人教版七年級數學下冊期末解答題綜合復習卷

一、解答題

1.如圖，用兩個面積為200c/〃2的小正方形拼成一個大的正方形.

（1）則大正方形的邊長是一：

（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為

4:3,且面積為360c7"?

2.如圖，用兩個面積為8cm2的小正方形紙片剪拼成一個大的正方形.

（1）大正方形的邊長是cm；

（2）請你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個面積為14cm2的長方形紙

片?，使它的長寬之比為2:1,若能，求出這個長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理

由.

3.已知足球場的形狀是一個長方形，而國際標準球場的長度〃和寬度單位：米）的取

值范圍分別是lOOWaKlIO,64</?<75.若某球場的寬與長的比是1：1.5,面積為7350

平方米，請判斷該球場是否符合國際標準球場的長寬標準，并說明理由.

4.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1,

（1）圖中陰影部分的面積是多少？邊長是多少？

（2）估計邊長的值在哪兩個整數之間.

5.張華想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長

方形紙片，使它的長寬之比為3：2.他不知能否裁得出來，正在發愁.李明見了說：“別

發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.〃你同意李明的說法嗎？張華能

用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

二、解答題

6.己知：AB//CD.點E在CD上，點F,H在48上，點G在A8,CO之間，連接FG,

EH,GE,ZGF8=NCEH.

圖1圖2

(1)如圖1,求證:GF//EH；

(2)如圖2,若NGEH=ct,FM平分NAFG,EM平分NGEC,試問NM與凌之間有怎樣的

數量關系(用含a的式子表示/M)?請寫出你的猜想，并加以證明.

7.已知48〃CD.

(1)如圖1,E為AB,CD之間一點，連接8E,DE,得到N8ED.求證：ZBED=

ZB+N。；

(2)如圖，連接4D,BC,BF平分N48C,OF平分NADC,且8F,OF所在的直線交于點

F.

①如圖2,當點8在點4的左側時，若N48C=50。，Z.ADC=60°,求/BFD的度數.

②如圖3,當點8在點4的右側時，設NA8c=a,/ADC=0,請你求出N8FD的度

數.(用含有a，B的式子表示)

8.如圖1,/V/NIIPQ,點C、8分別在直線A4/V、PQ上，點A在直線例/V、PQ之間.

(1)求證：ZC4B=ZMCA+APBA；

(2)如圖2,CDIIAB,點E在PQ上，ZECN=Z.CAB,求證：ZMCA=ADCE；

(3)如圖3,BF平分NA8P,CG平分/4CN,AFWCG.若N68=60。，求NAF8的度數.

9.如圖，已知直線A8//射線CQ,NCEB=110°.。是射線所上一動點，過點。作

PQ//EC交射線CD于點、Q,連接CP.作NPb=NPC。，交直線AB于點尸，CG平分

NECF.

(1)若點?，F,G都在點E的右側.

①求NPCG的度數；

②若ZEGC-ZECG=30°,求NCPQ的度數.(不能使用“三角形的內角和是180。〃直接解

題）

（2）在點尸的運動過程中，是否存在這樣的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在，直

接寫出NCPQ的度數；若不存在.請說明理由.

10.直線4811c。，點P為平面內一點，連接4P,CP.

（1）如圖①，點P在直線A8,C。之間，當N8AP=60。，NOCP=20。時，求N4PC的度

數；

（2）如圖②，點P在直線48,C。之間，NB4P與/OCP的角平分線相交于K,寫出

NAKC與NAPC之間的數量關系，并說明理由；

22

（3）如圖③，點P在直線C。下方，當N8AK=§/8AP,NDCK=]/DCP時，寫出

NAKC與/APC之間的數量關系，并說明理由.

圖①

三、解答題

11.已知直角，A6C的邊與直線。分別相交于0、G兩點，與直線b分別交于E,F

點，且48=90°.

（1）將直角“8C如圖1位置擺放，如果ZAOG=56。，MZCEF=;

（2）將直角-A3C如圖2位置擺放，N為AC上一點，/NE尸+NCE/=180。，請寫出

圖1

圖2圖3

①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b,使直線b經過點P,0bHa,要求俁留

折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結果.無需寫畫法：

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點P的直線a的一線.

（2）已知，如圖3,ABHCD,8E平分448C,CF平分N8CO.求證：BE//CF（寫出每

步的依據）.

