2025高一升高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義6.4.3余弦定理、正弦定理2-(必修第二冊含答案余弦定理、正弦定理21正弦定理①正弦定理asinA=bsinB②變形(1)a+b+c(2)化邊為角a=2Rsina:b:c=sinA:sinB:sinC,a(3)化角為邊

sinA=a2R,sinB=理由a?理由aaa有角有邊的等式化為只含邊的等式a?等式(?)中含有三個式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每個式子中都有一個sin值，并且它們的次數(shù)都是1，則可以把sinB、sinC直接轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊b、c！同理a?sinB+思考以下轉(zhuǎn)化是否正確(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(錯)，(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2④利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，則邊a=(2)已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,A=60°,c=2，a=3(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)⑤三角形解的個數(shù)問題已知兩邊a、b和其中一邊的對角A，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.A是銳角A是直角或鈍角a≥ba<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba<b一解無解一解兩解一解無解Eg求滿足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC個數(shù).方法1利用正弦定理求解由正弦定理可得：5sin60°=4∵a>b，且A為銳角，∴B有一解，故三角形只有一解；方法2圖像法先做出角∠CAB=60°,過點C作CD⊥BC,此時可知CD=23<5，以2面積公式S?ABC=3余弦定理①余弦定理a②變形cosA=③利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知三邊，可求三個角；Eg在△ABC中，若a=4,b=3,c=13，則角C=(2)已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.Eg在△ABC中，A=30°,b=3,c=1，則a=.(角在△ABC中，A=30°,b=33，a=3,則邊c=.(角A不為兩邊的夾角)④三角形類型的判斷∠A=π∠A>π∠A<π⑤射影定理a=c?cosB+b?cosCb=a?cosC+c?cosAc=b?cosA+a?cosB

【題型一】三角形最值問題【典題1】銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，則△ABC周長的范圍為【典題2】邊長為1的正方形ABCD的邊BC上有一點P，邊CD上有一點Q，滿足△CPQ的周長為2．(1)求∠QAP的大小；(2)求△APQ面積的最小值．鞏固練習1(★★)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且b=2，A=2B，則a的取值范圍為．2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，則m的最小值為．3(★★★)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M為BC的中點，且AM=1，則b+c的最大值是．4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，則△ABC的面積的最大值為．5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，點P在邊BC上，且AP⊥AB，(1)若PC=7，求PB．(2)求26(★★★)如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°(1)若∠ABC=30°，求DC；(2)記∠ABC=θ，當θ為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值．【題型二】解三角形應(yīng)用舉例【典題1】如圖，一架飛機以600km/?的速度，沿方位角60°的航向從A地出發(fā)向B地飛行，飛行了36min后到達E地，飛機由于天氣原因按命令改飛C地，已知AD=6003km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．問收到命令時飛機應(yīng)該沿什么航向飛行，此時E地離C地的距離是多少？(參考數(shù)據(jù)：鞏固練習1(★★★)如圖，海平面某區(qū)域內(nèi)有A，B，C三座小島，島C在A的北偏東70°方向，島C在B的北偏東40°方向，島B在A的南偏東65°方向，且A，B兩島間的距離為3海里．(1)求B，C兩島間的距離；(2)經(jīng)測算海平面上一輪船D位于島C的北偏西50°方向，且與島C相距32海里，求輪船在島A2(★★★)如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=1,BC=2，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN⊥BC，點P在邊AB上，設(shè)∠MOD=θ；(1)若θ=30°，求三角形鐵皮PMN的面積；(2)求剪下的三角形鐵皮PMN面積的最大值．3(★★★★)如圖，已知扇形OMN是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，∠MON=π(1)如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形ABO形狀的道路，道路的一個頂點B在弧MN上，另一頂點A在半徑OM上，且AB∥ON，求△ABO周長的最大值；(2)如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃ABC的一個頂點B在弧MN上，另兩個頂點A、C在半徑OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面積的最大值．余弦定理、正弦定理21正弦定理①正弦定理asinA=bsinB②變形(1)a+b+c(2)化邊為角a=2Rsina:b:c=sinA:sinB:sinC,a(3)化角為邊

