高二數(shù)學(xué)選修試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.42.已知復(fù)數(shù)\(z=1+2i\)，則\(|z|\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{2}\)D.23.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.\((-1,1)\)4.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.35.由數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A.12個(gè)B.24個(gè)C.36個(gè)D.48個(gè)6.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦距為（）A.2B.\(\sqrt{7}\)C.\(2\sqrt{7}\)D.47.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)8.已知\(a=(1,-2)\)，\(b=(x,4)\)，且\(a\parallelb\)，則\(x\)的值為（）A.-2B.2C.-4D.49.用反證法證明命題“三角形內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于\(60^{\circ}\)”時(shí)，反設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于\(60^{\circ}\)B.假設(shè)三內(nèi)角都大于\(60^{\circ}\)C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于\(60^{\circ}\)D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于\(60^{\circ}\)10.已知\(F_1,F_2\)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過\(F_1\)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(\triangleABF_2\)是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（）A.求函數(shù)的極值B.求函數(shù)的最值C.判斷函數(shù)的單調(diào)性D.求函數(shù)的零點(diǎn)2.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(z\)是純虛數(shù)B.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等C.復(fù)數(shù)的模一定是非負(fù)實(shí)數(shù)D.復(fù)數(shù)\(z=1-i\)的共軛復(fù)數(shù)是\(1+i\)3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)4.下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式B.橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為定值C.橢圓離心率\(e\)的范圍是\((0,1)\)D.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定大于短軸長(zhǎng)5.對(duì)于雙曲線，以下說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線與雙曲線無限接近但不相交B.雙曲線的離心率\(e\gt1\)C.雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)D.等軸雙曲線的漸近線互相垂直6.以下屬于組合問題的有（）A.從10個(gè)人中選3個(gè)人去參加會(huì)議B.從5本不同的書中選2本借給同學(xué)C.從7個(gè)不同的數(shù)字中選4個(gè)組成一個(gè)四位數(shù)D.從8名運(yùn)動(dòng)員中選4名參加\(4\times100\)米接力賽7.下列命題正確的是（）A.若\(a\)與\(b\)共線，\(b\)與\(c\)共線，則\(a\)與\(c\)共線B.向量\(a,b,c\)共面，則它們所在直線也共面C.零向量與任意向量平行D.若\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，則\(A,B,C,D\)可能構(gòu)成平行四邊形8.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，以下說法正確的是（）A.第一步要驗(yàn)證\(n=1\)時(shí)命題成立B.假設(shè)\(n=k\)（\(k\geqn_0\)，\(n_0\)為初始值）時(shí)命題成立，再證明\(n=k+1\)時(shí)命題也成立C.數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法D.數(shù)學(xué)歸納法可用于證明一切與正整數(shù)有關(guān)的命題9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)\(y=f^\prime(x)\)的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增B.函數(shù)\(y=f(x)\)在\((-1,2)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=-1\)處取得極大值D.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=2\)處取得極小值10.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓上一點(diǎn)，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則以下結(jié)論正確的是（）A.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(b^2\tan30^{\circ}\)B.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)C.若橢圓的離心率為\(e\)，則\(\frac{1}{|PF_1|}+\frac{1}{|PF_2|}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{b^2}\)D.若\(|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{4}{3}b^2\)，則橢圓的離心率為\(\frac{1}{2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續(xù)。（）2.復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z^2\lt0\)，則\(z\)一定是純虛數(shù)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=\sinx\)。（）4.橢圓的離心率越大，橢圓越扁。（）5.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)與\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\)的漸近線相同。（）6.從\(n\)個(gè)不同元素中取出\(m\)個(gè)元素的排列數(shù)\(A_{n}^m\)與組合數(shù)\(C_{n}^m\)滿足\(A_{n}^m=m!C_{n}^m\)。（）7.若向量\(a\)與向量\(b\)的數(shù)量積\(a\cdotb=0\)，則\(a\perpb\)。（）8.用反證法證明命題時(shí)，假設(shè)結(jié)論不成立是指假設(shè)結(jié)論的反面成立。（）9.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)一定大于0。（）10.數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，歸納遞推是關(guān)鍵步驟。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)；當(dāng)\(x\gt2\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值為\(y(0)=5\)，極小值為\(y(2)=1\)。2.已知橢圓的焦點(diǎn)在\(x\)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(6\)，離心率為\(\frac{1}{3}\)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a=6\)，所以\(a=3\)。又離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)，則\(c=1\)。由\(b^2=a^2-c^2\)，得\(b^2=8\)。所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1\)。3.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)定積分運(yùn)算法則，\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{2}\)。將\(x=2\)和\(x=0\)代入得\((\frac{8}{3}+2)-(0+0)=\frac{14}{3}\)。4.用分析法證明：若\(a\gtb\gt0\)，則\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\lt\sqrt{a-b}\)。答案：要證\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\lt\sqrt{a-b}\)，因?yàn)閈(a\gtb\gt0\)，只需證\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\lt(\sqrt{a-b})^2\)，即\(a+b-2\sqrt{ab}\lta-b\)，化簡(jiǎn)得\(2b\lt2\sqrt{ab}\)，即\(b\lt\sqrt{ab}\)，因?yàn)閈(b\gt0\)，兩邊同時(shí)除以\(\sqrt{b}\)得\(\sqrt{b}\lt\sqrt{a}\)，這與\(a\gtb\gt0\)相符。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，舉例說明。答案：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，如成本控制、利潤(rùn)最大化等。例如生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本函數(shù)\(C(x)\)與產(chǎn)量\(x\)有關(guān)，求導(dǎo)\(C^\prime(x)\)可得到邊際成本。當(dāng)邊際成本等于邊際收益時(shí)，利潤(rùn)最大，能幫助企業(yè)確定最佳產(chǎn)量。2.比較橢圓和雙曲線的性質(zhì)，分析它們的異同點(diǎn)。答案：相同點(diǎn)：都有兩個(gè)焦點(diǎn)，都有標(biāo)準(zhǔn)方程。不同點(diǎn)：橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為定值，離心率\(e\in(0,1)\)；雙曲線是點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值，離心率\(e\gt1\)。橢圓形狀較“圓”，雙曲線有漸近線。3.結(jié)合實(shí)例談