15.已知：如圖1,AB/iCD,點、E,〃分別為AB,C。上一點.

EE

A------------------BA------------------B

（1）在AB,CD之間有一點M（點M不在線段E尸上），連接ME,MF,探究

ZAEM,NEMF,NMFC之間有怎樣的數量關系，請補全圖形，并在圖形下面寫出相應

的數量關系，選其中一個進行證明.

（2）如圖2,在AB,C。之兩點M,N,連接ME,WN,NF,請選擇一個圖形寫出

ZAEM,/EMN,NMNF,NNFC存在的數量關系（不需證明）.

四、解答題

16.解讀基礎：

（1）圖1形似燕尾，我們稱之為"燕尾形〃，請寫出NA、DZ?、NC、之間的關系，并

說明理由；

（2）圖2形似8字，我們稱之為"八字形〃，請寫出乙4、bB、NC、NO之間的關系，并

說明理由：

應用樂園：直接運用上述兩個結論解答下列各題

（3）①如圖3,在AA8C中，BD、8分別平分48。和ZACB,請直接寫出乙4和N。

的關系;

②如圖4,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE4-ZF=.

（4）如圖5,々AC與NBOC的角平分線相交于點F,NGDC與NC4尸的角平分線相交

于點E,已知N3=26。，NC=54。，求NF和NE的度數.

圖①圖②圖③

（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E,

求NCEN的度數；

（2）將圖①中的三角板。MN繞點O按逆時針方向旋轉，使NBON=30。，如圖③，MN

與CD相交于點E,求NCEN的度數；

（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30。的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的

過程中，在第秒時，直線MN恰好與直線CD垂直.（直接寫出結果）

18.己知:如圖①，直線MNJ_直線PQ,垂足為O,點A在射線Of上，點B在射線0。上

（A、A不與。點重合）.點C在射線CN上旦00=2,近點。作直線〃/PQ.點。在點。的

左邊且CO=3

⑴直接寫出的ABC。面積;

⑵如圖②，若AC_L8C,作NC8A的平分線交OC于E,交4c于尸，試說明

ZCEF=ZCFE;

⑶如圖③，若NAOC=ND4C,點8在射線0Q上運動.NAC8的平分線交D4的延長線

于點〃，在點3運動過程中的值是否變化?若不變，求出其值;若變化，求出變化范圍.

Z.ABC

19.模型與應用.

(模型)

(1)如圖①，已知4811C。，求證N1+/MEN+N2=360。.

(應用)

(2)如圖②，已知A8IICD,則N1+N2+N3+/4+N5+N6的度數為

②

如圖③，已知ABWCD,則N1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+/n的度數為_.

③

(3)如圖④，已知ABIICD,/AM1M2的角平分線Mi。與/CMnM.i的角平分線MQ交

于點。，若/MiOMn=m°.

在(2)的基礎上，求N2+N3+N4+N5+N6+......+//?-1的度數.(用含m,〃的代數式

表示)

20.如圖，已知直線allb,ZABC=100°,BD平分NABC交直線a于點D,線段EF在線段

AB的左側，線段EF沿射線AD的方向平移，在平移的過程中BD所在的直線與EF所在的

直線交于點P.Hz1的度數與/EPB的度數又怎樣的關系？

(特殊化)

(1)當N1=40。，交點P在直線a、直線b之間，求NEPB的度數;

D

（一般化）

（3）當Nl=n。，求NEPB的度數（直接用含n的代數式表示）.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）;（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據算術平方根的定義，即可求解：

（2）設長方形長為cm,寬為cm,根據題意列出方程，解方程比較4x與20的大小

解析：（1）20；（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據算術平方根的定義，即可求解；

（2）設長方形長為4xcm,寬為3xcm,根據題意列出方程，解方程比較4x與20的大小即

可.

【詳解】

解：（1）由題意得，大正方形的面積為200+200=400（：”，

「?邊長為：V400=20cw:

（2）根據題意設長方形長為4xcm,寬為3xcm,

由題:4x-3x=360

則f=30

.x>0

：.X=yf30

???長為4屈

4730>20

??無法裁出這樣的長方形.

【點睛】

本題考查了算術平方根，根據題意列出算式（方程）是解決此題的關鍵.

2.（1）4；（2）不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

(2)先設未知數根據面積=14(cm2)列方程，求出長方形的邊長，將長方形

的長與正方形邊長比較大小再

解析：(1)4；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

(2)先設未知數根據面積=14(cm?)列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方

形邊長比較大小再判斷即可.

