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8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系-2025年高一數學新教材同步課堂精講練導學案(人教A版2019必修第二冊)含答案8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系【學習目標】1.了解空間中兩條直線的位置關系.2.理解異面直線的概念、畫法【自主學習】知識點1空間中直線與直線的位置關系1.異面直線:不同在平面內的兩條直線.2.空間兩直線的三種位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面,直線)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線:在同一平面內,公共點;,直線:在同一平面內,沒有公共點;)),異面直線:不同在任何一個平面內,沒有公共點.))3.為了表示異面直線不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面來襯托.(如圖(1)(2)所示)

知識點2空間中直線與平面的位置關系1.位置關系:有且只有三種(1)直線在平面內——有個公共點;(2)直線與平面相交——公共點;(3)直線與平面平行——公共點;(4)當直線與平面相交或平行時,直線不在平面內,也稱為.2.符號表示:直線a在平面α內,記為;直線a與平面α相交于點A,記作;直線a與平面α平行,記作a∥α.3.圖示:直線a在平面α內,如下圖(1)所示;直線a與平面α相交于點A,如下圖(2)所示;直線a與平面α平行,如下圖(3)所示.知識點三空間中平面與平面的位置關系1.位置關系:有且只有兩種(1)兩個平面平行——公共點;(2)兩個平面相交——有條公共直線.2.符號表示:兩個平面α,β平行,記作α∥β;兩個平面α,β相交于直線l,記作.3.圖示:兩個平面α,β平行,如下圖(1)所示;兩個平面α,β相交于直線l,如下圖(2)所示.【合作探究】探究一空間中直線與直線的位置關系【例1】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,以下四個結論:①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與NB是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的為________(把你認為正確的結論的序號都填上).歸納總結:【練習1】在三棱錐S-ABC中,與SA是異面直線的是()A.SB B.SCC.BC D.AB探究二空間中直線與平面的位置關系【例2】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系:(1)AD1所在的直線與平面B1BCC1的位置關系是________.(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________.歸納總結:【練習2】三棱臺ABC-A′B′C′的一條側棱AA′所在直線與平面BCC′B′之間的關系是()A.相交B.平行C.直線在平面內D.平行或直線在平面內探究三空間中平面與平面的位置關系【例3】(1)若兩個平面互相平行,則分別在這兩個平行平面內的直線()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面(2)如果在兩個平面內分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不存在歸納總結:【練習3】(1)兩個平面將空間分成幾部分?(2)將一個三棱柱的各面延展成平面后,這些平面可將空間分成幾部分?

課后作業A組基礎題一、選擇題1.若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關系是()A.異面或平行 B.異面或相交C.異面 D.相交、平行或異面2.已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面可能的交線有()A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條3.若直線a不平行于平面α,則下列結論成立的是()A.α內的所有直線都與直線a異面B.α內不存在與a平行的直線C.α內的直線都與a相交D.直線a與平面α有公共點4.若a,b為異面直線,直線c∥a,則c與b的位置關系是()A.相交 B.異面C.平行 D.異面或相交5.(多選題)下列結論正確的是()A.直線a∥平面α,直線b?α,則a∥bB.若a?α,b?α,則a,b無公共點C.若a?α,則a∥α或a與α相交D.若a∩α=A,則a?α二、填空題6.若直線l上有兩點到平面α的距離相等,則直線l與平面α的關系是________.7.在四棱錐P-ABCD中,各棱所在的直線互相異面的有________對.8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系:(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是________;(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________.三、解答題9.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何?10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中點,畫出過D1,C,E的平面與平面ABB1A1的交線,并說明理由.