sinA=a2R,sinB=理由a?理由aaa有角有邊的等式化為只含邊的等式a?等式(?)中含有三個式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每個式子中都有一個sin值，并且它們的次數(shù)都是1，則可以把sinB、sinC直接轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊b、c！同理a?sinB+思考以下轉(zhuǎn)化是否正確(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(錯)，(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2④利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，則邊a=(2)已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,A=60°,c=2，a=3(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)⑤三角形解的個數(shù)問題已知兩邊a、b和其中一邊的對角A，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.A是銳角A是直角或鈍角a≥ba<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba<b一解無解一解兩解一解無解Eg求滿足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC個數(shù).方法1利用正弦定理求解由正弦定理可得：5sin60°=4∵a>b，且A為銳角，∴B有一解，故三角形只有一解；方法2圖像法先做出角∠CAB=60°,過點C作CD⊥BC,此時可知CD=23<5，以2面積公式S3余弦定理①余弦定理a②變形cosA=③利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知三邊，可求三個角；Eg在△ABC中，若a=4,b=3,c=13，則角C=(2)已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.Eg在△ABC中，A=30°,b=3,c=1，則a=.(角在△ABC中，A=30°,b=33，a=3,則邊c=.(角A不為兩邊的夾角)④三角形類型的判斷∠A=π∠A>π∠A<π⑤射影定理a=c?cosB+b?cosCb=a?cosC+c?cosAc=b?cosA+a?cosB

【題型一】三角形最值問題【典題1】銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，則△ABC周長的范圍為【解析】∵2asinC=3c，∴由正弦定理得∵0<C<π，∴sinC≠0．∴∵三角形ABC是銳角三角形，∴A=π3(確定A與方法1由正弦定理得b則b∵銳角三角形ABC∴π則3<2sinB+π6≤2，即3<∴1+3∴△ABC周長的范圍為(1+3方法2由余弦定理得a2∴1=b+c2?3bc，∵bc≤b+c24∴b+c≤2，當且僅當b=c=1時等號成立∴3∴1+3即△ABC周長的范圍為(1+3【點撥】①方法1把邊的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值處理，注意角度的范圍；②方法2把b+c看成一個整體，利用基本不等式求最值.③本題屬于隱圓問題，△ABC的外接圓是確定的，由圖也可得到△ABC周長的范圍為(1+3,3]【典題2】邊長為1的正方形ABCD的邊BC上有一點P，邊CD上有一點Q，滿足△CPQ的周長為2．(1)求∠QAP的大小；(2)求△APQ面積的最小值．【解析】方法1變量法1(分析由△CPQ的周長為2和勾股定理可知CP,CQ,設(shè)∠PAB=α，∠DAQ=β，(引入角度變量較好，還有可引入其他變量么？)則PB=tanα，QD=tanβ，PC=1?tanα，QC=1?tanβ，∵△CPQ的周長為2，∴PQ=2?PC?CQ=tanα+tanβ由勾股定理可得1?tanα2展開整理可得2?2tanα?2tanβ=2tanα?tanβ，變形可得tanα+tanβ1?tanαtanβ=1，即∵α+β為銳角，∴α+β=π4(2)S△APQ又2=1+cos2α+sin2α=1+2∴22cosα?cosβ=1+2∴1故S△APQ最小值為2方法2坐標系法(1)如圖，以點A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系則A(0,0),B(1,0),可設(shè)P(1,m),Q(n,1),其中0<m,n<1,(則PQ=∵△CPQ的周長為2，∴PQ=2?PC?CQ=2?1?m∴Rt?CPQ中由勾股定理得化簡得m+n=1?mn，∴cos∠QAP=AQ?AP|AQ(也可以在?QAP中用余弦定理∴∠QAP=π(2)S(涉及面積，割補法也是很常見的)由(1)可知m+n=1?mn，∵m,n>0∴m+n≥2即1?mn≥2mn解得0<mn≤3?22(當m=n=2∴∴S△APQ最小值為【點撥】①本題還有一種方法，如圖，延長PB到E,使得BE=DQ，利用△APQ?△APE②方法1是引入角度變量，第二問用三角函數(shù)表示邊長，面積最值最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題(涉及到輔助角公式、二倍角公式等)；而方法2是引入線段變量，而建系的方式使得每個量都能通過點的坐標得到，使得解題思路更簡潔些；③涉及到三角形面積，求法有S=12×底×鞏固練習1(★★)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且b=2，A=2B，則a的取值范圍為．