，同理可得v地＝g地R由①②可得v月＝612v故A錯誤，B正確；再根據線速度和周期的關系有T＝2πv·R，T月得T月＝32T地，故C錯誤、D9.(2024·山東臨沂市期中)星球上的物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2＝2v1。已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的16。不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為(A.gr3 B.gr6 C.gr答案A解析該星球的第一宇宙速度滿足GMmr2＝mv12r，在該星球表面處萬有引力等于重力，有GMmr2＝m·g6，由以上兩式得該星球的第一宇宙速度v1＝gr6，則第二宇宙速度10.(2023·浙江1月選考·10改編)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，當地球恰好運動到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表所示，則相鄰兩次沖日的時間間隔最短的地外行星為()

地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑R/AU1.01.