專題1630°.45°和60°角的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、在60°頂點處構造共頂點等邊三角形 1類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構造直角三角形 3類型三、利用45°角構造等腰直角三角形 5類型四、利用30°角構造直角三角形 7壓軸能力測評 81.等邊三角形的性質性質1：等邊三角形的三個內角相等性質2：含30°角的直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半2.等邊三角形的判定判定1：有三邊相等的三角形是等邊三角形判定2：兩個角是60°（三個內角相等）的三角形是等邊三角形判定3：有一個內角60°的等腰三角形是等邊三角形類型一、在60°頂點處構造共頂點等邊三角形例．如圖，中，，點D、E分別在、上，，、相交于點O，于點G，求證：．【變式訓練1】．在等邊三角形外側作直線，點關于直線的對稱點為，連接，交于點，連接．(1)依題意補全如圖．(2)若，求．(3)若，用等式表示線段之間的數量關系并證明．【變式訓練2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點A旋轉過程中，線段的最大值為______；②若，當B、D、E三點共線時，則的度數為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當的大小在范圍內之間任意改變，的度數是否隨之改變？請說明理由；(3)在（2）的條件下，F是延長線上一點，且，連接，如圖3，試探究之間的關系，并證明．【變式訓練3】．如圖，在四邊形中，垂直平分，，E是上一點，連接交于點F，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構造直角三角形 例．如圖，銳角中，，點在上，交于點E，連接，．(1)特例探索：如圖，若，求的度數；(2)類比遷移：如圖，若，求的度數（用含的代數式表示）；(3)拓展提升：在圖中，猜想與的數量關系，并給出證明．【變式訓練1】．如圖，在中，，點在上，點在的延長線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點是外一點，連接，，，且平分，若，，求的長．【變式訓練2】．如圖，在中，，D是中點，，，點E，F分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數量關系，并證明；(2)求的長．【變式訓練3】．如圖，等腰中，，點D在上，點E在延長線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長．類型三、利用45°角構造等腰直角三角形例．等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．數學課上，同學們探究得到了以下判定和性質：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請應用以上知識解決下列問題：已知線段，點C是平面內一動點，且，連接，點D在右側，且，連接交于點E．

【初步應用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應用】（2）如圖2，在（1）的基礎上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）若，當最長時，請直接寫出的長．【變式訓練1】．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點在邊上，連接，，，連接，．(1)，請你說明理由．(2)求的度數．(3)點關于直線的對稱點為，連接，．補全圖形，判斷與之間的數量關系并說明理由．【變式訓練2】．如圖，已知，中，為的中點，求的度數

【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線相交于點；直線與軸交于點．(1)當時，求的面積；(2)若，求的值；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．類型四、利用30°角構造直角三角形例．如圖，在等邊中，點、分別在邊、上，，線段、交于點，連接．

(1)求的度數；(2)當時，用等式表示線段CF與的數量關系，并證明．【變式訓練1】．如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點D，E．(1)求證：；(2)連接，請判斷的形狀，并說明理由．【變式訓練2】．已知，在中，，，為邊上一點，為射線上一點，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數；(2)如圖2，若，求的度數；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長．【變式訓練3．如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求CD的長．1．如圖，在中，點在上，，延長至，連接．過作，截取，連接．若．

(1)探究與的數量關系；(2)求的值；(3)設與交于點，連接．若為等邊三角形，，求．2．如圖所示，在等邊中，，點P從點B出發，沿方向勻速運動，速度為；點Q從點C出發，沿方向勻速運動，速度為，連接，．設運動時間為t秒，請回答：(1)當平分時，求t的值；(2)當t為何值時，點P在線段的垂直平分線上？(3)在運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．3．如圖，已知在中，，延長到點D，使，求的度數．4．數學中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點是平面上任意一點，設點到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點在三角形的邊上，、、存在怎樣的數量關系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當點在內，已知，求的值．(3)如圖（3），當點在外，請直接寫出與、、的數量關系，不用證明．5．在數學課上，老師將同學們分成“智慧組”，“奮進組”和“創新組”三個數學活動小組，進一步探究等邊三角形的有關問題．(1)如圖①，“智慧組”在等邊中，作于點，經過探究提出下面結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．①中等于的角為______直接填空；②求證：．(2)“奮進組”直接探究了下面的問題：已知：為等邊三角形，以為腰，在外作等腰，使，，連接，則的度數是個定值．①利用圖求出的度數；②“創新組”發現：取中點，連接并延長交直線于點，若，，則可得出線段的長請直接寫出線段的長．6．如圖1，在等邊三角形中，點D、E分別在邊上，,連接與相交于P．

(1)求證：；(2)如圖2，連接,當時，求證：．7．如圖(1)如圖1，等腰和等腰中，，B，E，D三點在同一直線上，求證：；(2)如圖2，等腰中，，，D是外一點，且，求證：；(3)如圖3，等邊中，D是外一點，且，①∠ADB的度數；②DA，DB，DC之間的關系．8．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是邊AB上的動點，連接CD，點B關于直線CD的對稱點為點E，射線AE與射線CD交于點F．（1）在圖中，依題意補全圖形；（2）記∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△BCE是等邊三角形，猜想EF和AB的數量關系，并證明你的結論．9．數學理解（1）如圖1，在等邊內，作，且，E是內一點，且，，求的度數；聯系拓