方形和圓形的故事

世界上有兩位魔法師，一個管方形，另一個管圓形，管方形的魔法師很穩重，管圓形的

魔法師很機靈、活潑。他們都用魔球來施魔法。

有一天，魔法師管轄下的方形和圓形吵起來了，他們吵起來的原因是：譙在生活當中最重

要？自己都說自己是最重要的，圓形說：“你看，車輪是圓形的，盤子是圓形的，就連水杯都是圓

形的！”方形說：“小學生用的書本是方形的，樓是方形的，就連國旗都是我的形狀！”他們吵著

吵著就睡著了。魔法師知道了這件事，就怪他們不好好工作，反爾吵了起來，就想懲罰他們一下。

他們分別把方形和圓形放在不同的地方……

等方形一睜開雙眼發現世界都變成方形的了：火車的車輪變成方形的了，什么地方也去不

了了：貨車的車輪也變成r方形，貨物都運不到指定的位子上，人們都餓著肚子，工廠里的材料和

商場里的貨物都運不到了。恁坐車的時候，車也跑不了了，想騎車呢？一騎就會摔跟頭，人們都不

理方形了，方形很傷心。

圓形呢？他睜開雙眼看到車跑的飛快，他忽然從遠史看到了一個小黑點，漸漸變大，向他

撲了過來，他還像沒有事是的問：“這是什么呀？一搖一晃的？”等他想出來是樓房的時候，他才

大叫：“樓房快壓著我了！”圓形說完這句話的時候，魔法師出現了，他們把所有的被改變的物體

都恢復了原樣。

他們倆回到家反思了一下，過了幾天，他們又而了，他們總結出來一個道理：每個人都不

要自以為是，每個人都要有尺有所短，寸有所長的思想。

圓的知識：

1.當一條線段繞著它的一個端點o在平面上旋轉一周時，它的另一端點所畫成的封閉曲線

叫做圓，點o叫做這個圓的圓心.

2.連結一個圓的圓心和圓周上任一點的線段叫做圓的半徑.

3.連結圓上任意兩點的線段叫做圓的弦.過圓心的弦叫做圓的直徑.

4.圓的周氏與直徑的比叫做圓周率.圓周上任意兩點間的部分叫做弧.

5.圓周長=直徑X兀=半徑x2jl：圓面積=7tX半徑2.

扇形的知識：

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I.扇形是圓的一部分，它是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧組成的圖形.頂點在圓心

的角叫做圓心角.

2.我們經常說的《圓、!圓、J圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個

扇形的圓心角占這人圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關健是志.

3.扇形中的弧長=也.扇形的周長二也+2r.扇形的血積二"二=l|r.

1801803602

弓形的知識：

弦與它所對的弧所組成的圖形叫做弓形。【一般來說，弓形面枳=扇形面枳-三角形面枳.（除

了半圓）】

常用方法：

1.常用的思想方法：

①轉化思想（更雜技化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的）

②等積變形（割補、平移、旋轉等）

③借來還去（加減法）

④外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關系”）

2.割補法：將不規則的組合圖形經過分割（用連線分割）、切拼、拼合后，轉化成一個規

則的幾何圖形，從而較易求得面積的方法，就是割斗法求面積。

重點:圓與扇形的面積和周長計算公式。弓形的面枳公式。

掌握什么是割補法求面積。能運用割補法求組合圖形的面積。

難點:計算周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計算。

計算面枳時，首先要根據圖形組合的形式，用會求的圖形的面積去求的題目所要求的圖形面

積。

在圖形中，準確巧妙的對圖形進行分割，正確選擇數據計算圖形面積。

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1、求下三個半徑為1D0厘米且圓心角為60°的扇形如圖擺放；那么，這個封閉圖形的周長