【詳解】

解：(1)兩個正方形面積之和為：2x8=16(cm?),

.?.拼成的大正方形的面積=16(cm2),

大正方形的邊長是4cm：

故答案為：4；

(2)設長方形紙片的長為2xcm,寬為xcm,

則2x?x=14,

解得：x="，

2%=277>4,

「?不存在長寬之比為2:1且面積為14cm2的長方形紙片.

【點睛】

本題考查了算術平方根，能夠根據題意列出算式是解此題的關鍵.

3.符合，理由見解析

【分析】

根據寬與長的比是L1.5,面積為7350平方米，列方程求出長和寬，比較得出

答案.

【詳解】

解：符合，理由如下：

設寬為b米，則長為1.5b米，由題意得，

1.5bxb

解析：符合，理由見解析

【分析】

根據寬與長的比是1：15面積為7350平方米，列方程求出長和寬，比較得出答案.

【詳解】

解：符合，理由如下：

設寬為b米，則長為1.5b米，由題意得，

1.5bxb=7350,

b=70,或b=-70(舍去)，

即寬為70米,長為1.5x70=105米，

?/100<105<110,64<70<75,

符合國際標準球場的長寬標準.

【點睛】

本題考查算術平方根的意義，列出方程求出長和寬是得出正確答案的前提.

4.（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個

直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可

解析：（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是J萬；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形

的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊長：

（2）根據后，可以估算出邊長的值在哪兩個整數之間.

【詳解】

1'4

（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：5x5-一廠’4=17

則陰影正方形的邊長為：V17

答：圖中陰影部分的面積17,邊長是加

（2）,/>/i6<x/17<x/25

所以4<JF7<5

???邊長的值在4與5之間：

【點哨】

本題主要考查了無理數的估算及算術平方根的定義，解題主要利用了勾股定理和正方形的

面積求解，有一定的綜合性，解題關鍵是無理數的估算.

5.不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則

3x-2x=300,x2=50,解得x=,而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20星

米，由于

解析：不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析?：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則3x?2x=300,

x2=50,解得x=5&，而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20厘米，由于15夜>20,

所以用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向裁不出一塊面積為300平方

厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2.

試題解析：解：不同意李明的說法.設長方形紙片的長為3x（x>0）cm,則寬為2xcm,

依題意得：3x*2x=300,6x2=300,x2=50,<x>0,「?〉=聞=5&,...長方形紙片的長為

150cm,V50>49,/.55/2>7,/.15>/2>21,即長方形紙片的長大于20cm,由正方形

紙片的面積為400cm2,可知其邊長為20cm,.?.長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長.

答：李明不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

點睛：本題考查了算術平方根的定義：一個正數的正的平方根叫這個數的算術平方根；0

的算術平方根為0.也考查了估算無理數的大小.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）,證明見解析.

【分析】

（1）由平行線的性質得到，等量代換得出，即可根據“同位角相等，兩直線平

行〃得解；

（2）過點作，過點作，根據平行線的性質及角平分線的定義求解即可.

【詳

解析：（1）見解析；（2）ZFME=90°-1,證明見解析.

【分析】

（1）由平行線的性質得到NC￡H=N￡”4,等量代換得出NGF8=NE48,即可根據“同位角

相等，兩直線平行〃得解；

（2）過點“作MQ//AB,過點G作GP//43,根據平行線的性質及角平分線的定義求解即

可.

【詳解】

（1）證明：?.AB//CD,

：.4CEH=,

丁NGFB=NCEH,

:2GFB=^EHB,

:.GFHEH,

（2）解：Z?E=90o-1,理由如下：

如圖2,過點M作MQ〃48,過點G作GP//A3,

圖2

vAB//CD,

:.MQ/fCD,

ZAFM=ZFMQ,NQME=/MEC,

NFME=Z.FMQ+Z.QME=ZAFM+NMEC,

同理，4FGE=/FGP+"GE=ZAFG+/GEC,

出/平分ZAPG,EM'F分NGEC,

:.ZAFG=2^AFM,NGEC=2ZMEC,

/.NFGE=2NFME,

由（1）知，GF!/EH,

：.ZFGE+ZGEH=\^rf

NGEH=a,

:.ZFGE=\S（T-a,

.-.2Z?E=I80°-a,

???々吟90。-1.

