1（二）有助于發展學生的空間觀念發展學生的空間觀念是《全日制義務教育數學課程標準》中的一個重要目標，也是“圖形與幾何”教學的核心目標之一。在三維圖形與二維圖形的轉化過程中學生要經歷對圖形的想象、重組和構建的過程，在將數學或生活語言所描述的情景繪制成實際情景的過程中，學生的空間觀念將得到發展。2（三）有助于培養良好的思維習慣3二、“圖形與幾何”的教學內容和編排（一）圖形與幾何歷史簡介幾何學起源于埃及尼羅河泛濫后土地重新測量的需要；4古埃及地理位置

埃及是古代文明的發祥地之一?！鞍＜笆悄崃_河賜予的禮物”，尼羅河由南向北縱貫埃及，在紅海、利比亞沙漠和撒哈拉沙漠之間滋潤出一條狹長的綠洲，在這里產生了古埃及文明。5幾何這個詞最早來自于希臘語“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε?ν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。后來拉丁語化為“geometria”。英語「geometry」幾何「geo」代表的是土地，「metrein」指的是測量。6中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。7利瑪竇利瑪竇

(MatteoRicci;1552

1610)意大利傳教士1606年與徐光啟合作翻譯《幾何原本》前6卷。8徐光啟徐光啟（1562?1633）嘉靖41年?崇禎6年字子先，號玄扈，上海徐家匯人。1606年與利瑪竇合作翻譯《幾何原本》前6卷。首先引進「幾何」一詞。9在人們獲得了直線、圓等形的概念以后，而進一步利用筆直的木棍作出直線，利用樹杈作出圓形的時候，他們已經基本上掌握了這些圖形的性質。在西安半坡遺址中，發現圓、正方形的房屋地基（圖8-），并在出土的陶器碎片上發現了大量的幾何圖形（圖8-）。1011古代埃及的數學吉薩金字塔(公元前2600年)（剛果，1978）1213（2）中國數學的起源與早期發展漢像磚伏羲女媧執規矩圖14女媧伏羲執規矩圖黃帝時代隸首作數15中國考古文物上的幾何圖案16測量幾何量必須有一個單位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那時候最簡單、最方便的量具莫過于人體的某一部分。我國古代常用“步”作為長度單位。在西方，也有類似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），碼（yard）則來源于腰圍（gyrgand）之長等。17幾何符號的出現簡化了復雜的數學理論，使得數學理論的應用成為可能。18第一學段的主要內容是：認識簡單幾何體和平面圖形，感受平移、旋轉、對稱現象，學習描述物體相對位置的一些方法，進行簡單的測量活動，建立初步的空間觀念。第二學段的主要內容是：了解一些簡單幾何體和平面圖形的基本特征，進一步學習圖形變換和確定物體位置的方法，發展空間觀念。（二）小學“圖形與幾何”教學內容19事實上，小學“圖形與幾何”的教學內容經歷了從偏重求積計算發展到增加圖形的概念和性質、從偏重知識傳授轉變到重視空間觀念的培養的變化過程。20（三）“圖形與幾何”的教學內容的編排特點“圖形與幾何”的教學內容不是嚴格按照知識的邏輯順序呈現，而以圖形的認識為主線，根據兒童的生理和心理特征，按圖形內容的邏輯關系來構建內容體系。采用“問題情境—建立模型—解釋、應用于拓展、反思”的基本模式展現內容，而不是“公理定義—定理性質—例題—習題”的結構形式。211.“圖形的認識”教學內容的編排特點“圖形的認識”的編排順序是：感知立體圖形—辨認平面圖形—角和直角—長方形、正方形的認識—銳角和鈍角—認識線段、射線和直線—角—相交和平行一認識平行四邊形和梯形—三角形—長方體和正方體—圓—圓柱和圓錐。22一年級設置了認識三維立體圖形（如長方體、正方體、圓柱體、球體）的教學內容；二至四年級編排了認識二維平面圖形（角、線段、直線、射線、長方形、正方形、三角形、四邊形）的教學內容；而五、六年級的教學內容既包括長方體、正方體、圓柱、圓錐等三維幾何體的特征性質也包括二維平面圖形圓的認識。23教學內容的呈現大都采用直觀幾何、實驗幾何的方式，設置的情境貼近學生的現實生活和日常經驗，使學生獲得對簡單的幾何體和平面圖形的直觀經驗，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系。242.“測量”教學內容編排的特點“測量”的教學內容不是單純的圖形面積和體積的計算，而是強調對量的實際意義的理解，讓學生在參與測量的過程中，自己選擇測量的工具和測量方法，從而進一步掌握有關測量的知識和技能。253.“圖形的運動”教學內容編排的特點“圖形的運動”教學內容突出了與生活的聯系，強調活動經驗的積累。

