遂溪一中高三級第九次月考數(shù)學科試卷總分：150分時間：120分鐘一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，，若，則（

）A． B． C．D．無法確定，與有關(guān)4．如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm，口徑26cm，底徑10cm，該碗軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點到準線的距離為（

）A． B． C． D．5．若Cn1x+Cn2xA．x=2,n=6 B．x=4,n=6 C．x=8,n=4 D．x=14,n=46．2025年央視春晚的四個分會場分別為重慶、武漢、無錫和拉薩，現(xiàn)有11個志愿者名額分配給這四個分會場，其中一個分會場分5個名額，在余下的三個分會場中每個會場至少分一個名額，則名額分配的不同種數(shù)為（

）A．210 B．35 C．40 D．1207．正方體的棱長為是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．與曲線和圓都相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二、多選題9．為了解本地區(qū)居民用水情況，甲、乙兩個興趣小組同學利用假期分別對、兩個社區(qū)隨機選擇100戶居民進行了“家庭月用水量”的調(diào)查統(tǒng)計，利用調(diào)查數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.甲組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、，乙組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、.則下列判斷正確的有（

）.A．且. B．且.C．且. D．.10．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有相同的對稱軸，則（

）A．B．C．將的圖象向左平移個單位可得到的圖象D．函數(shù)在內(nèi)有4個零點11．曲線的曲率定義如下：若是的導數(shù)，是的導數(shù)，則曲線在點處的曲率，則（