【點睛】

此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定與性質及作出合理的輔助線是解題的

關鍵.

7.（1）見解析；（2）55°；（3）

【分析】

（1）根據平行線的判定定理與性質定理解答即

（2）①如圖2,過點作，當點在點的左側時，根據，，根據平行線的性質及角

平分線的定義即可求的度數；

②如圖

解析：（1）見解析；（2）55。；（3）180°——a+―/?

【分析】

（1）根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；

（2）①如圖2,過點尸作注//A8,當點6在點A的左側時，根據NA8C=50。，

ZADC=60°,根據平行線的性質及角平分線的定義即可求N4FO的度數：

②如圖3,過點尸作“'〃A8,當點8在點A的右側時，ZABC=a,ZADC=fi,根據

平行線的性質及角平分線的定義即可求出N8FO的度數.

【詳解】

解：（1）如圖1,過點七作M//A8,

AB

圖1

則有/二NB,

ABI/CD,

:.EF/!CD,

:.NFED=Q,

?.ZBED=ZBEF+4FED=ZB+ND；

(2)①如圖2,過點尸作在〃/W,

有ZBFE=/FBA.

?「AB“CD,

:.EFUCD.

/EFD=/FDC.

NBFE+Z.EFD=Z.FBA+NFDC.

即ZBFD=/FBA+ZFDC,

?/A廠平分NA8C,平分/ADC,

/.ZF/?4=^Z4/?C=25°,ZFDC=-ZADC=30°,

22

ZBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：NB/7)的度數為55。；

②如圖3,過點尸作FE//AB,

有/BFE+/FBA=180°.

:.N"￡=180°-

AB"CD,

..EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

/.ZBFE+ZEFD=1800-ZFBA+ZFDC.

即/BFD=180°-/FBA+"DC,

4尸平分/ABC,。產平分/ADC,

;.NFBA=；ZABC=ga,ZFDC=^ZADC=,

：./BFD=18()°-NFBA+=1800-ga+].

答：N8F。的度數為180。—ga+；〃.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.

8.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°.

【分析】

（1）過點A作ADIIMN,根據兩直線平行，內錯角相等得到NMCA=NDAC,

/PBA=ZDAB,根據角的和差等量代換即可得解；

（2）

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120\

【分析】

（1）過點4作AOIIMM根據兩直線平行，內錯角相等得到N=N02C,ZPBA=

4DAB，根據角的和差等量代換即可得解；

（2）由兩直線平行，同旁內角互補得到「.、NE8+/aCD=180。，由鄰補角定義得到

NECM+NEC7V=18O°,再等量代換即可得解；

（3）由平行線的性質得到，ZFAB=120°-GCA,再由角平分線的定義及平行線的性質

得到NGCA-ZABF=6Q°,最后根據三角形的內角和是180。即可求解.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1,過點A作40IIMN,

MNWPQ,ADWMN,

：.ADWMNWPQ,

ZMCA=ZDAC,ZPBA=,DAB,

ZCAB=Z.DAC+Z.DAB=4MCA+Z.PBAt

HP：Z.CAB=Z.MCA+Z.PBAx

(2)如圖2,VCDIIAB,

ZC4B+NACD=180°,

ZECM+NECN=180°,

'：ZEC/V=ZCAB

/.ZECM=^ACD,

BPZMC4+ZACE=NDCE+ZACE,

：.ZMCA=ADCE；

(3)VAFWCG,

ZGCA+AFAC=180°,

ZCAB=60°

即NGCA+NCAB+AFAB=180a,

/.Z@8=180°-60°-/GCA=120°-Z.GCA,

由(1)可知，ZCAB=ZMCA+ZABP,

?/BF平分/ABPfCG平分/ACN,

ZACN=2AGCA,ZABP=2AABF,

文:ZMCA=1800-ZACN,

/.Z648=180°-2ZGCA+2NABF=60°,

ZGCA-/A8F=60°,

,/ZAFB+Z.ABF+N￡46=180°,

...ZAFB=1800-ZFAB-FBA

=180°-(120°-NGCA)-Z.ABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120°.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，線段、角、相交線與平行線，準確的推導是解決本題的關

鍵.

