臨淄中學2023-2024第二學期階段性檢測高二數學一．單選題（每題5分）1.已知某中學高二年級學生某次考試的數學成績X（單位：分）服從正態分布，且，從這些學生中任選一位，其數學成績落在區間內的概率為（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】【分析】由正態分布的密度曲線的對稱性可得.【詳解】因為，所以．又，所以．由正態分布的密度曲線的對稱性可得．故選：A.2.在等比數列中，，是方程兩根，若，則m的值為（）A.3 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據韋達定理可得，結合等比數列的性質即可求解.【詳解】因為，是方程兩根，所以，即，在等比數列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.3.小明參與答題競賽，需要從a，b兩道試題中選一道進行回答，回答正確即可晉級．若小明選擇a，b試題的概率分別為0.8，0.2，答對a，b試題的概率分別為0.8，0.6，則小明晉級的概率為（）A.0.64 B.0.68 C.0.72 D.0.76【答案】D【解析】【分析】用分別表示小明選擇試題，用表示小明晉級，可得，，利用全概率公式可求小明晉級的概率.【詳解】用分別表示小明選擇試題，用表示小明晉級，由題意可得，，所以由全概率公式得.故選：D.4.展開式中的常數項為（）.A.60 B. C.30 D.【答案】A【解析】【分析】首先寫出展開式通項并化簡，然后令，解得后回代通項公式即可求解.【詳解】展開式通項為，由題意令，解得，從而展開式中的常數項為.故選：A.5.某盒子中有6個質地大小相同的小球，其中有2個紅色，4個白色，從這個盒子中摸取2個球，記摸到紅色球的個數為X，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的可能值，求出概率，然后求解期望即可.【詳解】隨機變量的所有可能為0，1，2，，，，故.故選：C6.已知這個數字，從中取三個不同的數字，把其中最大的數字放在個位上排成三位數，這樣的三位數有（）A.55個 B.70個 C.40個 D.35個【答案】A【解析】分析】分有和沒有兩種情況討論，選項出數字，再排列.【詳解】若這三個數字里沒有，則共有個，若這三個數字里有，則共有個，則共有個.故選：A.7.小張?小王兩人計劃報一些興趣班，他們分別從“籃球?繪畫?書法?游泳?鋼琴”這五個隨機選擇一個，記事件：“兩人至少有一人選擇籃球”，事件：“兩人選擇的興趣班不同”，則概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據相互獨立事件及對立事件概率計算公式及條件概率公式進行計算即可.【詳解】由題意可知：兩人都沒選擇籃球，即，所以，而：有一人選擇籃球，另一人選別的興趣班，則，所以，故選:C.8.已知隨機變量，若對任意的正實數，滿足當時，恒成立，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項分布的方程公式求，化簡不等式可得，設，由條件可得在為減函數，根據單調性與導數的關系可求的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以不等式可化為，又，所以，所以，由已知對任意的，且時，，設，則在為減函數，因為，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，所以的取值范圍為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：若可導函數f(x)在指定的區間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，可轉化為(或)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．9.已知定義在上的函數滿足，且，則的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據，構造函數，判斷其單調性，將化為，根據函數單調性即可求得答案.【詳解】令，，則，故在上單調遞減，結合，得，由，得，即，則，即的解集是，故選：A二．多選題（每題6分，每題有2或3個正確答案）10.下列說法中，正確的命題是（）A.兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1B.，C.用不同的模型擬合同一組數據，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好．D已知隨機變量服從正態分布，，則【答案】AC【解析】【分析】根據相關系數的性質，方差和期望的性質，擬合效果的衡量以及正態分布的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，A正確；對B：，，故B錯誤；對C：用不同的模型擬合同一組數據，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故C正確；對D：已知隨機變量服從正態分布，，則，故D錯誤.故選：AC.11.有款小游戲，規則如下：一小球從數軸上的原點0出發，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子，若是奇數點向上，則向左移動一個單位，若是偶數點向上，則向右移動一個單位，則扔出次骰子后，下列結論正確的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原點0的概率為B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量的期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率【答案】AD【解析】【分析】計算出小球每次向左向右的概率后，結合概率公式與期望算法逐個計算即可得.【詳解】扔出骰子，奇數點向上的概率為，偶數點向上的概率亦為；對A：若兩次運動后，小球位于原點，小球在兩次運動之中一定一次向左一次向右，故其概率為，故A正確；對B，設這個隨機變量為，則的可能取值為、、、，其中，，故其期望，故B錯誤；對C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移動，且第五次位于1，則后續中小球向右3次，向左1次，故其概率為，故C錯誤；對D：第五次扔完骰子，小球位于1，即兩次向左，三次向右，故其概率，小球位于3，則四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正確.故選：AD.12.