4.“圖形與位置”教學內容編排的特點“圖形與位置”教學內容的編排采用了辨認方向——確定位置——描述路線的順序。26

三、“圖形與幾何”的教學要求（一）關注“圖形與幾何”知識的形成過程一般地說，在“圖形與幾何”教學過程中，教師針對圖形、測量、位置、變換等原發現過程進行教學加工，設計一個學生可接受、可操作、可實現、可理解的的數學情境，引導學生去揭示或感受知識發生的前提或原因，使其認識和了解數學的概念、公式、例題以及應用產生的背景和發展的過程。271.創設問題情景，展現知識的發現過程創設問題情景，就是要為學生提供恰當的實際問題和知識背景，提出符合學生認知水平的思考問題，經過學生觀察、實驗、比較，作出猜想，為“圖形與幾何”知識的形成奠定感性基礎。以“角”這一概念的教學為例，首先設置摸紙片的活動，“布袋里有五個硬紙片（圖8-），你能從布袋里把某個硬紙片摸出來嗎？”通過摸紙片，讓學生初步感受角的形狀特征。28角——（視頻）292.增加實驗操作，再現結論的探究過程如一年級小學生在直觀認識正方形時，通過自己動手對折正方形紙片，能夠認識到正方形“四邊相等”這一特征。又如，學生在學習三角形內角和時，通過撕角、拼角把三角形紙片上的三個內角拼成一個平角，證明了三角形的內角和是180°。303.精心設計問題，揭示解決問題的思維過程數學教學的核心是培養學生解決問題的能力，通過問題的解決來啟迪和發展學生的思維，在完成“圖形與幾何”知識學習的同時，培養學生的思維能力。三角形的面積計算（視頻）31（二）“圖形與幾何”的實際背景1.生活實際背景“圖形與幾何”教學應該從學生的生活經驗和己有的知識出發，充分利用現實生活中的實際背景去理解知識；對稱（李彬課件）322.生產實踐背景結合生產實踐和生活實際去教學，探索知識發生、發展的背景，使學生靈活掌握和應用所學的知識，培養他們的創新能力。如計算做一個油箱用多少鐵皮應求六個面的面積，計算粉刷游泳池需要求四周和底面的五個面的面積，333.幾何發展史背景例如：教學“圓的認識”時介紹一下圓周率的演變發展的過程，特別介紹圓周率的計算過程。34（三）重視直觀感性材料的作用1.實物直觀2.模型直觀3.圖像直觀35四、小學生幾何思維的發展