9.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數；

②依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35°；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數；

②依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NECG=/GCF=20。，再根據PQIICE,

即可得出/CPQ=ZECP=6(T；

(2)設NEGC=3x,ZEFC=2x,則NGCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當點G、F在點E

的右側時，②當點G、F在點E的左側時，依據等量關系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)?：AB\\CD,

ZCEB+NfCQ=180°,

ZC￡S=110°,

ZECQ=70°,

,/ZPCF=ZPCQ,CG平分/ECF,

ZyCG=NPCF+Z.卜CG=；N/-Lt=yZ“Q=3b°;

②；ABWCD,

：.ZQCG=ZEGC,

???ZQCG+Z￡CG=ZECQ=70。,

ZEGC+NECG=70°,

又ZEGC-Z.￡CG=30°,

/.ZEGC=50°,ZECG=20°.

/.ZECG=NGCF=20°,ZPCF=NPCO=g(70。-40。)=15。，

?/PQIICE,

：.ZCPQ=ZECP=NECQ-NPCQ=700-15o=55°.

(2)52.5。或7.5。，

設NEGC=3x0,ZEFC=2x0,

,/ABWCD,

/.ZQCG=ZEGC=3x°,ZQCF=ZEFC=2x°,

則NGCF=NQCG-ZQCF=3x°-2x°=x°,

/.ZPCF=NPCa=^NFCQ=；/EFC=x0,

則NECG=ZGCF=ZPCF=ZPCD=x0,

丁ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②當點G、F在點E的左惻時，反向延長CO到H,

ZEGC=3x°,ZEFC=2x°f

/.ZGCH=ZEGC=3x°,ZFCH=NEFC=2x0,

ZECG=ZGCF=ZGCH-ZFCH=x°,

,/ZCGF=180o-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x?

解得x=27.5,

/.ZFCQ=NECF+Z.ECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=^Z.FCQ=62.5°,

ZCPQ=ZfCP=62.5o-55°=7.5°,

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相

等是解題的關鍵.

10.(1)80°；(2)ZAKC=ZAPC,理由見解析；(3)NAKC=NAPC,理由

見解析

【分析】

(1)先過P作PEIIAB,根據平行線的性質即可得到NAPE=NBAP,ZCPE=

/DCP,再根據/

解析：(1)80°；(2)/4KC=；NAPC,理由見解析；(3)AAKC=-^APC,理由見解

-3

析

【分析】

(1)先過P作PEWAB,艱據平行線的性質即可得到NAPE=，BAP,ZCPE=NDCP,再根

據/APC=ZAPE+ZCPE=/BAP+ZDCP進行計算即可；

(2)過K作KEII48,根據KEII4811CD,可得NAKE=N8AK,ZCKE=ZDCK,進而得到

ZAKC=NAKE+Z.CKE=Z.BAK+Z.DCK,同理可得，ZAPC=Z.BAP+NDCP,再根據角平分線

的定義，得出/8AK+NOCK=g/8AP+g/OCP=g(ZBAP+Z.DCP)=-^ZAPC,進而得

到/AKC=g/APC；

(3)過K作KEIIAB,根據KEIIABWCD,可得/8AK=NAKE,ZDCK=Z.CKE,進而得至I

NAKC=ABAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=NBAP-ZDCP,再根據已知得出NBAK-

2222

ZDCK=-Z.BAP--DCP=-ZAPC,進而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【詳解】

(1)如圖1,過P作PEIIAB,

,/ABWCD,

：.PEWABWCD,

ZAPE=Z.BAP,4CPE=NDCP,

：.ZAPC=AAPE+NCPE=NBAP+ZDCP=60o+20°=80°；

(2)ZAKC=^ZAPC.

理由：如圖2,過K作KEIIAB,

,/4811CD,

KEIIA8IICD,

ZAKE=NBAK,ZCKE=NDCK,

/.ZAKC=ZAKE+ZCKE=Z.BAK+NDCK,

過P作PF11AB,

同理可得，ZAPC=￡BAP+Z.DCP,

?「NBAP與NOCP的角平分線相交于點K,

：.ZBAK+Z.DCK=ZBAP+^DCP=(ZBAP+ZDCP)=^Z.APC,

ZAKC=^Z.APCi

2

(3)ZAKC=-Z.APC

3

理由:如圖3,過K作KEIIAB,

■：ABWCD,

：.KE\lABWCD,

；./BAK=ZAKE,ZDCK=Z.CKE,

ZAKC=ZAKE-ZCKE=4BAK-ZDCK,

過P作PFWAB,

同理可得，NAPC=NBAP-NDCP,

22

ZBAK=-ZBAP,ZDCK=-ZDCP,

33

222,2

/.Z.BAK-Z.DCK=-ABAP--ZDCP=-BAP-4DCP)=-4APC,

3333

2

ZAKC=-Z.APC.

