廣東省遂溪縣第一中學2025屆高三第九次月考 數(shù)學試題(含解析)_第1頁
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文檔簡介

遂溪一中高三級第九次月考數(shù)學科試卷總分:150分時間:120分鐘一、單選題1.已知集合,則(

)A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位,則(

)A. B. C.1 D.3.已知向量,,若,則(

)A. B. C.D.無法確定,與有關(guān)4.如圖1,這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm,口徑26cm,底徑10cm,該碗軸截面(不含碗底部分)是拋物線的一部分,如圖2,則該拋物線的焦點到準線的距離為(

)A. B. C. D.5.若Cn1x+Cn2xA.x=2,n=6 B.x=4,n=6 C.x=8,n=4 D.x=14,n=46.2025年央視春晚的四個分會場分別為重慶、武漢、無錫和拉薩,現(xiàn)有11個志愿者名額分配給這四個分會場,其中一個分會場分5個名額,在余下的三個分會場中每個會場至少分一個名額,則名額分配的不同種數(shù)為(

)A.210 B.35 C.40 D.1207.正方體的棱長為是棱的中點,是側(cè)面內(nèi)一點,且平面,則長度的取值范圍是(

)A. B. C. D.8.與曲線和圓都相切的直線有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條二、多選題9.為了解本地區(qū)居民用水情況,甲、乙兩個興趣小組同學利用假期分別對、兩個社區(qū)隨機選擇100戶居民進行了“家庭月用水量”的調(diào)查統(tǒng)計,利用調(diào)查數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).甲組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、,乙組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、.則下列判斷正確的有(

).A.且. B.且.C.且. D..10.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有相同的對稱軸,則(

)A.B.C.將的圖象向左平移個單位可得到的圖象D.函數(shù)在內(nèi)有4個零點11.曲線的曲率定義如下:若是的導數(shù),是的導數(shù),則曲線在點處的曲率,則(