在20世紀50年代末，范希爾夫婦（PierrevanHiele&DinavanHiele）在格式塔心理學和皮亞杰發生認識論的基礎上提出了幾何思維水平的理論。從整體上把幾何思維分為五個層次，即視角辨認層次、分析層次或描述層次、非形式的演繹層次、形式演繹層次以及嚴密性層次；并提出了相應的教學策略。3637為了更準確地反映小學生幾何思維的發展，應在范·希爾夫婦所說的五個水平上再增加一個新的水平——水平0(前認知)。38介紹小學生幾何思維水平的發展階段。1.水平0：前認知學生能通過整體輪廓辨認圖形，但因感覺活動的缺乏，他們可能只注意形狀直觀特征的某些部分，不能認識到其中的組成部分。392.水平1：視覺對小學生而言，他們能按照外觀識別圖形，在心理上把這些圖形表示為直觀圖形，例如學生可能會因為“三角形像三明治，長方形像門”區分三角形和長方形。然而，學生不關心圖形的幾何性質和本質特征，因此不能正確區分正方形和菱形，而認為兩種圖形是“相等”的。403.水平2：分析學生開始分析圖形的組成要素，能借助觀察、測量、畫圖和建模等手段經驗地建立圖形的性質特征，并依據性質特征識別圖形，但不能解釋圖形的某些性質之間的關聯，也不能識別不同類圖形之間的關系。例如，無論三角形在形狀上有多大的差異，學生都通過三條邊和三個角的特征性質，準確地識別各種形態的三角形，但是沒有構建邊和角的聯系，即不能理解三角形內角越大，對應邊越長的性質。414.水平3：非形式化演繹學生能形成抽象的定義，開始注意圖形與圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論，進一步探索圖形的內在屬性和其包含關系，因而能分層次地將圖形進行分類，并使用公式與定義對這些類別進行非形式化的論證。42第二節圖形與幾何概念與技能教學一、圖形的認識（一）空間觀念的理解1.空間觀念的基本成分《全日制義務教育數學課程標準》對空間觀念培養作了如下描述：“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等”。43在學生數學學習中，空間觀念主要包含如下基本成分。（1）圖形的識別與理解能力（2）圖形的分解與組合能力（3）圖形的建構與探索能力（4）對圖形的運動與變換的欣賞（5）利用幾何直觀解決問題能力44密鋪的例子452.小學生空間觀念發展的心理特點（1）直觀性小學生的認知水平基本上處于“具體運算階段”，認識幾何圖形主要通過動手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、畫一畫等活動），尤其是低年級學生，對圖形的感知往往偏重于對象的直觀性較強的屬性特征，對那些不太明顯的屬性特征和比較抽象的幾何概念的理解比較困難。46（2）描述性小學生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，對于精確的、嚴格的幾何概念，往往很難理解。但需要注意，直觀具體的日常語言描述幾何概念具有兩面性。47一方面，當日常用語與科學概念一致時，有助于學生逐步建立空間觀念，如對“三角形”的描述，會更多地借用日常經驗中的“三角”，或對“正方形”描述為“方塊”，并會用這種描述來作為圖形的識別圖式。另一方面，當日常用語與科學概念不一致時，會影響準確科學的幾何概念的形成，從而干擾正確的空間觀念的建立。如學生容易受到日常用語“角是尖的”這一概念的干擾，對于平角和周角的認識產生困難，并且學生在實物中往往指著頂點說”角”，影響了“從一點引出兩條射線所組成的圖形”這一角的概念的形成。48（3）漸進性小學生形成幾何概念、理解圖形性質以及維數的認識，都需要一個逐步發展的漸進過程。首先，小學生對幾何概念的理解不是一步到位的，而是一個漸進的過程，這個過程與小學生空間思維水平發展的階段性相關。其次，小學生通過觀察、操作、實驗能夠發現幾何對象的性質特征，但是對于不同對象的性質特征關系的理解往往比較困難。再次，小學生維數的認識也是漸進的過程，從二維空間發展到三維空間是相當困難的。49（4）標準性雖然標準圖形有利于小學生發現圖形的性質特征，但是標準圖形的呆板、單一，會在學生頭腦中形成思維定勢，忽視了事物的變化發展，混淆了幾何圖形的本質特征和非本質特征。因此，在教學中，標準圖形和變式圖形要結合運用，使用標準圖形，喚起學生生活中已有的經驗，促進學生對圖形本質特征的認識。503.小學生空間觀念的培養首先，學生經驗是發展空間觀念的基礎。教學“長方體和正方體的認識”——切土豆其次，空間觀念在發展的過程中逐步形成。再次，空間觀念的形成需要自主探索與合作交流的氛圍。51（二）一般幾何圖形的認識1.影響小學生認識幾何圖形的因素（1）原有經驗（2）圖形的綜合性與線性的文字表征相比，幾何圖形往往帶有更多的相關或背景因素。在概念的形成過程中，一個常見的障礙是“把不重要但卻是一般的特征看作為概念的重要特征”。由此導致的錯誤包括：①角必須有一條水平的射線；②直角是指向右邊的；52（3）視覺信息的表征小學生最初是以視覺辨認幾何圖形，而不是用形體特征去分析，因此視覺信息的表征是影響小學生形體概念發展的一個重要因素。研究表明，大多數學生表達視覺信息都有一段困難時期，尤其當任務是由二維工具（如紙和筆）表達三維情景（如由小的磚塊搭成的大樓）或反過來，這種維度上的差異會導致視覺上的“失真”，并引起直覺上的誤解，如把正方體的上、下、左、右四個面看成是平行四邊形。532.一般幾何圖形認識的教學策略（1）借助直觀，逐步抽象，解釋幾何圖形的基本特征（2）運用變式，多方理解，強化幾何圖形的基本特征（3）重視幾何圖形分類的價值54（三）特殊幾何圖形認識1.角的認識（1）角的形成與發展數學中角的概念可以分成以下三個方面來說明：①角是一雙定出兩個方向間的差量之射線；②角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區域；③角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量。55小學階段，角的認識內容包括：初步認識角，了解直角、銳角、鈍角、平角和周角，以及了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。56（2）認識角的教學策略①設計層次性活動，建立角的表象找角活動。摸角活動。發明角活動。臨摹角活動。57②提供多樣化的角，加深對角的理解③理解角的概念要與角的大小、度量、畫法、分類緊密結合起來582.平行的認識（1）平行的概念歐幾里得：平行線是同一平面內的直線向兩個方向無限延長，不論哪個方向都不會相交。①永不相交。②等距離。③在同一平面內，同時垂直于第三條直線的兩條直線，此兩條直線會互相平行。59（2）平行概念教學的策略①借助學生的生活經驗，促進平行意義的理解②增強變式圖形練習，強化平行概念的掌握③縱橫交錯，組建知識體60

