8.9圓錐曲線中定值模型【題型解讀】【知識必備】定值問題就是證明一個量與其中的變化因素無關，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動點的坐標等，這類問題的一般解法是使用變化的量表達求證目標，通過運算求證目標的取值與變化的量無關．當使用直線的斜率和截距表達直線方程時，在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關系，把雙參數問題化為單參數問題解決．【題型精講】【題型一斜率為定值】例1（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，右焦點為F，右頂點為E，P為直線x＝eq\f(5,4)a上的任意一點，且(eq\o(PF,\s\up7())＋eq\o(PE,\s\up7()))·eq\o(EF,\s\up7())＝2．(1)求橢圓C的方程；(2)過F且垂直于x軸的直線AB與橢圓交于A，B兩點(點A在第一象限)，動直線l與橢圓C交于M，N兩點，且M，N位于直線AB的兩側，若始終保持∠MAB＝∠NAB，求證：直線MN的斜率為定值．【跟蹤精練】1.（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C的中心在原點，離心率等于eq\f(1,2)，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2＝8eq\r(3)y的焦點．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，已知P(2，3)，Q(2，－3)是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點．①若直線AB的斜率為eq\f(1,2)，求四邊形APBQ面積的最大值；②當A，B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由．【題型二距離為定值】例2（2022·青島高三模擬）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且過點A(2，1)．(1)求C的方程；(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【跟蹤精練】1.如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A(A點在x軸下方)，且線段AB的中點E在直線y＝x上．(1)求直線AB的方程；(2)若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP，BP分別交直線y＝x于點M、N，證明：|OM|·|ON|為定值．【題型三面積為定值】例3（2022·全國高三專題練習）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，O是坐標原點，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，|AB|＝4eq\r(2)．(1)求橢圓C的標準方程．(2)若P是橢圓C上異于A，B的一點，直線l交橢圓C于M，N兩點，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由．【題型精練】1.（2022·山西太原五中高三期末）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，四個頂點構成的四邊形面積為2eq\r(2)．(1)求橢圓C的標準方程；(2)斜率存在的直線l與橢圓C相交于M、N兩點，O為坐標原點，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，若點P在橢圓上，請判斷△OMN的面積是否為定值．【題型四數量積為定值】例4（2022·湖北模擬）已知雙曲線的離心率為，點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標以及該常數的值；若不存在，請說明理由.【題型精練】1.（2022·德陽三模）已知O為坐標原點，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上一點E在第一象限，若|OE|＝eq\f(\r(7),2)．(1)求點E的坐標；(2)橢圓C兩個頂點分別為A(－2，0)，B(2，0)，過點M(0，－1)的直線l交橢圓C于點D，交x軸于點P，若直線AD與直線MB相交于點Q，求證：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))為定值．【題型五角度為定值】例5（2022·湖北模擬）已知點M(x0，y0)為橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1．上任意一點，直線l：x0x＋2y0y＝2與圓(x－1)2＋y2＝6交于A，B兩點，點F為橢圓C的左焦點．(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；(2)求證：直線l與橢圓C相切；(3)判斷∠AFB是否為定值，并說明理由．【題型精練】1.（2022·德陽三模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，左、右焦點分別為F1，F2，A為橢圓C上一點，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3)．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點，求證：∠MF1N為定值．【題型六參數為定值】例6（2022·湖北模擬）已知拋物線C：y2＝2px經過點P(1，2)，過點Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設O為原點，eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(QO,\s\up6(→))，eq\o(QN,\s\up6(→))＝μeq\o(QO,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)為定值．【題型精練】1.（2022·德陽三模）在平面直角坐標系中，橢圓的右準線為直線，動直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線分別交橢圓及直線于點，如圖，當兩點分別是橢圓的右頂點及上頂點時，點的縱坐標為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)如果是的等比中項，那么是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．【題型七與定值有關的結論】方法技巧與定值有關的結論1.若點A,B是橢圓C：上關于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；2.若點A,B是雙曲線C：上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.3.設點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則直線AB斜率為定值；4.設點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值；5.設點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值.6.設是橢圓上不同3點,B,C關于x軸對稱,直線AC,BC與x軸分別交于點,則.7.點A,B是橢圓C：上動點,O為坐標原點,若,則=（即點O到直線AB為定值）8.經過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線,與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2,則.9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.10.點為橢圓(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點,過引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記與的面積為,則：.例7（2022·湖北模擬）設常數且,橢圓：,點是上的動點．（1）若點的坐標為,求的焦點坐標；（2）