成都三診數學試題文科及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{4\}\)2.復數\(z=2+i\)，則\(\overline{z}=(\)\)A.\(2-i\)B.\(-2+i\)C.\(-2-i\)D.\(2+i\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.直線\(y=2x+1\)的斜率為(\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)5.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標為(\)A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)6.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_2=(\)\)A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)7.函數\(f(x)=\log_2x\)的定義域是(\)A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,+\infty)\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(-4\)9.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為(\)A.\(1\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)10.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是(\)A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)2.下列說法正確的是（）A.空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.直線與平面垂直，則該直線垂直平面內的任意直線C.圓柱的側面展開圖是矩形D.球的截面是圓3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)D.\(a-b\gt0\)4.直線\(l\)過點\((1,2)\)，且斜率為\(2\)，則（）A.直線\(l\)的方程為\(y-2=2(x-1)\)B.直線\(l\)與\(x\)軸交點為\((0,0)\)C.直線\(l\)與\(y\)軸交點為\((0,-2)\)D.直線\(l\)與直線\(y=2x+3\)平行5.以下關于雙曲線的說法正確的是（）A.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.雙曲線的離心率\(e\gt1\)C.雙曲線有兩個焦點D.雙曲線的實軸長為\(2b\)6.對于函數\(f(x)=x^3-3x\)，下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的極大值為\(2\)B.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)C.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調遞增D.\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞減7.已知數列\(\{a_n\}\)是等比數列，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)8.以下哪些是基本不等式的變形（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(ab\leqslant(\frac{a+b}{2})^2\)C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）D.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）9.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，則下列說法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(\alpha\perp\beta\)，則\(m\perpn\)10.已知函數\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），則（）A.\(A\)決定函數的振幅B.\(\omega\)決定函數的周期C.\(\varphi\)決定函數的初相D.函數的最大值為\(A\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）4.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）5.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（）7.若數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）8.函數\(y=e^x\)的導數是\(y^\prime=e^x\)。（）9.兩個平面平行，其中一個平面內的直線與另一個平面平行。（）10.若\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），則\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸為\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，根據\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，則\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與直線\(x+y-4=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{cases}\)，將兩式相加消去\(y\)得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-4=0\)得\(y=3\)，交點坐標為\((1,3)\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：設等差數列公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。則通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性。答案：設\(0\ltx_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因為\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.談談如何根據橢圓的標準方程判斷其焦點位置。答案：對于橢圓標準方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），若\(a^2\gtb^2\)，焦點在\(x\)軸上；若\(a^2\ltb^2\)，焦點在\(y\)軸上。即看\(x^2\)與\(y^2\)分母大小，分母大的對應的軸就是焦點所在軸。3.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷。\(d\gtr\)時，直線與圓相離；\(d=r\)時，直線與圓相切；\(d\ltr\)時，直線與圓相交。二是代數法，聯立直線與圓的方程，消元后根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，討論\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\)的最小值及取到最小值時\(a\)，\(b\)的值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})(a+b)=1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4=5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\)。由基本不等式，\(\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\geqslant2\sqrt{\frac{b}{a}\times\frac{4a}{b}}=4\)，當且僅當\(\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}\)，結合\(a+