（五）識圖和作圖技能教學1．識圖技能小學生識圖技能可以分為相互關聯的3個二級子項：圖形形狀、位置關系和度量關系。①對圖形形狀的識別——直線型（三角形、四邊形及多邊形等）；曲線型（圓及扇形等）。②對圖形位置關系的識別——直線型（平行、相交、垂直等）。③對圖形度量的識別——長度、角度、面積、大小關系的辨認等。612.作圖技能運算、作圖、推理是三種基本的數學活動，因此“能算、會作圖和會推理”是三種基本的數學技能。62

二、測量（一）長度測量我國小學“圖形與幾何”中關于長度測量的教學內容，包括對毫米、厘米、分米、米、千米的認識，以及簡單計算，量線段的長度和畫線段(限整厘米)。63（二）面積測量在小學階段，我們主要討論平面圖形的面積。有關面積的概念，在數學教材中一般采用如下幾種描述方式：①平面上一個封閉圖形所包圍部分的大小；②物體的表面或圍成的平面圖形的大??；③度量平面或曲面上一塊區域的大小。64數學家給出的面積概念是：所謂平面多邊形的“面積”，是指使每一多邊形跟滿足下列條件的一個量相對應：①兩個全等的多邊形有相同的面積，不論它們在空間所占的位置如何；②兩多邊形(沒有任何公共內點)之和的面積，等于這兩個多邊形的面積之和；③約定邊長等于單位長度的正方形作為面積的單位。65（三）體積測量體積是對“物體”大小的量度，憑直覺就能理解。在數學教材中寫道：“物體所占空間的大小，叫做物體的體積”，這并不是嚴格的定義，只是一種解釋，對學生理解“體積”其實沒有多少幫助。因為什么是“空間”，比體積更難懂，有可能會越說越糊涂。實際上，我們要做是告訴學生，物體運動后體積不變，不重疊的兩物體之并的體積是原來兩物體的體積之和，A包含B則A的體積比B大等等體積的特征。這是度量物體體積的基本依據。66三、圖形的運動目前世界各國幾何課程的一個普遍現象是：特別重視變換和對稱思想，許多國家從小學一年級開始涉及各種圖形變換。67（一）“圖形的運動”相關概念1．平移在平面中，將一個圖形沿某一方向移動一定的距離得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作平移。其基本特征是不改變圖形的形狀和大??；由平移得到的圖形上的所有點與原圖上的所有的點不僅是一一對應的關系，而且對應點的連線方向相同、長度也相等，即平移前后圖形對應點之間的連線相互平行且相等。因此，確定平移變換需要兩個因素：一是方向，二是距離。682．旋轉在平面內，將一個圖形繞一點沿某個方向轉動一個角度，得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作旋轉。其基本特征是不改變圖形的形狀和大??；圖形旋轉前后對應點到旋轉中心的距離都相等，各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度。因此，確定旋轉變換需要的三個要素：旋