PAGE17-第2節(jié)磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用學(xué)問點(diǎn)一|洛倫茲力1．定義：運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受的力。2．大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0。(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB。(3)v與B夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsin_θ。3．方向(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，留意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，則F垂直于B、v確定的平面。(留意：B和v可以有隨意夾角)由于F始終垂直于v的方向，故洛倫茲力永不做功。eq\o([推斷正誤])(1)洛倫茲力的方向、粒子運(yùn)動(dòng)方向、磁場(chǎng)方向兩兩相互垂直。 (×)(2)帶電粒子的速度大小相同，所受洛倫茲力不肯定相同。 (√)(3)洛倫茲力和安培力是性質(zhì)完全不同的兩種力。 (×)eq考法1洛倫茲力的大小與方向1．(2015·重慶高考)圖中曲線a、b、c、d為氣泡室中某放射物發(fā)生衰變放出的部分粒子的徑跡，氣泡室中磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面對(duì)里。以下推斷可能正確的是()A．a(chǎn)、b為β粒子的徑跡B．a(chǎn)、b為γ粒子的徑跡C．c、d為α粒子的徑跡D．c、d為β粒子的徑跡D[由于α粒子帶正電，β粒子帶負(fù)電，γ粒子不帶電，據(jù)左手定則可推斷a、b可能為α粒子的徑跡，c、d可能為β粒子的徑跡，選項(xiàng)D正確。]2．(2024·濟(jì)寧模擬)圖中a、b、c、d為四根與紙面垂直的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其橫截面位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，導(dǎo)線中通有大小相同的電流，方向如圖所示。一帶正電的粒子從正方形中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動(dòng)，此時(shí)它所受洛倫茲力的方向是()A．向上 B．向下C．向左 D．向右B[帶電粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力，磁場(chǎng)為4根長(zhǎng)直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的合磁場(chǎng)，依據(jù)安培定則，a在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向?yàn)樗较蜃螅琤在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向?yàn)樨Q直向上，c在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向?yàn)樗较蜃螅琩在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向豎直向下，所以合磁場(chǎng)方向水平向左。依據(jù)左手定則，帶正電粒子在合磁場(chǎng)中所受洛倫茲力方向向下，故B正確。]3．如圖所示，M、N和P是以MN為直徑的半圓弧上的三點(diǎn)，O為半圓弧的圓心，在O點(diǎn)存在垂直紙面對(duì)里運(yùn)動(dòng)的勻速電子束。∠MOP＝60°，在M、N處各有一條長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直穿過紙面，導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流，方向如圖所示，這時(shí)O點(diǎn)的電子受到的洛倫茲力大小為F1。若將M處長(zhǎng)直導(dǎo)線移至P處，則O點(diǎn)的電子受到的洛倫茲力大小為F2。那么F2與F1之比為()A．eq\r(3)∶1 B．eq\r(3)∶2C．1∶1 D．1∶2B[長(zhǎng)直導(dǎo)線在M、N、P處時(shí)在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小相等，M、N處的導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都向下，合磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1＝2B，P、N處的導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度夾角為60°，合磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2＝eq\r(3)B，可得，B2∶B1＝eq\r(3)∶2，又因?yàn)镕洛＝qvB，所以F2∶F1＝eq\r(3)∶2，選項(xiàng)B正確。][考法指導(dǎo)]洛倫茲力的特點(diǎn)1利用左手定則推斷洛倫茲力的方向，留意區(qū)分正、負(fù)電荷。2當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變更時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變更。3運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不肯定受洛倫茲力作用。eq考法2洛倫茲力的特點(diǎn)4．關(guān)于安培力和洛倫茲力，下列說法正確的是()A．安培力和洛倫茲力是性質(zhì)不同的兩種力B．安培力可以對(duì)通電導(dǎo)線做功，洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷肯定不做功C．運(yùn)動(dòng)電荷在某處不受洛倫茲力作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度肯定為零D．洛倫茲力既不能變更帶電粒子的動(dòng)能，也不能變更帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)B[安培力和洛倫茲力都是磁場(chǎng)力，A錯(cuò)；洛倫茲力方向恒久與電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以洛倫茲力不做功，安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，它雖然對(duì)引起電流的定向移動(dòng)的電荷不做功，但對(duì)導(dǎo)線可以做功，B對(duì)；電荷的運(yùn)動(dòng)方向與磁感線方向在一條直線上時(shí)，洛倫茲力為零，B不為零，C錯(cuò)；洛倫茲力不變更帶電粒子的速度大小，但變更速度的方向，D錯(cuò)。]5．如圖所示，界面MN與水平地面之間有足夠大正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B和勻強(qiáng)電場(chǎng)E，磁感線和電場(chǎng)線都處在水平方向且相互垂直。在MN上方有一個(gè)帶正電的小球由靜止起先下落，經(jīng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)到達(dá)水平地面。若不計(jì)空氣阻力，小球在通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)的過程中，下列說法中正確的是()A．小球做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)B．小球的電勢(shì)能保持不變C．洛倫茲力對(duì)小球做正功D．小球動(dòng)能的增量等于其電勢(shì)能和重力勢(shì)能削減量的總和D[帶電小球在剛進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)受力如圖所示，則帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后做曲線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俣葧?huì)發(fā)生變更，洛倫茲力就會(huì)跟著變更，所以不行能是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；依據(jù)電勢(shì)能公式Ep＝qφ知只有帶電小球豎直向下做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，電勢(shì)能才保持不變，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；洛倫茲力的方向始終和速度方向垂直，所以洛倫茲力不做功，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；從能量守恒角度分析，選項(xiàng)D正確。]6．(多選)如圖所示，ABC為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB為傾斜直軌道，BC為與AB相切的圓形軌道，并且圓形軌道處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于紙面對(duì)里。