3.1.2橢圓的簡單幾何性質(精練)

j基“礎唧N練

22

1.(2022?全國?高二假期作業)已知橢圓C:二+乙=1,則下列各點不在橢圓內部的是()

43

A.(U)B.(72,-1)

C.(72,V2)

【答案】C

2

【解析】由橢圓方程為c：Ld+JV=i,

43

117

因為:+:=看＜1，所以點(1/)在橢圓內部，A錯誤;

因為灣=2

，所以點在橢圓內部，B錯誤;

297

因為Vik',所以點;(血，血)在橢圓外部，C正確;

I

為

所

-點

因

1以

4<1

-+-=19一在橢圓內部，D錯誤.

43

48

故選:C.

2.(2023春?上海浦東新?高二統考期中)已知橢圓C：工+工=1,直線

259

/:("?+2)x-("?+4)y+2=0(/〃eR),則直線/與橢圓C的位置關系為()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【解析】對于直線/：(〃7+2)x-(〃7+4)y+2-〃7=O,整理得〃?(x-)-l)+2(x-2)，+l)=O,

x-y-1=0x=3

令《八,解得

,r-2y+l=O[y=2

故直線/過定點人(3,2).

唉+a=果＜1,則點A(3,2)在橢圓C的內部,

所以直線/與橢圓C相交.

故選：A.

3.(2023秋?黑龍江雞西?高二雞西實驗中學?？计谀?若直線，冰=4與。。：V+y2=4沒有交點，則

過點p（〃?,〃）的直線與橢圓卷十號=1的交點個數是（）

A.至多為IB.2C.1D.0

【答案】B

4

【解析】由題意得，圓心（0,0）到直線—町，=4的距離d=J,/+.>2=「,即>+〃2<*

則點P（〃L〃）在圓f+y?=4內,

由橢圓幾何性質知點P（〃?,〃）也在橢圓會+?=1內，

團與橢圓工+工=1的交點個數為2.

94

故選:B

22

4.（2023春?河南南陽?高二統考期末）（多選）若橢圓—+^=1的離心率為!，則實數々的值可能為（）

攵+892

A.——B.-C.—4D.4

44

【答案】AD

【解析】因為橢圓工+二=1的離心率為:，

女+892

當焦點在工軸上時，即&+8>9,得到%>1,由€=,/授=/缶=；，解得〃=4；

當焦點在》軸上時，即0<&+8<9,得到—8v2vl,由e=解得《二-；.

故選:AD.

5.（2022秋?高二課時練習）已知橢圓二+￡=1的離心率6=叵，則”的值為（）

5m5

A.3B.厲或工而

3

C.V15D.3或g

【答案】D

【解析】當焦點在1軸上，即0<用<5時，則a=氐c=^^二百，

可得。=且"區=坐，解得小=3；

V55

同理當焦點在丁軸，即/〃>5時，則a=4m,c=yJm-5,

可得《=與5=坐，解得m=?；

y]Hl53

故選：D.

6.（2023春?湖南湘潭?高二湘潭縣一中校聯考期末）開普勒第一定律也稱橢圓定律、軌道定律，其內容如下：

每?行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的?個焦點上.將某行星〃看作一個原點，〃繞太

陽的運動軌跡近似成曲線工+目=1（/?〉〃>0）,行星H在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，

mn

距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星〃的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），

近日點距離和遠日點距離之積是16,則6+〃=（）

A.39B.52C.86D.97

【答案】D

【解析】根據橢圓方程二+《=】，得長半軸〃=詬，半焦距。=疝吃，

mn

近Fl點距離為a-c=x[m--Jin-n，遠Fl點距離為a+c=4m+,

近H點距離和遠H點距離之和是4m-\/m-n+\[m+Jin-n=18,

近日點距離和遠日點距離之積是（向-=16,

解得加=81,”=16,則〃?十〃=97.

故選：D.