B組能力提升一、選擇題1.不共面的四個定點到平面α的距離都相等,這樣的平面α共有()A.3個 B.4個C.6個 D.7個2.(多選題)以下四個命題是真命題的是()A.三個平面最多可以把空間分成八部分B.若直線a?平面α,直線b?平面β,則“a與b相交”與“α與β相交”等價C.若α∩β=l,直線a?平面α,直線b?平面β,且a∩b=P,則P∈lD.若n條直線中任意兩條共面,則它們共面二、填空題3.已知,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內的任意一條直線m的位置關系是________.三、解答題4.如圖,已知平面α∩β=l,點A∈α,點B∈α,點C∈β,且A?l,B?l,直線AB與l不平行,那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關系?證明你的結論.8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系導學案編寫:廖云波初審:譚光垠終審:譚光垠廖云波【學習目標】1.了解空間中兩條直線的位置關系.2.理解異面直線的概念、畫法【自主學習】知識點1空間中直線與直線的位置關系1.異面直線:不同在任何一個平面內的兩條直線.2.空間兩直線的三種位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面,直線)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線:在同一平面內,有且只有一個公共點;,平行直線:在同一平面內,沒有公共點;)),異面直線:不同在任何一個平面內,沒有公共點.))3.為了表示異面直線不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面來襯托.(如圖(1)(2)所示)

知識點2空間中直線與平面的位置關系1.位置關系:有且只有三種(1)直線在平面內——有無數個公共點;(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點;(3)直線與平面平行——沒有公共點;(4)當直線與平面相交或平行時,直線不在平面內,也稱為直線在平面外.2.符號表示:直線a在平面α內,記為a?α;直線a與平面α相交于點A,記作a∩α=A;直線a與平面α平行,記作a∥α.3.圖示:直線a在平面α內,如下圖(1)所示;直線a與平面α相交于點A,如下圖(2)所示;直線a與平面α平行,如下圖(3)所示.知識點三空間中平面與平面的位置關系1.位置關系:有且只有兩種(1)兩個平面平行——沒有公共點;(2)兩個平面相交——有一條公共直線.2.符號表示:兩個平面α,β平行,記作α∥β;兩個平面α,β相交于直線l,記作α∩β=l.3.圖示:兩個平面α,β平行,如下圖(1)所示;兩個平面α,β相交于直線l,如下圖(2)所示.【合作探究】探究一空間中直線與直線的位置關系【例1】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,以下四個結論:①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與NB是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的為________(把你認為正確的結論的序號都填上).【答案】①③④[分析]利用平行直線、相交直線、異面直線的定義判斷.[解析]①中直線DM與直線CC1在同一平面內,它們不平行,必相交,故結論正確.③④中的兩條直線既不相交也不平行,即均為異面直線,故結論正確.②中AM與BN是異面直線,故②不正確.故填①③④.歸納總結:判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.(2)重要結論:連接平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).【練習1】在三棱錐S-ABC中,與SA是異面直線的是()A.SB B.SCC.BC D.AB【答案】C解析:由題圖知SB、SC、AB、AC與SA均是相交直線,BC與SA既不相交,又不平行,是異面直線.探究二空間中直線與平面的位置關系【例2】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系:(1)AD1所在的直線與平面B1BCC1的位置關系是________.(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________.[分析]利用直線和平面的公共點個數進行判定.【答案】(1)平行(2)相交[解析](1)AD1所在的直線與平面B1BCC1沒有公共點,所以平行.(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B,故相交.歸納總結:判斷空間中直線與平面的位置關系,一般先作出幾何圖形,直觀判斷,然后依據三個基本事實及推論給出嚴格證明.另外,借助模型如長方體舉反例也是解決這類問題的有效方法.【練習2】三棱臺ABC-A′B′C′的一條側棱AA′所在直線與平面BCC′B′之間的關系是()A.相交B.平行C.直線在平面內D.平行或直線在平面內【答案】A解析:由棱臺的定義知,棱臺的所有側棱所在的直線都交于同一點,而任一側面所在的平面由兩條側棱所在直線所確定,故這條側棱與不含這條側棱的任意一個側面所在的平面都相交.探究三空間中平面與平面的位置關系【例3】(1)若兩個平面互相平行,則分別在這兩個平行平面內的直線()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面(2)如果在兩個平面內分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不存在【答案】(1)D(2)C[解析](1)兩個平面內的直線必無交點,所以是異面或平行.(2)由題目分別在兩個平面內的兩直線平行判定兩平面是相交或平行.解答本題可逆向考慮畫兩平行面,看是否能在此兩面內畫兩條平行線.同樣畫兩相交面,看是否能在此兩面內畫兩條平行線,再作出選擇(如圖所示).歸納總結:判斷空間中兩平面之間的位置關系時,可把文字語言轉化為圖形語言,搞清圖形間的相對位置是確定的還是可變的,借助于空間想象能力,確定平面間的位置關系【練習3】(1)兩個平面將空間分成幾部分?(2)將一個三棱柱的各面延展成平面后,這些平面可將空間分成幾部分?解:(1)兩個平面平行時,將空間分成三部分;兩個平面相交時,將空間分成四部分.(2)如圖,將三棱柱的三個側面延展成平面后,可將空間分成7部分,然后將三棱柱的兩底面延展成平面,那么每一個平面將這7部分一分為二,故共分成3×7=21部分.