是________厘米.（開取3.14）

1on

I三個扇形的弧長相當于半徑100厘米，圓心角為180度得扇形弧長，2x3.14x—=314厘米

【鞏固】分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到右

圖；那么，陰影圖形的周長是______厘米.（不取3.14）

I每段弧長為六分之一圓弧，

因此陰影的周長=六個六分之一圓弧的長度和=一個圓的周長=2x2x3.14=12.5612.56厘米

2、夏天到了，爸爸從商店買了4瓶啤酒，售貨員將4瓶啤酒摑扎在一起，如圖7所示，捆

4圈至少用繩子多少厘米？（接頭處忽略不計）

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作輔助線，可得,

設圓的半徑為R,則大正方形的面積=2Rx2R=4/^=/,所以

4

小正方形的面積=RxR+2x4=2R2=~a2x2=-a2

42

4、平面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個圓的面積都是10,那么陰影部

分的面積是多少？

革析】題中陰影部分面積可以視為一個完整的圓與6個s陰影部分的面積和.

筍（眇

而圖形①可以通過割補得到圖形②①②而圖形②是一個圓心角為60：的扇形，即［圓.

6

所以，原題圖中陰影部分面積為1個完整闞與6個,圓，即2個圓的面積.

6

即原題圖中陰影部分面積為2x10-20.

【鞏固】平面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個圓的面積都是5,那么陰影部分的

面積是多少？

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原題圖中陰影部分面積為1個完整圓.

即原題圖中陰影部分面積為5

5、每個小圓的半徑都是1,求陰影部分的周長和面積

由小圓的半徑可以推出大圓的半徑為3.

陰影部分的面積■大圓的面積減去7個小圓的面積

=^x32-^xl2x7=27c=6.28

陰影部分的周長■大圓的周長加上7個小圓的周長

=Inx3+2%x1x7=20乃=62.8

【鞏固】正方形ABCD的邊長是1厘米，現在依次以ABCD為圓心，以ADBECFDG為半徑畫出扇形,

得到下圖，的陰影部分，求陰影部分的面積和周長.

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I陰影部分的面積為四個扇形的面積和.

陰影部分的周長為四個四分之一圓弧的和+一個正方形的邊長。

陰影部分的面積=Lx3.14X(「+22+32+42)=23.55平方厘米

4

陰影部分的周長=yx2x3.14x(1+2+3+4)+1x4=19.7厘米

6、如圖，正方形邊長為1,正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰

影部分面積.(冗取3.14)

把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如右圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等于

四個正方形面積與四個90度的扇形的面積之和.陰影面積=4xlxl+；rxlxl=4+;r=7.14

【鞏固】圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心.如果每個圓

的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？

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如下圖所示

可以將每個圓內的陰影部分拼成一個正方形，而這個正方形與圖中的正方形形狀、大小相同

每個正方形的面積為（1x1+2）、4=0.5*4=2平方厘米，

所以陰影部分的總面積為2x4=8平方厘米.

7、大圓半徑為小圓半徑為，，兩個同心圓構成一個環形.以圓心°為頂點，半徑R為

邊長作一個正方形：再以。為頂點，以「為邊長作一個小正方形.圖中陰影部分的面積

為50平方厘米，求環形面枳.（圓周率取3.14）

陰影部分的面積差是兩個正方形的面積差=夫2-尸=50,所以環形的面積-1尸=50]

【鞏固】下圖中陰影部分的面積是25cm2,求圓環的面積。

I設大圓的半徑為R,小圓的半任為r,

則圖中陰影部分得面積為兩個等腰直角三角形的面積差=（火？-/）+2=25,

所以R2-r2=25x2=50

^圓環的面積=乃霏2—開/=打（/?2—/）=50；1

8、如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑都是1.求陰影部分

的面積.

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本題由于直接求陰影部分的面積不好求，我們采用增加面積的方法來構造新圖影.

如圖所示，陰影部分的面積等于半徑為3,角度為60的大扇形，減去兩個半徑為1的半圓，再加

上兩個半徑為1,角度為60的兩個小扇形。

陰影部分的面積=zrx32-,7xI2+2x2+/rxl2+6x2=—/r

6

【鞏固】如圖，小圓直徑為4分米，求陰影部分的面枳。

如圖所示，把圖中陰影部分拼接成右圖，所以陰影部分的面積等于半徑為4的90度扇形減去一

個小的葉子的面積。

陰影部分的面積=—x42—(—x22+—x22—2x2)=2/r+4

444

9、奧某仿古錢幣直徑為4厘米，錢幣內孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等孤（如

圖）.求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？

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］將古錢幣分成8個部分，外部的4個弓形的面積和等于大圓減去內接正方形.

