概率論考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩事件，\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A|B)=0.4\)，則\(P(AB)\)=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.52.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)=（）A.1B.2C.3D.43.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}k(1-x^2),&-1<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(k\)=（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.14.設(shè)隨機(jī)變量\(X\simN(1,4)\)，\(\Phi(x)\)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則\(P(X\leqslant3)\)=（）A.\(\Phi(1)\)B.\(\Phi(2)\)C.\(\Phi(0.5)\)D.\(\Phi(1.5)\)5.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\simU(0,1)\)，\(Y\simU(0,2)\)，則\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)\(f(x,y)\)=（）A.\(\begin{cases}1,&0<x<1,0<y<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)B.\(\begin{cases}2,&0<x<1,0<y<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)C.\(\begin{cases}\frac{1}{2},&0<x<1,0<y<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)D.\(\begin{cases}4,&0<x<1,0<y<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^2)\)=（）A.4B.6C.8D.107.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}{\sigma^2}\)服從（）分布A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^2(n-1)\)C.\(t(n-1)\)D.\(F(n-1,n)\)8.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，\(\theta\)的矩估計(jì)量是（）A.\(\overline{X}\)B.\(2\overline{X}\)C.\(\frac{\overline{X}}{2}\)D.\(\frac{1}{\overline{X}}\)9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，記\(H_0\)為原假設(shè)，則犯第一類錯(cuò)誤是指（）A.\(H_0\)為真，接受\(H_0\)B.\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)C.\(H_0\)為假，接受\(H_0\)D.\(H_0\)為假，拒絕\(H_0\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)滿足\(P(X=k)=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則\(C\)=（）A.\(e\)B.\(e^{-1}\)C.1D.\(e^2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\Omega)=1\)C.\(P(\varnothing)=0\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqslantP(B)\)E.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)D.當(dāng)\(n\)很大，\(p\)很小時(shí)，近似服從泊松分布E.\(X\)取值為\(0\)到\(n\)3.對(duì)于二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（連續(xù)型）B.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(Cov(X,Y)=0\)E.\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)4.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\simN(0,1)\)C.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\simt(n-1)\)E.樣本均值\(\overline{X}\)是\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)量5.以下哪些是常用的點(diǎn)估計(jì)方法（）A.矩估計(jì)法B.最大似然估計(jì)法C.區(qū)間估計(jì)法D.最小二乘法E.貝葉斯估計(jì)法6.設(shè)\(A\)、\(B\)、\(C\)為三個(gè)事件，以下等式成立的是（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)C.\(A(B\cupC)=(AB)\cup(AC)\)D.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)E.\(\overline{A\capB}=\overline{A}\cup\overline{B}\)7.隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)具有的性質(zhì)有（）A.\(0\leqslantF(x)\leqslant1\)B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)單調(diào)不減E.\(F(x)\)右連續(xù)8.設(shè)\(X\)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)，則（）A.\(p_k\geqslant0\)B.\(\sum_{k=1}^{\infty}p_k=1\)C.\(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)D.\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)E.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)（\(a,b\)為常數(shù)）9.以下關(guān)于正態(tài)分布的說(shuō)法正確的是（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱的鐘形曲線B.當(dāng)\(\sigma\)越大，曲線越“矮胖”C.當(dāng)\(\sigma\)越小，曲線越“瘦高”D.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是\(\mu=0\)，\(\sigma=1\)的正態(tài)分布E.任何正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布10.在假設(shè)檢驗(yàn)中，與拒絕域有關(guān)的因素有（）A.原假設(shè)\(H_0\)B.備擇假設(shè)\(H_1\)C.顯著性水平\(\alpha\)D.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量E.樣本容量\(n\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(P(A)+P(B)=1\)，則\(A\)與\(B\)為對(duì)立事件。（）2.連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)\)在某點(diǎn)\(x_0\)的值\(f(x_0)\)就是\(X\)取\(x_0\)的概率。（）3.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)量，樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)量。（）5.設(shè)\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(X\leqslant\mu)=0.5\)。（）6.對(duì)于任意兩個(gè)事件\(A\)和\(B\)，都有\(zhòng)(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）7.隨機(jī)變量\(X\)的方差\(D(X)\)越大，說(shuō)明\(X\)的取值越分散。（）8.若總體\(X\)的分布未知，只要樣本容量\(n\)足夠大，根據(jù)中心極限定理，樣本均值\(\overline{X}\)近似服從正態(tài)分布。（）9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平\(\alpha\)就是犯第一類錯(cuò)誤的概率。（）10.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。答：設(shè)\(\Omega\)是樣本空間，\(F\)是\(\Omega\)中的一些子集組成的集合族，若對(duì)\(F\)中的每一個(gè)事件\(A\)，都有一個(gè)實(shí)數(shù)\(P(A)\)與之對(duì)應(yīng)，且滿足非負(fù)性\(P(A)\geqslant0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，即若\(A_1,A_2,\cdots\)兩兩互不相容，則\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的含義。答：數(shù)學(xué)期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平。方差衡量隨機(jī)變量取值相對(duì)于其均值的離散程度，方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中在均值附近。3.簡(jiǎn)述矩估計(jì)法的基本步驟。答：首先求總體的\(k\)階矩\(E(X^k)\)（\(k=1,2,\cdots\)），一般用含未知參數(shù)的式子表示。然后令樣本\(k\)階矩\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k\)等于總體\(k\)階矩\(E(X^k)\)，得到關(guān)于未知參數(shù)的方程或方程組，最后求解方程或方程組得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量。4.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答：第一步，提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；第二步，選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；第三步，給定顯著性水平\(\alpha\)，確定拒絕域；第四步，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；第五步，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別與聯(lián)系。答：區(qū)別：相互獨(dú)立是從概率角度定義，\(P(AB)=P(A)P(B)\)；互不相容是事件關(guān)系，\(AB=\varnothing\)即\(P(AB)=0\)。聯(lián)系：一般兩者無(wú)必然聯(lián)系。若\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則相互獨(dú)立的\(A\)、\(B\)一定不是互不相容；互不相容的\(A\)、\(B\)通常不相互獨(dú)立（除\(P(A)=0\)或\(P(B)=0\)外）。2.討論正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答：在實(shí)際