課后作業A組基礎題一、選擇題1.若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關系是()A.異面或平行 B.異面或相交C.異面 D.相交、平行或異面【答案】D[異面直線不具有傳遞性,可以以長方體為載體加以說明,a,b異面,直線c的位置可如圖所示.]2.已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面可能的交線有()A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條【答案】D[當三個平面兩兩相交且過同一直線時,它們有1條交線;當平面β和γ平行時,它們的交線有2條;當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時,它們有3條交線.]3.若直線a不平行于平面α,則下列結論成立的是()A.α內的所有直線都與直線a異面B.α內不存在與a平行的直線C.α內的直線都與a相交D.直線a與平面α有公共點【答案】D[直線a不平行于平面α,則a與平面α相交或a?α.]4.若a,b為異面直線,直線c∥a,則c與b的位置關系是()A.相交 B.異面C.平行 D.異面或相交【答案】D[由空間直線的位置關系,知c與b可能異面或相交.]5.(多選題)下列結論正確的是()A.直線a∥平面α,直線b?α,則a∥bB.若a?α,b?α,則a,b無公共點C.若a?α,則a∥α或a與α相交D.若a∩α=A,則a?α【答案】CD[結合直線與平面的位置關系可知,AB錯誤,CD正確.]二、填空題6.若直線l上有兩點到平面α的距離相等,則直線l與平面α的關系是________.【答案】平行或相交[當這兩點在α的同側時,l與α平行;當這兩點在α的異側時,l與α相交.]7.在四棱錐P-ABCD中,各棱所在的直線互相異面的有________對.【答案】8[以底邊所在直線為準進行考察,因為四邊形ABCD是平面圖形,4條邊在同一平面內,不可能組成異面直線,而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線,所以共有4×2=8(對)異面直線.]8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系:(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是________;(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________.【答案】(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點,所以平行;(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B,故相交.]三、解答題9.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何?[解]B1D1在平面A1C1內,B1D1與平面BC1,AB1,AD1,CD1都相交,B1D1與平面AC平行.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中點,畫出過D1,C,E的平面與平面ABB1A1的交線,并說明理由.[解]如圖,取AB的中點F,連接EF,A1B,CF.因為E是AA1的中點,所以EF∥A1B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形.所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1.所以E,F,C,D1四點共面.因為E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,所以平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.所以過D1,C,E的平面與平面ABB1A1的交線為EF.

B組能力提升一、選擇題1.不共面的四個定點到平面α的距離都相等,這樣的平面α共有()A.3個 B.4個C.6個 D.7個【答案】D[把不共面的四個定點看作四面體的四個頂點,平面α可以分為兩類:第一類:如圖(1)所示,四個定點分布在α的一側1個,另一側3個,此類中α共有4個.圖(1)圖(2)第二類:如圖(2)所示,四個定點分布在α的兩側各兩個,此類中α共3個.綜上,α

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