7.（2022秋?河北石家莊?高二河北新樂市第一中學統考期中）1970年4月24日，我國發射了自己的第一顆

人連地球衛星“東方紅一號"，從此我國開向了人造衛層的新篇章.人造地球衛星繞地球運行遵循開普物行星

運動定律：衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積

守恒規律，即衛星的向徑（衛星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面枳相等，如圖建系，設橢圓道的

長軸長，短軸長，焦距分別為2a,2b,2c,下列結論正確的是（）

A.衛星向徑的最大值為2〃

B.衛星向徑的最小值為2〃

C.衛星繞行一周時在第三象阻內運動的時間小于在第四象限內運動的時間

D.衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

【答案】D

【解析】由題意得；向徑為衛星與地球的連線，即橢圓上的點與焦點的連線的距高,

由橢圓的幾何性質可知衛星向徑的最小值為a-c,最大值為a+c,故AB錯誤；

由開普勒行星運動定律衛星的向徑在相同的時間內掃過的面積相等，

在第二象限運動時掃過的面積大于在第一象限運動時掃過的面積，

故衛星在第二象限內運動的時間大于在第一象限運動時掃過的時間，

由橢圓的對稱性可知，衛星繞行一周時在第三象限內運動的時間大于在第四象限運動的時間，故C錯誤；

當衛星向徑的最小值與最大值的比值越大時，由生====-1+3,可得。越小，橢圓越圓，故D正確，

a+c\+e1+e

故選：D

8.（2023?全國?高三專題練習）嫦娥五號完成了人類航天史上的壯舉，在我國航天事業發展史上具有里程碑

意義.嫦娥五號返回時要經過多次變軌，根據開普勒第一定律，嫦娥五號以橢圓軌道環繞地球運動，地球處

于其中一個焦點上，嫦娥五號在近地點處加速即可保持近地距離而增大遠地距離，由月地轉移軌道團進入月

地轉移軌道國.若某探測器的月地轉移軌道團的遠地距離是軌道國的3倍，月地轉移軌道回的離心率是軌道團的，

則月地轉移軌道回的離心率為（）

【答案】B

【解析】設月地轉移軌道團的長半軸為〃，焦半距為J離心率為e,軌道團的長半軸為"，焦當距為

a'+c'=3(a+c)

所以,解得:a'=2a+c,c'=a+2c,

則￡=!?爐￡,整理為：2/+2-2=（）,兩邊同時除以

a22a+c

得2e2+2e-\=0?e=〔1"

故選：B

9.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓E:二十匚=1（。>〃>0）,直線與橢圓E相切，則橢圓E

a~b~2

的離心率為（）

【答案】B

【【解析】由題意，聯》.橢圓E和直線y=的方程得：b2x2+a2—x+a=a2b2.

2

整理得：力=。，

因為橢圓E和直線y=+〃相切，

則A=（叫2—4（12+〃）（/_12）=0,

化簡得：4=3,

a-4

則橢圓石的離心率e=￡=F5=FI=r

故選：B.

10.（2023春?江西吉安?高二?？计谥校┲本€y=x+l與橢圓Y+工=1的位置關系是（）

2

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

y=x+I

【解析】聯立《，y2=>3X2+2X-1=0,

2

貝ljA=2、4x3=16>0

所以方程有兩個不相等的實數根，

所以直線與橢圓相交

故選:C.

今

11.（2022秋?山西晉城?高二晉城市第一中學校?？茧A段練習）已知直線y=2x+f與橢圓工+）3=］相交于A、

4-

B兩點,若線段的中點縱坐標為則，=（）

?15c0—15c17

A.—B.2C.------D.—

822

【答案】D

y=2x+t

【解析】聯立直線與橢圓方程得，整理得17/產4=0,

—+y2=1

4,

設人（即乂）、3（"力），則弘=2內+“2=2勺+/

I6Z4r-4“\cc（16八c2/

-

:?％+W=-占=-^，）；+y2=2（x1+x2）+2/=2x^-—J+2r=—

???線段A8的中點縱坐標為

9/17

二?V|+丫2=萬=1解得，=萬，

故選:D.

