2024-2025學(xué)年（上）高三年級(jí)第二次模擬考試A數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題紙上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題紙上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1．若，，則（）A． B．C． D．2．若非零向量，滿(mǎn)足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，命題是奇函數(shù)，命題在上是減函數(shù)，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A．5 B． C． D．15．已知，，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且，則的前50項(xiàng)的和為（）A．36 B．39 C．41 D．457．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)值B．實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)值C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，則8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知甲組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為8，方差為2，由這組數(shù)據(jù)得到乙組數(shù)據(jù)，，，，，其中，則（）A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，，，的平均數(shù)為13.5B．乙組數(shù)據(jù)的方差為11C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的方差小于2D．甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍10．設(shè)函數(shù)，則（）A．曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．的最小值為C．方程在上有4個(gè)根 D．存在，使得11．在三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若三角形的周長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓半徑為，則C．若，，則三角形有兩解D．若，則三角形外接圓的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____．13．已知一個(gè)圓柱的底面半徑為3，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)____．14．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，若，，則_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角、B、所對(duì)的邊分別為、b、，．（1）求A；（2）若外接圓的面積為，求面積的最大值．16．（15分）如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段的中點(diǎn)，，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離．17．（15分）投壺是中國(guó)古代士大夫宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀，在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行，尤其是在唐朝得到了發(fā)揚(yáng)光大．投壺是把箭向壺里投，投中多的即勝出．某校開(kāi)展“健康體育節(jié)”活動(dòng)期間，甲、乙兩人輪流進(jìn)行定點(diǎn)投壺比賽（每人各投一次為一輪，且不受先后順序影響），在相同的條件下，甲、乙兩人每輪在同一位置，每人投一次．若兩人有一人投中，則投中者得2分，未投中者得-2分；若兩人都投中，則兩人均得1分；若兩人都未投中，則兩人均得0分．設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，且各次投壺互不影響．（1）求第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率；（2）經(jīng)過(guò)2輪投壺，記甲、乙的得分之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，，求的值．19．（17分）已知函數(shù)，滿(mǎn)足．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．（3）方程無(wú)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的范圍

2024-2025學(xué)年（上）高三年級(jí)第二次模擬考試A卷?數(shù)學(xué)參考答案1．B【分析】解分式不等式化簡(jiǎn)集合，然后利用交集運(yùn)算求解即可．【詳解】，解得，，又，．故選：B．2．B【分析】由投影向量的定義可列出等式，求出向量與的夾角．【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則由題意可知，，因?yàn)橄蛄康膴A角，所以．故選：B．3．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，結(jié)合指數(shù)等相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)判斷的區(qū)間單調(diào)性判斷充分性；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)等相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)判斷必要性，即可得．【詳解】若的奇函數(shù)，則，即恒成立，所以，則，在上單調(diào)遞增，所以在上是減函數(shù)，充分性成立；若在上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，故，此時(shí)不一定有，必要性不成立；所以是的充分不必要條件．故選：A4．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由，可得，所以，所以．故選：B．5．B【分析】根據(jù)兩角和差的正弦、余弦和正切公式，及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】根據(jù)題意可知，因?yàn)椋裕淼茫仁絻蛇呁茫矗忠驗(yàn)椋裕獾茫蔬x：B6．B【分析】根據(jù)已知有，由，則，，，依次類(lèi)推有，再應(yīng)用分組求和即可得．【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)，，當(dāng)且為偶數(shù)，，則，而，則，，，依次類(lèi)推有，所以．故選：B7．C【分析】B選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到，代入，得到方程，結(jié)合該點(diǎn)位于單調(diào)遞增區(qū)間，求出；A選項(xiàng)，將代入，結(jié)合，得到；C選項(xiàng)，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；D選項(xiàng)，時(shí)，，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到方程，解得，代入解析式，求出答案．【詳解】B選項(xiàng)，由圖易得：，又因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)，所以，，得或又因?yàn)樵擖c(diǎn)位于單調(diào)遞增區(qū)間，所以，所以，B對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)閳D像過(guò)，即，，，設(shè)函數(shù)最小正周期為，則由圖得，即，故，又，所以只有當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足要求，A對(duì)C選項(xiàng)，，令，，解得，，故單調(diào)遞增區(qū)間為，，C錯(cuò)D選項(xiàng)，時(shí)，，又，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，解得，D對(duì)故選：C8．C【分析】設(shè)出雙曲線方程，求出一條漸近線的方程，借助其斜率求出的余弦，利用余弦定理建立方程求出離心率．【詳解】令雙曲線的方程為，半焦距為，取漸近線，在中，，則，，，，于是，在中，，則，即，所以雙曲線的離心率為．故選：C9．