)A.曲線上不存在曲率大于的點B.曲線在點處的曲率最大C.曲線在點處的曲率為D.曲線在點與處曲率相等,則三、填空題12.雙曲線的左?右焦點分別為是雙曲線右支上一點,且直線的斜率為是面積為的直角三角形,則雙曲線的實半軸長為.13.某公司舉行抽獎活動,在箱子里裝有個紅球和4個黑球,這些小球除顏色外完全相同.在一次抽獎過程中,某員工從中一次性抽取兩個小球,抽出兩個小球顏色均為紅色視為中獎,其余情況均未中獎.假設在有放回地連續(xù)3次抽獎中恰好中獎一次的概率為,則當取到最大值時的值為.14.已知數(shù)列滿足,且對任意,有遞推關(guān)系式:,定義數(shù)列為,則.四、解答題15.如圖,P為半圓(AB為直徑)上一動點,,,記.(1)當時,求OP的長;(2)當面積最大時,求.16.已知橢圓的焦距為,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、,點在以線段為直徑的圓外(為原點),求的取值范圍.17.如圖,邊長為2的正方形是圓柱的軸截面,為底面圓上的點,為線段的中點.(1)證明:平面.(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的長.18.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個零點,為的導函數(shù).(i)求實數(shù)的取值范圍;(ii)記較小的一個零點為,證明:.19.在數(shù)列中,,,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)記,數(shù)列的前項和為,證明:;(3)證明:.遂溪一中高三級第九次月考數(shù)學科參考答案題號12345678910答案AACBCCCCABDABD題號11答案ABD1.A【詳解】,故.故選:A2.A【詳解】由,得,所以.故選:A3.C【詳解】由題,則,所以.故選:C4.B【詳解】以該碗軸截面的對稱軸為軸,拋物線的頂點為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖,設該拋物線的方程為(的單位均為cm),點縱坐標為(單位:cm),則,,于是,解得,故該拋物線的焦點到準線的距離為.故選:B5.【答案】C【詳解】依題意,Cn對于A,x=2,n=6,36對于B,x=4,n=6,56對于C,x=8,n=4,94對于D,x=14,n=4,1546.C【詳解】依題意,選擇一個分會場獲取5個名額,有種方法,再將余下的6個名額分配到另三個分會場,用隔板法有種,所以名額分配的不同種數(shù)為.故選:C7.C【詳解】取的中點為,連接,由中位線易知,又在平面內(nèi),不在平面內(nèi),所以平面,平面,又是平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面平面,又平面,所以在平面內(nèi),又是側(cè)面內(nèi)一點,所以的軌跡是線段,易知,,所以長度的取值范圍是.故選:C8.C【詳解】設直線與曲線相切于點,則的方程為,即.圓C:,因為與圓相切,所以,所以,令,則,令,得或,進一步得到在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,又當時,,所以在區(qū)間上分別有1個零點,所以這樣的切線有3條.故選:C.9.ABD【詳解】中位數(shù)的計算與比較:由圖甲可判斷甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[7,10.5)內(nèi),第一組[0,3.5)的數(shù)據(jù)的頻率為0.01×3.5=0.035,第二組[3.5,7)頻率為0.10×3.5=0.35,則,解得?,由圖乙可判斷乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[10.5,14)內(nèi),則,解得,所以<?.平均數(shù)的計算與比較:甲組平均數(shù)?:.乙組平均數(shù)?:.所以?.眾數(shù)的計算與比較:由圖甲可得甲組眾數(shù)?;由圖乙可得乙組眾數(shù),所以?.標準差的比較:因甲組數(shù)據(jù)分布相對分散,乙組數(shù)據(jù)相對集中在中間區(qū)間,所以.對于A,由前面計算可知<且??,故A正確;對于B,因??且,故B正確;對于C,由前分析得,,,,,,故C錯誤;對于D,因,,,則,故D正確.故答案選ABD.10.ABD【詳解】對于A:因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有相同的對稱軸,所以兩者具有相同的周期,所以,故A正確;對于B、C:因為,又,最小正周期且與的圖象有相同的對稱軸且不重合,所以的圖象是由的圖象向左平移個單位后所得,所以,故B正確,C錯誤;對于D:函數(shù)的零點,即方程的根,即為函數(shù)的零點,對于,令,解得,所以在內(nèi)有,,,共個零點,故D正確.故選:ABD11.ABD【詳解】對于A選項,設,則,,所以,,所以,曲線上不存在曲率大于的點,A對;對于B選項,令,則,,所以,,故當時,取最小值,此時取最大值,且,所以,曲線在點處的曲率最大,B對;對于C選項,由可得,令,則,則,所以,,,所以,曲線在點處的曲率為,C錯;對于D選項,設,則,,則在點處的曲率,因為曲線在點與處曲率相等,即,即,即,整理可得,因為且、均為正數(shù),所以,,由基本不等式可得,即,令,則,即,由于,解得,即,D對.故選:ABD.12.【詳解】由題可知,點在第四象限,.設.由,求得.因為,所以,求得,即.由正弦定理可得:.設,得.由,得,則,,又,所以.故答案為:.13.【詳解】依題意,單次抽獎中獎的概率,則連續(xù)次抽獎中恰好中獎一次的概率,令,則,當時,,當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當時,取得最大值,因此當取最大值時,,而,解得,所以當取到最大值時的值為.故答案為:14.【詳解】已知,當時,,兩式作差得,①當為奇數(shù)時,,因,,則,所以中的偶數(shù)項是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,則當為偶數(shù)時,;②當為偶數(shù)時,,所以中的奇數(shù)項是以為首項,為公差的等差數(shù)列,則當為奇數(shù)時,,因為,所以.故答案為:.15.【詳解】(1)由題意,在中,,,,∴為等腰直角三角形,∴在以為直徑的圓上,取的中點,連接,∴,,在中,,,由正弦定理,,解得:(2)由題意及(1)知,,,在中,,,由余弦定理,,即,即,∴,當且僅當時,等號成立,又,∴當且僅當時,的面積最大,此時,∴.16.【詳解】(1)設橢圓的半焦距為,則,得,又離心率為,解得,,故橢圓的方程為.(2)設直線的方程為,,,由,得,由,得,則,因為點在以線段為直徑的圓外,所以為銳角,因不共線,所以,故,即,因所以解得,因為,則得,解得或,故實數(shù)的取值范圍為.17.【詳解】(1)取線段的中點,連接.在中,.因為,所以,所以四邊形為平行四邊形,則.因為平面平面,所以平面.(2)連接.因為是圓的直徑,所以.過點作圓柱的母線,則平面,所以互相垂直.以為原點,的方向分別為,,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設,則,所以.設為平面的法向量,所以,令,則.易知直線的一個方向向量為.記直線與平面所成的角為,則,化簡得.結(jié)合,解得,所以.18.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,①當時,,函數(shù)在單調(diào)遞減;②當時,令,解得,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當時,,函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述,當時,函數(shù)在單調(diào)遞減;當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)(i)若,由(1)知,至多有一個零點;若,由(1)知,當時,取得最小值,最小值為.因為當時,;當時,,所以函數(shù)有兩個零點當且僅當.設,函數(shù)在單調(diào)遞增.因為,的解集為.綜上所述,的取值范圍是.(ii)因為,由,結(jié)合(i)知,要證

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