3

【點睛】

本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題的關健是作出平行線構造內錯角相等計

算.

三、解答題

11.(1)146°；(2)ZAOG+ZNEF=90°；(3)見解析

【分析】

(1)作CP〃a,則CP〃a〃b，根據平行線的性質求解.

(2)作CP〃a,由平行線的性質及等量代換得NAOG+NN

解析：(1)146°；(2)NAOG+/N￡F=90°；(3)見解析

【分析】

(1)作CP〃①則CP〃。//b,根據平行線的性質求解.

(2)作CP〃a,由平行線的性質及等量代換得NAOG+NA/￡F=N4CP+NPCB=90。.

(3)分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a,b的平行線求

解.

【詳解】

解：(1)如圖，作CP〃a,

a//b,CP//a,

CP〃a〃b,

ZAOG=NACP=56\ZBCP+ZC￡F=180°,

/.Z8cp=180°-/CEF,

,：Z4CP+Z8cp=90°,

Z4OG+180°-NCEF=9Q°,

ZCEF=1800-90°+Z406=146°.

(2)ZAOG+Z.N￡F=90。.理由如下:

如圖，作CP〃a則CP〃a〃b,

/.ZA0G=Z.ACPtN8CP+/CEF=180°,

,/ZNEF+NCEF=130°,

/.Z8cp=NNEF,

Z4CP+N8cp=90°,

/.ZA06+ZNEF=90°.

(3)如圖，當點P在GF上時,作PN〃叫連接PQ,0P廁PN〃a〃b,

：.ZG0P=ZOPN,ZPQF=ZNPQ,

Z0PQ=NOPN+NNPQ=4GOP+NPQF,

'：ZGOC=ZGOP+4POQ=135°,

/.ZGOP=135°-ZPOQ,

/.ZOPQ=1350-ZPOQ+NPQF.

如圖，當點P在GF延長線上時，作PN〃a,連接PQ,OP,則PN〃a〃b,

ZGOP=ZOPN,ZPQF=NNPQ,

ZOPN=NOPQ+NQPN,

ZGOP"OPQ+NPQF,

135°-ZPOQ=ZOPQ+NPQF.

【點睛】

本題考查平行線的性質的應用，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，通過添加輔助線及分

類討論的方法求解.

12.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不變，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根據NBAM+NBAN=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

數；

(2)設A燈轉動t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不變，Z3AC=2ZBCD

【分析】

(1)根據N84M+N84V=180°,ZBAM：NBAN=3：2,即可得到/84V的度數：

(2)設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0VtV90時，根

據2t=1?(30+t),可得t=30；當90<tV150時，根據1?(30+t)+(2M80)=180,可得

t=110；

(3)設燈4射線轉動時間為t秒，根據N8AC=2t-108°,ZBCD=126°-ZBCA=t-54°,即可得

出/84C：ZBCD=2：1,據此可得/8AC和/88關系不會變化.

【詳解】

解：(1),/ZBAM+ZBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,

ZBAA/=180°x-=72°,

5

故答案為：72；

(2)設八燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，

①當0VtV90時，如圖1,

,/PQIIMN,

：.ZP8D=NBDA,

1/ACWBD,

：.ZCAMMBDA,

：.ZCAM:￡PBD

/.2t=l?(30+t),

解得f=30；

②當90VtV150時，如圖2,

BP

,/PQIIMN,

：.ZPBD+N804=180°,

ACWBD,

ZCANSBDA

ZP8D+ZCAN=180°

1*(30+t)+(2M80)=180,

解得t=110,

綜上所述，當t=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行;

(3)N8AC和N8CD關系不會變化.

理由：設燈4射線轉動時間為t秒，

---ZBAC=72°-(1800-2t)=2M08%

又丁ZABC=108°-t,

Z8c4=180°-/ABC-/BAC=180°-t,而/ACD=126\

：.Z8CD=1260-Z8c4=126°-(180°-t)=t-54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

即NBAC=2ZBCD,

ZBAC和NBCD關系不會變化.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想

進行求解，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補.

