河北省保定市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知x，y是非零實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．2 D．42．若，則（

）A． B． C． D．3．若非零復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．4．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，4，5，6，4，5，4，若刪除一個(gè)數(shù)后，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，則被刪除的數(shù)為（

）A．1 B．6 C．5或6 D．1或65．若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．157．刻畫(huà)空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來(lái)刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，則其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．若正四棱錐的側(cè)面與底面的夾角的正切值為，則四棱錐在頂點(diǎn)S處的曲率為（

）A． B． C． D．8．若的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為512，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．56 C． D．70二、多選題9．若函數(shù)，則（

）A．為減函數(shù) B．C．的值域?yàn)?D．10．若，隨機(jī)變量，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)p在變化時(shí)，的最大值為11．已知曲線，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是C．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列D．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為三、填空題12．若函數(shù)的最小正周期為T(mén)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．13．已知直線是圓與曲線的公切線，則．14．某藝術(shù)展覽館的一座雕塑底座是正四棱臺(tái)，記為米，米，米．為舉辦特展，某策展團(tuán)隊(duì)計(jì)劃以地面頂點(diǎn)為起點(diǎn)安裝一條燈帶（忽略燈帶的厚度與彈性），燈帶沿正四棱臺(tái)的表面經(jīng)過(guò)側(cè)棱后到達(dá)頂點(diǎn)C，則所需燈帶的長(zhǎng)度的最小值為米．四、解答題15．已知雙曲線的焦距為，離心率為．（1）求C的方程；（2）若A是C的左頂點(diǎn)，直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積．16．如圖，在直五棱柱中，四邊形為正方形，為等腰直角三角形，．

（1）求該五棱柱的體積．（2）證明：平面平面．（3）求直線與平面所成角的正弦值．17．某零件廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱零件的定價(jià)為500元，低于200箱按原價(jià)銷售，不低于200箱有兩種優(yōu)惠方案．方案一：以200箱為基準(zhǔn)，每多100箱免12箱的金額．方案二：通過(guò)雙方議價(jià)，買(mǎi)方能以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.3，以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.4，以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.3．（1）買(mǎi)方甲要在該廠購(gòu)買(mǎi)200箱這種零件，并選擇方案二，求甲以低于萬(wàn)元的金額購(gòu)買(mǎi)這200箱零件的概率．（2）買(mǎi)方乙要在該廠購(gòu)買(mǎi)400箱這種零件，以購(gòu)買(mǎi)總價(jià)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問(wèn)乙選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．（3）買(mǎi)方丙要在該廠購(gòu)買(mǎi)960箱這種零件，由于購(gòu)買(mǎi)的箱數(shù)超過(guò)500，該廠的銷售部讓丙綜合使用這兩種方案作為第三種方案，即一部分用方案一（箱數(shù)必須是100的正整數(shù)倍），另一部分使用方案二（箱數(shù)不限），試問(wèn)丙應(yīng)該如何使用方案三，才能獲得最多的優(yōu)惠？說(shuō)明你的理由．18．（1）在數(shù)列中，若，其中均為常數(shù)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，證明：．（2）若數(shù)列滿足對(duì)應(yīng)的一元二次方程為，該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，其中均為常數(shù)．已知數(shù)列滿足，且．①求的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和．19．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且存在唯一的極值點(diǎn)，則稱為“金字塔函數(shù)”．（1）請(qǐng)判斷函數(shù)是否為“金字塔函數(shù)”．（無(wú)需說(shuō)明理由）（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒為“金字塔函數(shù)”．（3）已知函數(shù)為“金字塔函數(shù)”，求a的取值范圍．