12.（2022秋?高二課時練習）若橢圓二+二=1的弦A8的中點為（T-1）,則弦A8的長為（

42

AV30R2x/6

33

MV15

rL?---nU?------

33

【答案】A

【解析】設4%,%），3（巧,為），

因為弦AB的中點為（T，T）,可得％+/=-2,）[+為=?2,

J%

又因為A8在橢圓上，可得1￡12,

區+叢=1

42

兩式相減可得（再+占：內—%）++）=0.

可得在“沙罟=4,即直線AB的斜率為％=+

I3

所以弦AB的直線方程為y+l=--（x+l）,即y=-耳工一；，

13

V=——X——

聯立方程組〈，2，2，整理得3/+6%+1=0,可得%+電=-2,王巧=彳1，

尸上）‘一_1-3

由弦長公式，可得|人8]=d1+卜5?+工2）-4'工2=、4-/-2）--4x-=—.

故選：A.

13.（2023秋?高二課時練習）直線y=x-l被橢圓2./+），2=4所截得的弦的中點坐標是（

ri2^（2n

A-[3-3）B.KR

（n（1n

C，[2\^3）。.匕田

【答案】A

【解析】設弦為48,弦為4），8（七,必）,

由k,4，消去），得2/+（》-1）2=4,即3/-2X-：3=0.

2x~+y-=4

2

A=（-2）-4x3x（-3）=40>0,At+x2=-,

3

所以弦的中點的橫坐標是x==;，

2

代人直線方程y=x-i中，得y=J.

所以弦的中點坐標是

故選：A.

14（2022秋?四川資陽?高二四川省資陽中學校考期中）過點時（1,1）作斜率為-；的直線與橢圓

C：?+"=l（a>b>0）相交于A,B兩點，若M是線段AB的中點，則，的值為（）

【答案】A

22

務21

+從=

2

【解析】設4小凹），倒工2，乃），則.”

+從=

兩式相減得（…乂…）+%）5+必）=0

a~b~

x1+x,=222

則E=°'

2y+)'2=2

則/=?，2=叵

a2

故選:A

15.（2023?四川巴中?南江中學校考模擬預測）已知橢圓。：/+/=1（?！盗?gt;0）四個頂點構成的四邊形的面

枳為16&，直線，：x-2），+6=0與橢圓C交于A,8兩點，且線段4B的中點為（-2,2）,則橢圓C的方程是

()

《+匚1?xy,

A.B.—+匚=1

168324

《+匚1D.3

C.

3216642

【答案】A

【解析】設A（X，y），8（孫），2）,則可十1=1宗裊「兩式作差并化簡整理得

a"b

?2

2LZA=__.Vti,因為線段A8的中點為（—2,2）,所以內+吃=-4,x+%=4,

百一々T）1+%

所以江三=與，由勺=:，得￡=L乂因為葭2"力=2必=16&,解得從=8,"=|6,

2

x,-x2cr2a22

所以橢圓C的方程為二+￡=1.

168

故選:A.

16.（2023?江西?校聯考模擬預測）已知直線4：y=2x+2過橢圓C；與?4=1（々>〃>0）的一個焦點，與C

a~b~

交于4,8兩點，與4平行的直線&與C交于M,N兩點，若48的中點為P,MN的中點為Q,且PQ的斜

率為-4]，則C的方程為（）

A丁y2[

A.—+—=1B.三+二=1

4395

C."=1至+至=1

D.

983616

【答案】C

（解析）設A（N，yj,8（孫必），?（如%），

<+￡=1

（凹）（）

則":耳，兩式作差得區0土出=+%y-%

=,b2

4/+b41

所以9.迎一空一學

王一式2與飛。

,2b2

若。為坐標原點，則無p=-親，同理攵如,所以O,P,。三點共線,

即%=%=-9=-1,所以探［，乂4過點（T，。），即橢圓的焦點，所以/一斤=1

a2=9r22

解得心8,所以。的方程%v

故選:C

22

17.（2023?湖南長沙?雅禮中學校考模擬預測）（多選）已知橢圓E:\+g=l（a小0）的右焦點為尸（3,0）,

過點尸的直線交橢圓七于4B兩點.若A8的中點坐標為則（）

A.直線的方程為y=g（x-3）B.a2=2b2

C.橢圓的標準方程為二+工=|D.橢圓的離心率為也

932

【答案】ABD

【解析】因為直線45過點/(3,0)和點(1,7),所以直線A3的方程為y=g*-3),

代入橢圓方程。p,消去y,得生叩亨共為5、。,

3,

—a"

2

所以AB的中點的橫坐標為印片=2凡

14

又居—所以j=3-3日離心率為冬

所以圓E的方程為三+二=1.