中間的四個扇形的面積恰好等于內接正方形內的內切圓的面積，

所以總面積等于：=產x---x2+—x2+4x;r=6乃-8=10.84

【鞏固】如下圖所示，兩個四分之一圓A0B與CDE疊放在一起，是FDG0面積為5平方厘米的正方

形，那么疊合后的圖形中的陰影部分的面積為多少平方厘米？

設四分之一圓的半徑為2&,FDG0面積=KxR+2x4=5,所以=』.

2

陰影部分的面積

115

=-xx（2/C）2+—X〃x（2R）2-&xR+2x4x2=（2尸-4）R2~=（2乃-4）x—二5乃-10=5.7

442

10、如下圖所示，曲線PRSQ和R0S是兩個半圓.RS平行于PQ.如果大半圓的半徑是1米，

那么陰影部分是多少平方米？（兀取314）

POQ

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如左下圖所示，弓形RS的面積等于扇形ORS的面積與三角形ORS的面積之差,

,11

為=/rxl~2+4-1x1+2=一

4

Q

半圓ROS的面積=1X；TX

2

所以陰影部分的面積=-...+--=——1)=1.07

4242

【鞏固】在右圖所示的正方形A4C。中，對角線AC長2厘米.扇形是以。為圓心，以A。

為半徑的圓的一部分.求陰影部分的面積.

I陰影部分為三個弓形的面積之和，將陰影部分標號為1、2、3,

,加2121AC2121212

型JS[=—xAD——AD,S,+S^=-x/rx(----)——AD=-ftx,AC——AD

4222282

因為4。2=2同。2=4,

陰影部面積=—xAD2--AD2xAC2--AD2=-^x>4C2--xAC2=^-2=1.14

428242

1、AB是圓的直徑，C、D是AB上兩點11AC=CD=DB=3厘米.求陰影部分的周長。

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c

陰影部分的周長=2個直徑為6的半圓的弧長+2個直徑為3的半圓的弧長

陰影部分的周長=6"+3萬=9n=28.26

2、在直角三角形中，已知三角形的兩條直角邊分別為3厘米和4厘米，以三角形的頂點為圓心的

三個圓，半徑長都是1厘米，求圖中陰影部分的面積。()

圖中陰影部分的面積等于直角三角形的面積減去三個小扇形的面積之和，小扇形的面積之和正好

等于一個圓心角是180度，半徑為1的扇形面積。

陰影部分的面積=3x4+2-^xl2+2=6-0.5^=4.5平方厘米

3、圖形中的正方形的邊長為4,求陰影部分面積的大小;

I陰影的面積有大圓的面積減去正方形的面積.設大圓的直徑是d.如下圖，由勾股定理可得:

d2=4742=32.大圓的面積是乃d2X-=8^,陰影的面積是87r-16-9.12

4

4、圖中三角形是等腰直角三角形，陰影部分的面積是多少平方厘米？

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6cm

從圓中可以看出，陰影部分的面積是兩個半圓的面積與三角形面積之差,

1

即3.14x（6+2）2--x62=10.26（平方厘米）.

2

在解決圓與扇形的周長和面枳時，首先要找到所求圖形的周長（或面積）是由哪幾部分組成

的，再利用公式去解決問題。

通過觀察弄清圖形之間的組合關系。，運用割補法求組合圖形的面積。用割補法計算組合

圖形面積時，要注意分割出的圖形不宜過多，盡可能分割出少的圖形進行計算。

I

1、如下圖所示，平行四邊形ABCD的面積是40cnf,求圖中陰影部分的面積。

|連接BD,三角形BDC面積?20

因為0為DC中點，三角形B0C面積為三角形BDC面積的一半等于10平方厘米

2、在半徑為1的圓中內接一個矩形，矩形中有一個