參考答案1．【答案】A【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，所以的最小值為6，故選A2．【答案】B【詳解】因?yàn)椋裕獾?故選B3．【答案】C【詳解】由題意，因?yàn)椋?故選C.4．【答案】C【詳解】將數(shù)據(jù)1，4，5，6，4，5，4按照從小到大的順序排列為1，4，4，4，5，5，6，則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，若刪除一個(gè)數(shù)后，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，則被刪除的數(shù)為5或6.故選C.5．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知.當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上不單調(diào)；當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減.綜上，.故選C.6．【答案】D【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn),當(dāng)時(shí)，上的點(diǎn)為，作，的圖象，如圖，由圖可知，的圖象與拋物線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則有4個(gè)元素，從而的真子集的個(gè)數(shù)為.故選D7．【答案】D【詳解】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，所以頂點(diǎn)的每個(gè)面角均為，故正四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為.故選D.8．【答案】A【詳解】的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和等于的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，則，得，則，因?yàn)榈恼归_(kāi)式中沒(méi)有的項(xiàng)，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為的展開(kāi)式中的系數(shù)，即.故選A9．【答案】BC【詳解】因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù)，的值域?yàn)椋蔬x項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】因?yàn)椋?6，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋裕裕蔬x項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】由，得或，則C由橢圓與直線組成，易知,為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上時(shí)，，若點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，，曲線上的其他點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，A正確；當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)，，由，得，B正確.將代入，得，設(shè)該方程的兩個(gè)根為，，則，即，且，，由，得，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則+=，解得，D正確.當(dāng)時(shí)，介于x1，x2之間，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列，則，即=，得，顯然該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤.故選ABD12．【答案】/【詳解】，由，得，則，即.13．【答案】7【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得（負(fù)根舍去）.設(shè)函數(shù)，則由，得，則解得：，故.14．【答案】/【詳解】如圖1，設(shè)燈帶經(jīng)過(guò)側(cè)棱上的E點(diǎn).如圖2，連接，將側(cè)面和展開(kāi)到同一個(gè)平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段有交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)燈帶的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，交點(diǎn)即為點(diǎn)E.因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危裕捎嘞叶ɡ砜傻?=米，則>，所以，即，因?yàn)椋裕淳€段與線段有交點(diǎn).==，可得=，而，可得=，所以,由余弦定理可得==米，則所需燈帶的長(zhǎng)度的最小值為米.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）依題意，雙曲線的半焦距，由離心率，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，由消去得，解得，，則，所以的面積.16．【答案】（1）10（2）證明見(jiàn)解析（3）【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊苯侨切危裕遥驗(yàn)樗倪呅螢檎叫危栽谥蔽謇庵校酌妫栽撐謇庵捏w積；（2）在直五棱柱中，底面，因?yàn)榈酌妫瑒t，因?yàn)椋裕驗(yàn)榍移矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫?）由題意可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故直線與平面所成角的正弦值為.

17．【答案】（1）0.7（2）方案二更優(yōu)惠，理由見(jiàn)解析（3）應(yīng)該選擇900箱使用方案一，60箱使用方案二，這樣才能獲得最多的優(yōu)惠，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）買(mǎi)方甲要在該廠購(gòu)買(mǎi)200箱這種零件，并選擇方案二，若甲以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交，則成交的金額為萬(wàn)元;若甲以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交，則成交的金額為萬(wàn)元;若甲以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交，則成交的金額為萬(wàn)元故甲以低于萬(wàn)元的金額購(gòu)買(mǎi)這200箱零件的概率為；（2）買(mǎi)方乙要在該廠購(gòu)買(mǎi)400箱這種零件，若乙選擇方案一，則成交的金額為萬(wàn)元若乙選擇方案二，設(shè)成交的金額為萬(wàn)元，則，所以買(mǎi)方乙按方案二在該廠購(gòu)買(mǎi)400箱這種零件的成交金額的數(shù)學(xué)期望為萬(wàn)元因?yàn)椋苑桨付鼉?yōu)惠；（3）設(shè)丙用方案一購(gòu)買(mǎi)箱，則丙用方案一需要支付的金額為元，方案二需要支付的金額的期望為元，所以丙購(gòu)買(mǎi)的金額的期望為萬(wàn)元因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以越大，越小，故應(yīng)該選擇箱使用方案一，箱使用方案二，這樣才能獲得最多的優(yōu)惠.18．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①，②答案見(jiàn)解析【詳解】（1）證明:因?yàn)槭欠匠蹋吹膬蓚€(gè)實(shí)根，所以，則，得證；（2）①解:由題意知的一元二次方程為，解得，根據(jù)題意，不妨取，設(shè)，因?yàn)椋越獾霉剩诮?由，得，因?yàn)?7，，所以由①知，則.設(shè)，則，則所以.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.19．【答案】（1）不是“金字塔函數(shù)”；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【詳解】（1），顯然不關(guān)于對(duì)稱，故不是金字塔函數(shù)；（2）因?yàn)椋裕缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，，因?yàn)椋缘茫茫栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則存在唯一的極值點(diǎn)1，故為“金字塔函數(shù)”.（3）因?yàn)闉椤敖鹱炙瘮?shù)”，所以，所以，整理得對(duì)恒成立，則，得，所以，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)