13.(1)；(2)；(3)不發生變化,理由見解析

【分析】

⑴如圖1,延長DE交AB于點F,根據平行線的性質推出；

⑵如圖2,過點E作ESIIAB,過點H作HTIIAB,根據ABIICD,ABIIE

解析：⑴NAC8+NBEO=180。；⑵100。；⑶不發生變化，理由見解析

【分析】

⑴如圖1,延長。￡交48于點F,根據平行線的性質推出NACB+N8&)=180。；

⑵如圖2,過點E作臼IIA8,過點H作HTIM8,根據八811CD,A8IIES推出

/8ED=ZA8E+NCOE,再根據ABIITH,A8IIC。推出NG"Z)=N777D—N7775,最后根

據/BED比/BHD大60得出/BED的度數；

⑶如圖3,過點E作EQIION,根據NOE8=NCDE+ZA8E得出/?一。的度數，根據條件

再逐步求出NP8M的度數.

【詳解】

⑴如答圖1所示，延長DE交A8于點F.

4fillCD,所以ND=NEFB,

又因為44=ND,所以/4=N￡/*,所以ACIIDF,所以NAC4=NCEZ).

因為NC￡￡>+N8Er>=180。，所以NAC4+N4ED=180。.

⑵如答圖2所示，過點E作臼II48,過點H作“71148.

設ZA/?G=NEBG=a,/FDH=NEDH=0,

因為ABIICO,ABWES,所以ZA8E=/8ES,/SED=NCED,

所以/BED=NBES+NSED=NABE+Z.CDE=2a+180。-2〃,

因為A8II7〃，A8IICO,所以ZABG=NTHB,々FDU=NDirT,所以

4GHD=4THD-4THB=B—a,

因為/跳:。比大60。，所以20+180。一20—(《一0=60。，所以/?一。二40。，所以

NBHD=40。,所以/8&)=100。

⑶不發生變化

如答圖3所示，過點E作￡QIIDN.

設NCDN=/EDN=a,4EBM=4KBM=。,

由(2)易知NOE8=/C￡>E+ZA￡?E,所以2&+180。-24=100。，所以尸一。二40。，

所以NDEB=ZCD￡+/EDN+180。一心3M+NPBM)=a+18()。一4一/PBM,

所以NPBM=80°-(/?-?)=40°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，求角的度數，正確作出相關的輔助線，根據條件逐步求出角度

的度數是解題的關鍵.

14.（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過點折紙，使痕跡垂直直線，然后過點折紙使痕跡與前面的痕跡垂

直，從而得到直線；

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點的直線的垂線.

（2）先根據

解析：（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過。點折紙，使痕跡垂直直線〃，然后過產點折紙使痕跡與前面的痕跡垂直，從而

得到直線〃：

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點/＞的直線〃的垂線.

（2）先根據平行線的性質得到乙46C=/6CZ）,再利用角平分線的定義得到Z2=Z3,

然后根據平行線的判定得到結論.

【詳解】

（1）解：①如圖2所示：

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點P的直線〃的垂線.

故答案為垂；

（2）證明：平分45C,CF平分NBCD（已知），

=N3=N3（角平分線的定義），

VAB//CD（已知），

ZABC=^BCD（兩直線平行，內錯角相等），

/.2Z2=2Z3（等量代換）,

.*.Z2=Z3（等式性質），

：.BE//CF（內錯角相等，兩直線平行）.

【點睛】

本題考查了作圖一復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合

了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關健是熟悉基本幾何圖形的性質，結

合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行線的性質與

判定.

15.（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）過點M作MPIIAB.根據平行線的性質即可得到結論;

（2）根據平行線的性質即可得到結論.

【詳解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）過點M作MPIIAB.根據平行線的性質即可得到結論；

（2）根據平行線的性質即可得到結論.

【詳解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

證明：過點M作MPIIAB.

?/ABHCD,

MPIICD.

Z4=Z3.

1/MPIIAB,

Z1=Z2.

,/ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

gl

證明：過點M作MQIIAB.

,/ABHCD,

MQIICD.

ZCFM+Z1=180°；

MQIIAB,

/.ZAEM+Z2=180°.

/.ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

/.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

（2）如圖2笫一個圖：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

過點M作MPIIAB,過點N作NQIIAB,

ZAEM=Z1.ZCFN=Z4,MPIINO.

/.Z2+Z3=180°,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如圖?第：個圖：/FMN-ZMNF+ZAFM+ZNFC=1?0<,.

