PAGEPAGE6題組層級快練(四十四)1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a＋b答案D解析只需比較a2＋b2與a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a＋b.2．(2024·人大附中月考)設0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案B解析方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，則有0<a＝1<eq\r(ab)＝eq\r(2)<eq\f(a＋b,2)＝1.5<b＝2.方法二(干脆法)：我們知道算術平均數eq\f(a＋b,2)與幾何平均數eq\r(ab)的大小關系，其余各式作差(作商)比較即可，答案為B.3．下列函數中，最小值為4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案C解析留意基本不等式等號成立的條件是“a＝b”，同時考慮函數的定義域，A中x的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，函數沒有最小值；B中若sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，則sin2x＝4，明顯不成立．D中沒有最小值．故選C.4．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案D解析∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當且僅當2x＝2y時等號成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故選D.5．若x，y是正數，則(x＋eq\f(1,2y))2＋(y＋eq\f(1,2x))2的最小值是()A．3 B.eq\f(7,2)C．4 D.eq\f(9,2)答案C解析原式＝x2＋eq\f(x,y)＋eq\f(1,4y2)＋y2＋eq\f(y,x)＋eq\f(1,4x2)≥4.當且僅當x＝y＝eq\f(1,\r(2))時取“＝”號．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，則eq\f(1,ab)的最小值為()A.eq\f(1,4) B．4C.eq\f(1,2) D．2答案C解析∵4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，∴ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，當且僅當a＝1，b＝2時取等號．7．若x<0，則函數y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)的最小值是()A．－eq\f(9,4) B．0C．2 D．4答案D解析y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＋2eq\r(（－x）（－\f(1,x)）)＝4，當且僅當x＝－1時取等號．8．函數y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2答案A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2（x－1）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(（x－1）（\f(3,x－1)）)＋2＝2eq\r(3)＋2.當且僅當x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)時，取等號．9．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9對隨意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2，當且僅當a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即ax2＝y2時“＝”成立．∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))的最小值為(eq\r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.10．設實數x，y，m，n滿意x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(5) D.eq\f(\r(10),2)答案A解析方法一：設x＝sinα，y＝cosα，m＝eq\r(3)sinβ，n＝eq\r(3)cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝eq\r(3)sinβsinα＋eq\r(3)cosβcosα＝eq\r(3)cos(α－β)．故選A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤eq\r(3).11．(高考真題·山東卷)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿意x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為()A．3 B．6C．9 D．12答案A12．(2024·四川成都外國語學校)若正數a，b滿意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為()A．16 B．9C．6 D．1答案C解析方法一：因為eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二：因為eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))－10≥16－10＝6.方法三：因為eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a－1＝eq\f(1,b－1)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.13．(2024·河南鄭州外國語學校月考)某城鎮人口其次年比第一年增長m%，第三年比其次年增長n%，若這兩年的平均增長率為p%，則p與eq\f(m＋n,2)的大小關系為()A．p>eq\f(m＋n,2) B．p＝eq\f(m＋n,2)C．p≤eq\f(m＋n,2) D．p≥eq\f(m＋n,2)答案C解析依題意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝eq\r(（1＋m%）（1＋n%）)≤eq\f(1＋m%＋1＋n%,2)＝1＋eq\f(m%＋n%,2)，當且僅當m＝n時等號成立，所以p≤eq\f(m＋n,2)，故選C.14．(1)當x>1時，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________；(2)當x≥4時，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．答案(1)5(2)eq\f(16,3)解析(1)∵x>1，∴x－1>0.∴x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5.(當且僅當x－1＝eq\f(4,x－1).即x＝3時“＝”號成立)∴x＋eq\f(4,x－1)的最小值為5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函數y＝x＋eq\f(4,x)在[3，＋∞)上為增函數，∴當x－1＝3時，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1有最小值eq\f(16,3).15．若a>0，b>0，a＋b＝1，則ab＋eq\f(1,ab)的最小值為________．答案eq\f(17,4)解析ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時取等號．y＝x＋eq\f(1,x)在x∈(0，eq\f(1,4)]上為減函數．∴ab＋eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,4)＋4＝eq\f(17,4).16．已知a>b>0，求a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，從而去掉b，再由a2＋eq\f(64,a2)，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤[eq\f(b＋（a－b）,2)]2＝eq\f(a2,4).∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)≥a2＋eq\f(64,a2)≥2eq\r(a2·\f(64,a2))＝16.當a2＝eq\f(64,a2)且b＝a－b，即a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(2)時等號成立．∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值為16.17．(2024·江西重點中學盟校聯考)設x，y均為正實數，且eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，求xy的最小值．答案16解析由eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，化為3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理為xy＝x＋y＋8.∵x，y均為正實數，∴xy＝x＋y＋8≥2eq\r(xy)＋8，∴(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，當且僅當x＝y＝4時取等號，∴xy的最小值為16.18．(2024·遼寧撫順一中月考)某健身器材廠研制了一種足浴氣血朝氣，詳細原理是：在足浴盆右側離中心x(0<x<20)厘米處安裝臭氧發生孔，產生的臭氧對雙腳起保健作用．依據檢測發覺，該臭氧發生孔工作時會對泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發生孔工作時，對左腳的干擾度與x2成反比，比例系數為4；對右腳的干擾度與400－x2成反比，比例系數為k，且當x＝10eq\r(2)時，對左腳和右腳的干擾度之和為0.065.(1)將臭氧發生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和y表示為x的函數；(2)求臭氧發生孔對左腳和右腳的干擾度之和y的最小值．答案(1)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)(2)eq\f(1,16)解析(1)由題意得y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)(0<x<20)，當x＝10eq\r(2)時，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)．(2)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)＝eq\f(1,400)(eq\f(4,x2)＋eq\f(9,