AC【分析】對(duì)于A，由平均數(shù)和方差性質(zhì)求出兩組數(shù)據(jù)綜合即可求解判斷；對(duì)于B，由方差性質(zhì)即可直接計(jì)算求解判斷；對(duì)于C，由新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于D，由百分位數(shù)定義即可判斷；【詳解】數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為8，數(shù)據(jù)，，，，，對(duì)于A，由題，，，所以數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由題乙組數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題可得數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為8，所以數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋约捉M數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第二大數(shù)據(jù)設(shè)為，則乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是，甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍，故D錯(cuò)誤．故選：AC10．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、最值、方程的根等，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析．對(duì)于A選項(xiàng)，可判斷是否成立來(lái)確定是否關(guān)于對(duì)稱(chēng)；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)三角函數(shù)的最值和基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解；首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的圖像判斷根的個(gè)數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的最值及分母大小進(jìn)行求解．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)： ． ．所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)．A選項(xiàng)正確．對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)椋睿瑒t，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，所以的最小值為-1，且在處取到最小值，所以，所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)椋矗畬⑸厦娴仁交?jiǎn)得．即．當(dāng)時(shí)，，，所以在上，，．當(dāng)時(shí)，在上，，1．令．，可求出單調(diào)區(qū)間．在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，．，，．這說(shuō)明，至少有一個(gè)交點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)：由已知可得且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，而關(guān)于對(duì)稱(chēng)，取，令，則，令，則，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得恒成立，所以此時(shí)成立，所以D選項(xiàng)正確．故選：ABD．11．ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求出A，結(jié)合三角形面積及正弦定理逐項(xiàng)求解判斷．【詳解】在中，由及正弦定理得，則，整理得，即，而，則，則，而，，解得，因此，A正確；對(duì)于B，若的周長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓半徑為，由，得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，有兩解，此時(shí)，即，有兩解，C正確；對(duì)于D，由，得外接圓半徑，此圓面積為，D錯(cuò)誤．故選：ABC12．【分析】方法一：已知漸近線可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將拋物線焦點(diǎn)代入求出值即可求解；方法二：利用待定系數(shù)法求出，即可求解．【詳解】方法一：因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，故可設(shè)的方程為，又經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），所以，即，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二：拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，所以，又，所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．13．【分析】利用圓柱的體積公式，結(jié)合圓柱的外接球球心在圓柱的中心，即可得到外接球半徑，從而可求外接球的表面積．【詳解】如圖，為圓柱上下底面圓圓心，已知圓柱的底面半徑，由其體積為，可得，該圓柱的外接球記為球，則為的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理有：，即外接球的半徑為，所以該外接球的表面積為，故答案為：．14．【分析】由題意以及等比數(shù)列的定義，可得數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可得答案．【詳解】因?yàn)椋矗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，，則，所以．故答案為：．15．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）由面積公式可得外接圓半徑，即可根據(jù)正弦定理求解，由基本不等式即可求解的最大值，由面積公式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫捎嘞叶ɡ砜傻茫遥裕?）設(shè)的外接圓半徑為，所以，所以，由正弦定理得，則，由（1）可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為．16．（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，即可證四邊形為正方形，進(jìn)而得證，又平面平面，四邊形為矩形，即可證，進(jìn)而證平面，即，即證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量為，利用向量法即可求解；（3）求平面的法向量為，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離即可．【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋裕运倪呅螢檎叫危裕裕裕矗裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫势矫妫雌矫妫唬?）由（1）有，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)椋S，建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，，所以，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，所以直線與平面所成角為；（3）由（2）有，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為．17．（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式，再結(jié)合分類(lèi)加法原理，即可求出該事件概率；（2）利用二項(xiàng)分布概率公式，即可求得分布列和期望．【詳解】（1）設(shè)事件“甲投一次，投中”，事件“乙投一次，投中，”事件“第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分”依題意，，，，相互獨(dú)立，所以，即第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率．（2）由（1）知第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率為，因此第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為2分的概率為．依題意，的所有可能取值為0，2，4，，，，的分布列為：024所以．18．（1）（2）【分析】（1）將三角形周長(zhǎng)的條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到，的距離和為定值，利用橢圓的定義即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由題意可知：，．由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．可設(shè)方程為，則，，解得，則，故曲線的方程為．（2）聯(lián)立方程組，消去，整理可得．則．設(shè)，，的中點(diǎn)為，則由韋達(dá)定理可知：，．，．，，則，如圖所示．又，則，即，解得．19．（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【