對于數列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數列稱為數列的“M值數列”.如數列2，2，3，7，6的“M值數列”為2，2，3，7，7，則（）A.若數列是遞減數列，則為常數列B.若數列是遞增數列，則有C.滿足為2，3，3，5，5的所有數列的個數為8D.若，記為的前n項和，則【答案】ABD【解析】【分析】由“M值數列”的定義，對選項中的結論進行判斷.【詳解】若數列是遞減數列，則是，，…，中最大值（）（），所以，為常數列，A選項正確；若數列遞增數列，則是，，…，中最大值（）（），所以，即，B選項正確；滿足為2，3，3，5，5，則，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，所有數列的個數為，C選項錯誤；若，則數列中奇數項構成遞增的正項數列，偶數項都是負數，則有，所以，D選項正確.故選：ABD.三．填空題（每題5分）13.已知變量的統計數據如下表，對表中數據作分析，發現與之間具有線性相關關系，利用最小二乘法，計算得到經驗回歸直線方程為，據此模型預測當時的值為__________.567893.54566.5【答案】7.4【解析】【分析】經驗回歸直線方程過樣本點的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可.【詳解】由已知得，即樣本點中心，因為經驗回歸直線方程過樣本點中心，所以，解得.所以，當時，.故答案為：.14.若，則______．【答案】2555【解析】【分析】分別賦值和即可求得答案.【詳解】因為，所以令時，，即，令時，，即，所以，故答案為：2555.15.近年來，我國外賣業發展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發生的概率，顯然，則________【答案】【解析】【分析】依題意利用全概率公式可得，再構造等比數列求解即可．【詳解】由題意可知，由全概率公式可得，，所以，又因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．故答案為：．四．解答題16.已知為數列的前項和，且.（1）證明：數列為等差數列，并求的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，若恒成立，求的范圍.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用前n項和和通項公式的關系結合等差數列的定義處理即可.（2）先求出，后運用裂項相消法求即可.【小問1詳解】對任意的，則，所以數列為等差數列，且其首項為，公差為1，所以，故.【小問2詳解】當時，，也滿足，故對任意的.所以，故.所以的范圍為.17.已知一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個白球，2個紅球.（1）若從袋子中任意摸出4個球，求其中恰有2個白球的概率；（2）試驗1：若每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸到紅球即停止摸球，最多摸球四次，表示停止時的摸球次數；試驗2：若每次隨機地摸出一個球，記下顏色后不放回，摸到紅球即停止摸球，表示停止時的摸球次數.（i）求的分布列及均值；（ii）求試驗1和試驗2停止時摸球次數相同的概率.【答案】（1）（2）（i）分布列見解析，；（ii）【解析】【分析】（1）根據古典概型的概率公式可求出結果；（2）（i）的所有可能取值為，求出的每個取值的概率可得分布列，由均值公式可得均值；（ii）的所有可能取值為，求出的每個取值的概率，然后用與相等時對應的概率相乘后再相加可得結果.小問1詳解】從袋子中任意摸出4個球，共有種摸法，其中恰有2個白球的有種摸法，所以所求概率為.【小問2詳解】（i）的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：1234.（ii）的所有可能取值為，，，，，所以.所以試驗1和試驗2停止時摸球次數相同的概為.18.某校組織數學知識競賽活動，比賽共4道必答題，答對一題得4分，答錯一題扣2分．學生甲參加了這次活動，假設每道題甲能答對的概率都是，且各題答對與否互不影響．設甲答對的題數為，甲做完4道題后的總得分為．（1）試建立關于的函數關系式，并求；（2）求的分布列及．【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）答對的題數和得分列很容易列出一次函數關系，在利用二項分布的概率公式求；（2）根據（1）中的關系，及二項分布的概率公式來寫出分布列，然后先求，利用數學期望運算性質求出.【小問1詳解】由題意，由，得．所以，而，所以．【小問2詳解】由題意，知．的對應值表為：01234－8－241016于是，；；；；．19.已知函數.（1）若在處取得極值，求在區間上的值域；（2）若函數有1個零點，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，利用導數判斷在區間上的單調性，然后由單調性可得值域；（2）當時，將問題轉化為兩個函數的交點問題可得；當時，直接判斷可知；當時，利用導數求極值，通過極值結合問題分析可解.【小問1詳解】因為在處取得極值所以，得則時，，在區間上單調遞增，所以所以在區間上的值域為【小問2詳解】的定義域為函數有一個零點有一個實數根與有一個交點.當時，由圖可知滿足題意；當時，在上無零點；當時，令，得令，得所以，當時，有最大值因為函數有一個零點，所以，解得綜上，a的取值范圍為.20.2021年4月7日，“學習強國”上線“強國醫生”功能，提供智能導診、疾病自查、疾病百科、健康宣傳等多種醫療健康服務.（1）為了解“強國醫生”使用次數的多少與性別之間的關系，某調查機構調研了200名“強國醫生”的使用者，得到表中數據，根據所給數據完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認為“強國醫生”的使用次數與性別有關；男女總計使用次數多40使用次數少30總計90200（2）該機構統計了“強國醫生”上線7天內每天使用該服務的女性人數，“強國醫生”上線的第x天，每天使用“強國醫生”的女性人數為y，得到以下數據：x1234567y611213466100195通過觀察散點圖發現樣本點集中于某一條曲線的周圍，求y關于x的回歸方程，并預測“強國醫生”上線第12天使用該服務的女性人數.附：隨機變量0.050.020.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828其中參考公式：對于一組數據其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為61.91.651.825223.98【答案】（1）表格見解析，有99.9%的把握認