189

18.(2023春?浙江?高二校聯考階段練習)(多選)已知橢圓&三+上=1的右焦點為K，直線A)，+3=0與

2516

橢圓交于A、A兩點，則()

B.ZVIB鳥的面積為更逑

A.ZXAB外的周長為20

41

C.線段4B中點的橫坐標為-勺D線段,勺長度為言

41

【答案】ACD

22

【解析】依題意，直線X-y+3=0過橢圓￡卷+旨1的左焦點6(-3,0),橢圓長軸長2a=10,

所以八鉆瑪的周長|A瑪I+IA3I+I8耳卜4瑪|+|相|+|明|+|8瑪|=4°=20,A正確;

x->'+3=0

由,工2消去y得：4lx2+150x-175=0>設4%%），8（々,y2），則%+巧=一x\x2~_~7T?

—+—=14141

,2516

因此線段A8中點的橫坐標為七殳=-當x；=V，C止確；

線段A5的長度為卮守五三=應[[-詈)+4x^=等，D正確;

點5(3,0)到直線X-)，+3=0的距離d=；_])2=3夜,

所以的面積為S=3A8|?d='x型x3夜=竺還，B錯誤.

21124141

故選：ACD

19.(2023春?遼寧朝陽?高二統考期末)已知橢圓。:￡+在1(〃>〃>0)的右頂點為A,P、。為C上關于

2

坐標原點對稱的兩點，若直線AP,4Q的斜率之積為-q，則C的離心率為()

Ax/15RVw「瓜

553。?李

【答案】A

【解析】由題意可知：A(aO),

設P(%%)(N0HO)，則Q(F)，一%)，可得出”二：^了女相二一^二丹

玉)一Q一玉—aA()+Cl

Vp>0>0

則2Ap,",1Q=

2

-ax0+ax：-a

又因為點尸(外九)在橢圓上，則J+/=l,整理得必=「(蘇—年),

故選：A.

20.(2022秋?廣東惠州?高二惠州市惠陽高級中學實驗學校?？计谥?已知直線2履-y+2=0與橢圓

1+21=[(,n>0)恒有公共點，則實數〃1的取值范圍為________.

9in

【答案】［4,9)59,2)

2x=0——0

【解析】，?直線2依-)，+2=。，令1_y：2=0'解得［12,所以直線2依一)'+2=0恒過定點玖。，2),

2)

直線2日-丁+2=0與橢圓三+匕=1(〃?>0)恒有公共點，

9.7?

n4

即點?(0,2)在橢圓內或橢圓上，.■.5+—<1,即〃?“,

9m

又〃39,否則二十丫=1是圓而非橢圓，

9m

.?.4W〃7v9或〃?>9,即實數機的取值范圍是［4,9)=(9,y).

故答案為：［4,9)U(9,+8)

21.(2022秋?新疆伊犁?高二統考期末)過橢圓工+亡=1內一點Hl』)引一條恰好被。點平分的弦，則這條

54

弦所在直線的方程是

【答案】4x+5y-9=0

【解析】橢圓二十￡=I即4/+5)，2=20,

54

設弦的兩端點分別為4X,X),BgM則9^=1,比盧=1,

則4M+5y；=20,4吐+54=20,

兩式作差可得：4(x,-x2)(xt+x2)=-5(y,-y2Xyl+y2),

.-X--f=—一場+—?=)—一4

?占一95(x+%)5"

???直線過點P(1，D,

「?這條弦所在直線的方程是3'-l=-^4(x-i),

即4.1+5)，-9=0.

故答案為：4x+5y-9=0.