【答案】(22，23)【解析】銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A=2B，∴0<2B<π2，且∴π∴π∴22∵b=2，A=2B，∴由正弦定理可得：a=b?sin2B∴可得：2則a的取值范圍為(22，23)．2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，則m的最小值為【答案】3【解析】∵∠B=60°，b=3由正弦定理可得，asinA∴a=2sinA，c=2sinC=2sin(120°－A)，∴c－2a=2sin(120°－A)－4sinA=∵0°<A<120°，∴600∴?1<cos(A+60°)<∴－23∵c－2a≤m恒成立，則m≥3，即m的最小值為3故答案為：3．3(★★★)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M為BC的中點，且AM=1，則b+c的最大值是．【答案】4【解析】在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若ccosB+bcosC＝2acosA，利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosA，所以sin(B+C)＝sinA＝2sinAcosA，由于sinA≠0，所以cosA=1∴0<A<π，故M為BC的中點，且AM＝1，設(shè)BC＝2x，則：2x2故：2x利用余弦定理得：c2＝同理：b2由①②得：b2所以b2故b+c2整理得(b+c)解得0<b+c≤4故答案為：434(★★★)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，則△ABC的面積的最大值為．【答案】3【解析】∵(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a－b)=c(c+b)，整理可得：b2∴cosA=b∵A∈(0，π)，∴A=2π∵b+c=4，∴S△ABC=即△ABC的面積的最大值為3．5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，點P在邊BC上，且AP⊥AB，(1)若PC=7，求PB．(2)求2【答案】(1)7(2)(1，【解析】(1)∵AP=3．PC=7，∠CAP∴在△PAC中，由余弦定理知：PC即：7=3+AC2－2×∴由正弦定理PAsinC=PCsin∠CAP，可得：∴cosC=1?si∴sinB==3∴在△ABC中，由正弦定理BCsin∠BAC=ACsinB，可得：BC3∴PB=BC－PC=27(2)設(shè)∠APB=θ，則∠ACP=θ?在Rt△APB中，PB=AP在△PAC中，由正弦定理知APsin(θ?π6于是2PB由題意知π6<θ<π2，π3故12可得：2PB+1PC=2sin(θ+π6)6(★★★)如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°(1)若∠ABC=30°，求DC；(2)記∠ABC=θ，當θ為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值．【答案】(1)233(2)θ=75°時，S取最小值【解析】(1)在四邊形ABCD中，因為AD⊥AB，∠BCD=120°，∠ABC=30°，所以∠ADC=120°，在△ACD中，可得∠CAD=90°－60°=30°，∠ADC=120°，AC=2，由正弦定理得：CDsin∠CAD解得：CD=2(2)因為∠CAB=60°，AD⊥AB可得∠CAD=30°，四邊形內(nèi)角和360°得∠ADC=150°－θ，∴在△ADC中，由正弦定理得：DCsin30°=2在△ABC中，由正弦定理得：BCsin60°=2∴S=34×∵0°<θ<150°，∴－60°<2θ－60°<240°，∴當2θ－60°=90°即θ=75°時，S取最小值6?【題型二】解三角形應(yīng)用舉例【典題1】如圖，一架飛機以600km/?的速度，沿方位角60°的航向從A地出發(fā)向B地飛行，飛行了36min后到達E地，飛機由于天氣原因按命令改飛C地，已知AD=6003km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．問收到命令時飛機應(yīng)該沿什么航向飛行，此時E地離C【解析】連接AC,CE，在△ACD中由余弦定理，得AC∴AC=600，則CD2=AD2又∠BCD=113°，則∠ACB=53°，∵tan37°=34，∴cos53°=sin37°=在△ABC中，由余弦定理得AB2=60又BC=500，則△ABC是等腰三角形，且∠BAC=53°，由已知有AE=600?36在△ACE中，由余弦定理有CE=360又AC2=A由飛機出發(fā)時的方位角為600，則飛機由E地改飛C地的方位角為90°+60°=150°．答：收到命令時飛機應(yīng)該沿方位角150°的航向飛行，E地離C地480km．【點撥】①在實際問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛錘面上所成的角)，方位角(它是在水平面上所成的角)；②方位角是相對于某點而言，在確定方位角時要弄清楚時哪一個點的方位角；③處理實際問題時要根據(jù)題意把實際問題的圖形進行簡化，并在圖形上標出有關(guān)的角或邊，明確最后實際要求的量可轉(zhuǎn)化為三角形的什么量，再思考正弦定理或余弦定理解三角形.鞏固練習1(★★★)如圖，海平面某區(qū)域內(nèi)有A，B，C三座小島，島C在A的北偏東70°方向，島C在B的北偏東40°方向，島B在A的南偏東65°方向，且A，B兩島間的距離為3海里．(1)求B，C兩島間的距離；(2)經(jīng)測算海平面上一輪船D位于島C的北偏西50°方向，且與島C相距32海里，求輪船在島A【答案】(1)32海里(2)D船在A島北偏東25°方向上，距離A島3【解析】(1)由題意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，∴∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB即312=(2)由題意可知CD=32在△ABC中，由余弦定理得AC=AB2在△ACD中，由余弦定理AD=AC2由正弦定理得：CDsin∠DAC=AD解得sin∠DAC=2∴∠DAC=45°，∴D船在A島北偏東25°方向上，距離A島3