過點M作MPIIAB,過點N作NQIIAB,

ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

/.ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

/.ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

四、解答題

16.（1）,理由詳見解析；（2）,理由詳見解析：（3）①；②360。；

（4）；.

【分析】

（1）根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角之和即可得出結論；

（2）根據三角形內角和定理及對頂角相等即可得出結

解析：（1）+理由詳見解析：（2）乙4+NO=N8+NC,理由詳見解

析：（3）①NO=90°+g/A；②360°；（4）ZE=124°；ZF=14°.

【分析】

（1）根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角之和即可得出結論；

（2）根據三角形內角和定理及對頂角相等即可得出結論；

（3）①根據角平分線的定義及三角形內角和定理即可.得出結論；

②連結8E,由（2）的結論及四邊形內角和為360。即可得出結論；

（4）根據（1）的結論、侑平分線的性質以及三角形內用和定理即可得出結論.

【詳解】

（1）Z￡>=N4+N4+NC.理由如下：

如圖1,ZBDE=/B+/BAD,NCDE=NC+NCAD,

（2）N4+NO=N8+NC.理由如下：

在zW）石中，Z?^D=180o-ZA-ZD,在ABCE中，z^EC=18O0-Zfi-ZC,

?/ZAED=/BEC,/.NA+/￡>=NB+ZC；

（3）①4=180P—Z4月C-ZACO,ZD=I8O0-ZDBC-ZDC?,QBD、。。分別平分46c

和ZAC3,+34cB=/OBC+NDC8,

/.ND=180°-(-ZABC+-ZACB)=180°--(180°-ZA)=90°+-ZA.

2222

故答案為：ZD=9O0+1ZX.

②連結M.

"http://C+"=NCBE+NDEB,.?.ZA+N8+NC+N￡)+N￡+N尸=ZA+ZA?￡+N廠+N8K/=36(尸.

(4)由(1)知，NBDC=NB+NC+NBAC,?.N"=26。，ZC=54°,/.ZA?ZX?=80°+ZH4C,

Z.CDF=40°+2ZC4A',NZMC=4NC4￡,4BDC=2乙CDF,ZGDE=90°--Z.CDF,

2

ZAGD=々+4GDB=26°+l80°-乙CDF,4GAE=3NC4E,

33

/.NE=3600-ZGAE-ZAGD-ZGDE=64。一巳(2NC4E-NCDF)=640+-x400=124o；

ZF=180°-ZAGF-NGA尸=180°-(2060-ZCDF)-2ZCAE=-26°+ZCDF-2ZCAE=-26°+40°=14°

【點睛】

本題考查了角平分線的性質，三角形內角和；熟練掌握用平分線的性質，進行合理的等量

代換是解題的關鍵.

17.(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在4CEN中，用三角形內角和定理即可求出；

(2)由NBON=30。，NN=30。可得MNIICB,再根據兩直線平行，同旁內角

解析：(1)105。；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在△(：日V中，用三角形內角和定理即可求出；

(2)由N8ON=30。，NN=30。可得MNIIC8,再根據兩直線平行，同旁內角互補即可求出

ZCEN的度數.

(3)畫出圖形，求出在時的旋轉角，再除以30。即得結果.

【詳解】

解：(1)在中，NCEN=180°—/EC/V-/CNE=180°—45°—30°=105°；

(2)/ZBON=30°,ZN=30°,

ZBON=Z.N,

MNWCB.

ZOCO+NCEN=130°,

???Z08=45°

ZCE/V=180o-45o=135°；

(3)如圖,MN_LC。時，旋轉角為360°—90°—45°-60°=165°,或360°—(60°-45°)

=345°,所以在第165V3(r=5.5或345V30F1.5秒時,直線MN恰好與直線C。垂直.

【點睛】

本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內角和、平行線的判定和性質、垂直的

定義和旋轉的性質，前兩小題難度不大，難點是第(3)小題，解題的關鍵是畫出適合題意

的幾何圖形，弄清求旋轉角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉角N00M放在四邊

形。OMF中，用四邊形內角和求解.，第二種情況是用周侑減去N00M的度數.

18.(1)3;(2)見解析;⑶見解析

【詳解】

分析：(1)因為4BCD的高為OC,所以SZkBCD=CD?OC,(2)利用

ZCFE+ZCBF=90°,ZOBE+ZOEB=90°,求出/CEF=N

解析：(1)3;(2)見解析;(3)見解析

【詳解】