22.(2023?全國?高三對口高考)直線x+y-1=0截橢圓工+工=1所得弦的中點M與橢圓中心連線OM的

43

斜率為.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】設線4+丁-1=0與橢圓￡+［=1的交點坐標為4%身),8(孫為)，則知伊三玉,吟公|,

43V22)

X+）’2

可得如&“=+=山

工［一七X1+x2

2

i22

+

42L3

,兩式相減得正且+正反=0,

因為A8在橢圓上，則.2￡

W

+一,43

4一3

整理得j=3

即-%,=-W

X[-X；A,-XyX)+x2

3

所以3w二"

3

故答案為：--

23.（2023?高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成

的曲面）的一部分，過對稱軸的截口84。是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點寫上，片門位于另一

個焦點工上.由橢圓一個焦點人發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點工.已知_LKK，

刷若，內圖=4,則截口84。所在橢圓的離心率為.

B___

【答案】|

【解析】：取焦點在x軸建江平面直角坐標系，由4c_1斗用及橢圓性質可得，8C為橢圓通徑,

所以忸卻=?=?，用周=2c=4

又a2=b2+c2，解得a=6,c=2.b=4忘

所以械口R4C所在橢圓的離心率為g

故答案為：—

24.（2023春?四川涼山?高二統考期末）已知橢圓的離心率為近，點八（2,1）在橢圓

。上.

⑴求橢圓。的標準方程；

⑵過點M（0.1）的宜線/交橢圓C于P,Q兩點，求|P@的取值范圍.

【答案】⑴1+4=1

63

⑵[26,4]

【解析】（1）設橢圓C的半焦距為c>0,

￡_72

6=>/6

由題意可得卜2=4+/,解得力=6,

所以橢圓。的標準方程為q+m=?.

63

（2）當直線/的斜率不存在時，則/:x=0,

可得/（O,J5）,Q（O,M）,所以附|=2島

當直線/的斜率存在時,設/:y=h+1,。（玉,X）,。（七，）’2），

聯立方程1V）?消去），得（2公+1*+4依_4=0,

---卜--=1

則A=（4&y_4（2&2+1）X（-4）=]6（3*2+I）>0,可得王+々=_

~~2k2+\

則叱E[肅）"（1+心）（3心1）

（2公+1）2

3

225/-r+2/+3=2^-（/-1）2+4，

因為所以|PQ|=2j-（…l）2+4?2"4

綜上所述：|尸0的取值范圍為[2、&4].

25.（2023春?四川成都?高二校聯考期末）已知橢圓E：/+，=1卜0〃>0）的離心率為孝,

且其中一個

焦點與拋物線V=8x的焦點重合.

⑴求橢圓E的方程;

（2）若直線/：），=履+2與橢圓E交于不同的A,B兩點,且滿足麗.麗=7（。為坐標原點）,求弦長|明

的值.

22

【答案】（1）j+J=1

84

（2）至

2

【解析】（1）由），2=8x得焦點（2,D）,則橢圓的焦點為（2,0）,

因為橢圓離心率為它，

2

所以也=￡=2,解得4=2拉，則從="一。2=8一4=4,

2aa

V2p2

所以橢圓E的方程為J+匕=1.

84

（2）設A（芭，）,8（七,力），

三+21=1

由184得，（1+2r）/+8仆=0,

y=kx+2

QL-or,2,4

易得△>（）,則Xi+Xzn-j-T7T?.中天二°，y?%=（3+2）（仇+2）=----T>

因為04。分二一1,

所以四=1=一1,解得公=[,

所以\AB\=J1+&2xJ（X]+占）2—4占“2

26.（2023秋?廣東東莞?高二東莞市東莞中學校考期末）已知圓加：/+）3+2.?2），+1=0經過幃圓

C:二+二=1（。>〃>0）的左焦點和上頂點.

a-b'

⑴求橢圓C的方程：

⑵有線/：.y=x+〃?與橢圓C交干兒B兩點.若|4川=警,求〃的值.