）A．曲線上不存在曲率大于的點B．曲線在點處的曲率最大C．曲線在點處的曲率為D．曲線在點與處曲率相等，則三、填空題12．雙曲線的左?右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為是面積為的直角三角形，則雙曲線的實半軸長為.13．某公司舉行抽獎活動，在箱子里裝有個紅球和4個黑球，這些小球除顏色外完全相同.在一次抽獎過程中，某員工從中一次性抽取兩個小球，抽出兩個小球顏色均為紅色視為中獎，其余情況均未中獎.假設在有放回地連續(xù)3次抽獎中恰好中獎一次的概率為，則當取到最大值時的值為.14．已知數(shù)列滿足，且對任意，有遞推關(guān)系式：，定義數(shù)列為，則.四、解答題15．如圖，P為半圓（AB為直徑）上一動點，，，記．(1)當時，求OP的長；(2)當面積最大時，求．16．已知橢圓的焦距為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、，點在以線段為直徑的圓外（為原點），求的取值范圍.17．如圖，邊長為2的正方形是圓柱的軸截面，為底面圓上的點，為線段的中點．(1)證明：平面．(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．18．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，為的導函數(shù).（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）記較小的一個零點為，證明：.19．在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：；(3)證明：.遂溪一中高三級第九次月考數(shù)學科參考答案題號12345678910答案AACBCCCCABDABD題號11答案ABD1．A【詳解】，故.故選：A2．A【詳解】由，得，所以.故選：A3．C【詳解】由題，則，所以.故選：C4．B【詳解】以該碗軸截面的對稱軸為軸，拋物線的頂點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖，設該拋物線的方程為（的單位均為cm），點縱坐標為（單位：cm），則，，于是，解得，故該拋物線的焦點到準線的距離為．故選：B5．【答案】C【詳解】依題意，Cn對于A，x=2,n=6，36對于B，x=4,n=6，56對于C，x=8,n=4，94對于D，x=14,n=4，1546．C【詳解】依題意，選擇一個分會場獲取5個名額，有種方法，再將余下的6個名額分配到另三個分會場，用隔板法有種，所以名額分配的不同種數(shù)為.故選：C7．C【詳解】取的中點為，連接，由中位線易知，又在平面內(nèi)，不在平面內(nèi)，所以平面，平面，又是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，又平面，所以在平面內(nèi)，又是側(cè)面內(nèi)一點，所以的軌跡是線段,易知,，所以長度的取值范圍是.故選：C8．C【詳解】設直線與曲線相切于點，則的方程為，即．圓C：，因為與圓相切，所以，所以，令，則，令，得或，進一步得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，，所以在區(qū)間上分別有1個零點，所以這樣的切線有3條．故選：C.9．ABD【詳解】中位數(shù)的計算與比較：由圖甲可判斷甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[7，10.5)內(nèi)，第一組[0，3.5)的數(shù)據(jù)的頻率為0.01×3.5=0.035，第二組[3.5，7)頻率為0.10×3.5=0.35，則，解得?，由圖乙可判斷乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[10.5，14)內(nèi)，則，解得，所以<?.平均數(shù)的計算與比較：甲組平均數(shù)?：.乙組平均數(shù)?：.所以?.眾數(shù)的計算與比較：由圖甲可得甲組眾數(shù)?；由圖乙可得乙組眾數(shù)，所以?.標準差的比較：因甲組數(shù)據(jù)分布相對分散，乙組數(shù)據(jù)相對集中在中間區(qū)間，所以.對于A，由前面計算可知<且??，故A正確；對于B，因??且，故B正確；對于C，由前分析得，，，，，，故C錯誤；對于D，因，，，則，故D正確.故答案選ABD.10．ABD【詳解】對于A：因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有相同的對稱軸，所以兩者具有相同的周期，所以，故A正確；對于B、C：因為，又，最小正周期且與的圖象有相同的對稱軸且不重合，所以的圖象是由的圖象向左平移個單位后所得，所以，故B正確，C錯誤；對于D：函數(shù)的零點，即方程的根，即為函數(shù)的零點，對于，令，解得，所以在內(nèi)有，，，共個零點，故D正確.故選：ABD11．ABD【詳解】對于A選項，設，則，，所以，，所以，曲線上不存在曲率大于的點，A對；對于B選項，令，則，，所以，，故當時，取最小值，此時取最大值，且，所以，曲線在點處的曲率最大，B對；對于C選項，由可得，令，則，則，所以，，，所以，曲線在點處的曲率為，C錯；對于D選項，設，則，，則在點處的曲率，因為曲線在點與處曲率相等，即，即，即，整理可得，因為且、均為正數(shù)，所以，，由基本不等式可得，即，令，則，即，由于，解得，即，D對.故選：ABD.12．【詳解】由題可知，點在第四象限，.設.由，求得.因為，所以，求得，即.由正弦定理可得：.設，得.由，得，則，，又，所以.故答案為：.13．【詳解】依題意，單次抽獎中獎的概率，則連續(xù)次抽獎中恰好中獎一次的概率，令，則，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值，因此當取最大值時，，而，解得，所以當取到最大值時的值為.故答案為：14．【詳解】已知，當時，，兩式作差得，①當為奇數(shù)時，，因，，則，所以中的偶數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，則當為偶數(shù)時，；②當為偶數(shù)時，，所以中的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則當為奇數(shù)時，，因為，所以.故答案為：.15．【詳解】（1）由題意，在中，，，，∴為等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，取的中點，連接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由題意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，當且僅當時，等號成立，又，∴當且僅當時，的面積最大，此時，∴．16．【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，則，得，又離心率為，解得，，故橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，，由，得，由，得，則，因為點在以線段為直徑的圓外，所以為銳角，因不共線，所以，故，即，因所以解得，因為，則得，解得或，故實數(shù)的取值范圍為.17．【詳解】（1）取線段的中點，連接．在中，．因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，則．因為平面平面，所以平面．（2）連接．因為是圓的直徑，所以．過點作圓柱的母線，則平面，所以互相垂直．以為原點，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，所以．設為平面的法向量，所以，令，則．易知直線的一個方向向量為．記直線與平面所成的角為，則，化簡得．結(jié)合，解得，所以．18．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，①當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減；②當時，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述，當時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（i）若，由（1）知，至多有一個零點；若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.因為當時，；當時，，所以函數(shù)有兩個零點當且僅當.設，函數(shù)在單調(diào)遞增.因為，的解集為.綜上所述，的取值范圍是.（ii）因為，由，結(jié)合（i）知，要證