【答案】（1）、+產=1

(2)J〃=±1

【解析】（1）解：對于圓M+2x-2y+l=0,

令1=0得），2一2），+1=0,解得），=1,即與y軸的交點為（0,1）,

令:"。得寸+2x+l=0,解得x=-l,即與x釉的交點為（-1,0）

因為圓M經過橢圓C的左焦點和上頂點，橢圓C的焦點在x軸匕

所以（-1,0）為橢圓的左焦點，（04）為橢圓的上頂點，

所以c=16=1,a2=b2+c2=2>

所以橢圓C的方程為《+丁=1

2,

（2）解：因為直線/：y=x+m與幃圓C交于AA兩點，

y=x+m

所以聯立方程、Y、得3x?+4/nr+2〃?2-2=0,

—+y~=}

2-

所以，A=167w2-12（2m2-2）=-8m2+24>0,解得—百<〃?<#,

設A（%,y）,8（電,％）,則k+x2=一竽小超二2-3-2,

因為|人卻二3,

22

所以IA8|==\!\+kyj(xi+x2^-4X,X=V2-；即3-8=曰?V-8nz+24，

236-

整理得〃?2=1，解得〃?=±1,滿足-\/5<〃?<6,

所以，〃?=±1.

能I力,提“升

1.（2023春?江蘇鎮江）（多選）在中，內角4,B,C的對邊分別為小b,c,且。+c=?,則下列

命題正確的是（）

A.若8.，則a=c

B.若八=三，則4ABC為正三角形

C.角A的最小值為g

D.若〃=2,則△/WC面積的最大值為石

【答案】ABD

【解析】如圖所示，不是一般性，將8看做定值，則根據已知條件和橢圓的定義，得到B的軌跡為以AC為

焦點，焦距位W。=/九長軸長為|"|+忸C|二2|AC|=2/?的橢圓上的動點（長軸的端點除外），以AC所在宜

線為x軸，線段AC中點原點建立坐標系，如圖所示.

22

橢圓的半長軸為0,半焦距為半短軸為-（￡]-=等從橢圓方程為爐+跖=L

當且僅當“在橢圓的短軸的端點時，AB=BC=b=AC,對?應4=?,此時。=8C=AB=c,d8C為正三角

形，△4AC面積取得最大值.

若/>=2,則面積最大值為:x2x2xsin600=6,

角A的值可以任意接近「0,沒有最小值.

故A正確，B正確，C錯誤，D正確.

故選：ABD

Ay

2、

2.（2。22秋?湖北荊州?高二沙市中學校考階段練習）已知橢圓?若橢圓上存在兩點A、"關于直

線y=4x+〃z對稱，則加的取值范圍是（）

A.B.c.D.RI

【答案】A

【解析】橢圓土+匕=1,即：3?+4/-12=0,

43

設橢圓上兩點4（士,?）,4（無2，%）關于直線y=4x+〃?對稱，A8中點為"（繪,人）,

則34+4W-12=0,3*+4"2=0,

所以3a+W）（X]-W）+4（y+y2）（y,-y2）=0,

回上&=一產=4

Xf4為4

回兒=3與，代入直線方程y=4x+"?得與=一切，＞'（）=-3m,即朋（t〃，一3/〃），

因為（?%,為）在橢圓內部，

團3〃『+4.（-3〃7）晨12,

解得一跡＜閉（跡，

1313

即陽的取值范圍是

故選:A.

3.（2022秋?安徽?高二合肥市第八中學校聯考期中）已知橢圓C：5+），2=1上存在關于直線/：尸丹〃?對

稱的點，則實數，〃的取值范圍為（）

,r

A.-1，§B.

i回

3'~3~

【答案】C

【解析】設。上關于直線y=x+〃，對稱的兩點分別為例&，x），N（J），2）,其中點為磯心先）,

則[+4=],J+￡=i,兩式相域，

得金羋3+（）”%）（，-M）=。，

由MNJJ,得"&二一1,

%一七

又百+々=2.%，y,+y2=2y0,

所以與一2為=0,即/=2為，乂%=%+〃？，

所以％=-2〃？,%=-m,即E（-2/n,-m）,

又點E在C的內部，

所以2"『+〃產＜1,所以一且＜〃?〈且.

33

故選：C.

4.（2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學?？计谀┮阎獧E圓E的左焦點為尸，E上兩點A、8滿足

AFLBF,若tanNE43的最小值為則E的離心率為（）

A.正B.旦C.在D.1

3253

【答案】D

【解析】設橢圓的右焦點為M,連接A",BM,

因為由橢圓的對稱性知，四邊形AF8W為矩形，所以|人m=忸青,

由橢圓的定義知，|AF|+|AM=2〃，所以|M+|M=2O,

在RSA8/中，tanZE4B=—=2t7~A/=--1＞-＞所以

AFAFAF23

4〃

WAF＜a+c,所以a+c=7，Bla=3c,

所以離心率e=—=;.

a3

故選:D.

5.（2023春?福建福州?高二校聯考期末）設點入、鳥分別是橢圓。：5+/=1（。＞方＞。）的左、右焦點，點

M、N在C上（歷位于第一象限）且點M、N關于原點對稱，若陷兇=巧用，|%用=3|咋|,則C的離

心率為（）

A.-加VloD.-

84

【答案】B

【解析】如下圖所示：

由題意可知，。為￡工、MN的中點，則四邊形為平行四邊形，則用=|”|=3|5|,

又因為|MN|=|K用，則四邊形M母女為矩形，

設|MR=r,則阿=3（＞0）,所以,2a=\MF]\+\MF2\=4t,

由勾股定理可得2c=6周=32+|M6「=的產+產=加,

所以，該橢圓的離心率為《二冬^二融史="0.

2a4/4

故選:B.

6.（2022秋?高二課時練習）已知月，鳥是橢圓5+/=1（.>〃>0）的左、右焦點，過右焦點5的直線/與橢

圓交于A8兩點，且滿足正=2既，|耶|=|而則該橢圓的離心率是（）

A—V35

?2一B.

3

立

C3

?2D.

【答案】D

因為亞=2石瓦所以|人卻=3怛叫，

又因為|耶卜|而|,所以忻同=3怛段,

因巧到+忸國=2%

所以陶啖忻M4,

可得:|A瑪|=。，|4周=%|A8|=|耳用=,,

所以點A在短軸的頂點上，

在等腰三角形中,

cos/BA￡=

|叫3

./尸3。=疝衛=/二-』如乙=正

2V23

故選為:D

0、

7.（2。23秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱三中校考期末）已知橢圓從）〉叱八。）的左，右焦點分別

為耳，F2,上頂點為八，直線與橢圓E的另一個交點為B,若可?印=0,則橢圓E的離心率為（）

A-竽3.當43

C.—D.

55

【答案】B

【解析】由題意得A（0,〃），耳（-C,0），6（C,0）MM=§,

則直線的方程為y="+〃,

c

b

y=—x+b

些+戶口+2網abA。,

聯立《,c,，消去y得

f-1

2a2c,2a2b

不，)‘8=沙一-2一7

a-+ca~+c~

2a2c2a2b八

所以肥=（c,-。）.8月=c+~--------T一人，

cr+ca~+c)

因為花?甌=0,

242c22a2b2

所以/++b2=0,

a-2+c―2-4~，+(r2

因為從“2-c2,化簡得5a2c2-/=o,

即5c2_/=o,所以￡■=]

a~5

所以e=￡

5

故選：B.

廣、廣3

8.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓方+方=1（。>0>0）的上頂點為B,斜率為1的直線/交橢圓于M,

N兩點，若回8MN的重心恰好為楙圓的右焦點憶則橢圓的離心率為（）

A.也B.且C.1D.國

2323

【答案】A

【解析】設知（卬y）村（七,必），MV的中點為代%，先），

因為MECCq，）、）都在橢圓與+方=1上,

rM城

/+一

=1

2從（內+工）（內一為）（y+K）（）i-/）

所以'W=1，作差可得

親+7P

瓦

1

即三3二9+ZM與Z2il=o,所以2K()1-門)=_2,

a'b-2x0(x1-x2)a~

艮"-上，因為所以&”=一娑，

a'23a

一3一

又因為尸為ABMN的重心，所以BP=*,B(O,〃)/(c,O),

3

所以（毛,%-力）=|（（?,-/?）,

則1

1/

~\b加

所以A”=毋=一『，整理得"