質(zhì)量相同的甲、乙、丙三個(gè)小球中，甲球帶正電、乙球帶負(fù)電、丙球不帶電。現(xiàn)將三個(gè)小球在軌道AB上分別從不同高度處由靜止釋放，都恰好通過圓形軌道的最高點(diǎn)，則()A．經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，三個(gè)小球的速度相等B．經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，甲球的速度最小C．甲球的釋放位置比乙球的位置高D．運(yùn)動(dòng)過程中三個(gè)小球的機(jī)械能均保持不變CD[設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓形軌道半徑為r，三個(gè)小球質(zhì)量均為m，它們恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度分別為v甲、v乙和v丙，則mg＋q甲v甲B＝eq\f(mv\o\al(2,甲),r)，mg－q乙v乙B＝eq\f(mv\o\al(2,乙),r)，mg＝eq\f(mv\o\al(2,丙),r)，明顯，v甲>v丙>v乙，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；三個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，即它們的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D正確；甲球在最高點(diǎn)處的動(dòng)能最大，因?yàn)閯?shì)能相等，所以甲球的機(jī)械能最大，甲球的釋放位置最高，選項(xiàng)C正確。]eq考法3洛倫茲力、安培力與電場(chǎng)力7.(多選)粗糙絕緣水平面上垂直穿過兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，俯視圖如圖所示，兩根導(dǎo)線中通有大小相同、方向相反的電流，電流方向如圖所示，水平面上一帶電滑塊(電性未知)以某一初速度v沿兩導(dǎo)線連線的中垂線射入，運(yùn)動(dòng)過程中滑塊始終未脫離水平面，下列說法正確的是()A．滑塊所受洛倫茲力方向沿垂直平分線與速度方向相同B．滑塊肯定做勻變速直線運(yùn)動(dòng)C．兩導(dǎo)線之間有相互作用的引力D．兩導(dǎo)線之間有相互作用的斥力BD[由安培定則知，兩導(dǎo)線連線的垂直平分線上磁場(chǎng)方向沿垂直平分線向下，滑塊運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向平行，滑塊不受洛倫茲力，只受恒定的摩擦力作用，故A錯(cuò)誤，B正確；同向電流相互吸引，逆向電流相互排斥，故C錯(cuò)誤，D正確。][考法指導(dǎo)]1．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)分(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者性質(zhì)相同，都是磁場(chǎng)力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。2．洛倫茲力與電場(chǎng)力的比較比較洛倫茲力電場(chǎng)力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在電場(chǎng)中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE方向F⊥B且F⊥v正電荷受力與電場(chǎng)方向相同，負(fù)電荷受力與電場(chǎng)方向相反做功狀況任何狀況下都不做功可能做正功，可能做負(fù)功，也可能不做功學(xué)問點(diǎn)二|帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．洛倫茲力的特點(diǎn)洛倫茲力不變更帶電粒子速度的大小，或者說，洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功。2．粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)(1)若v0∥B，則粒子不受洛倫茲力，在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)若v0⊥B，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3．半徑和周期公式(1)洛倫茲力方向總與速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。依據(jù)牛頓其次定律，其表達(dá)式為qvB＝meq\f(v2,r)。(2)半徑公式r＝eq\f(mv,qB)，周期公式T＝eq\f(2πm,qB)。eq\o([推斷正誤])(1)粒子在只受到洛倫茲力作用時(shí)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能不變。(√)(2)運(yùn)動(dòng)電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后(無其他力作用)可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(√)(3)依據(jù)周期公式T＝eq\f(2πr,v)得出T與v成反比。(×)1．圓心的確定甲乙(1)已知入射點(diǎn)、入射方向和出射點(diǎn)、出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示)。(2)已知入射方向和入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示)。2．半徑的確定和計(jì)算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑(或圓心角)，求解時(shí)留意以下幾個(gè)特點(diǎn)：粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖)，即φ＝α＝2θ＝ωt。3．運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間可由下式表示：t＝eq\f(α,360°)T(或t＝eq\f(α,2π)T)，t＝eq\f(l,v)(l為弧長(zhǎng))。[典例](2024·全國(guó)卷Ⅱ)如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A．eq\r(3)∶2B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1D．3∶eq\r(2)C[相同的帶電粒子垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)入射均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子以v1入射，一端為入射點(diǎn)P，對(duì)應(yīng)圓心角為60°(對(duì)應(yīng)六分之一圓周)的弦PP′必為垂直該弦入射粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的直徑2r1，如圖甲所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為R，由幾何關(guān)系知r1＝eq\f(1,2)R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射點(diǎn)在PP′對(duì)應(yīng)的圓弧內(nèi)。甲乙同理可知，粒子以v2入射及出射狀況，如圖乙所示。由幾何關(guān)系知r2＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，可得r2∶r1＝eq\r(3)∶1。因?yàn)閙、q、B均相同，由公式r＝eq\f(mv,qB)可得v∝r，所以v2∶v1＝eq\r(3)∶1。故選C。]帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的三步解題法eq考法1半徑公式、周期公式的應(yīng)用1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)兩相鄰勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行。一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的帶電粒子(不計(jì)重力)，從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的()A．軌道半徑減小，角速度增大B．軌道半徑減小，角速度減小C．軌道半徑增大，角速度增大D．軌道半徑增大，角速度減小D[分析軌道半徑：帶電粒子從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的速度v大小不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度B減小，由公式r＝eq\f(mv,qB)可知，軌道半徑增大。分析角速度：由公式T＝eq\f(2πm,qB)可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期增大，依據(jù)ω＝eq\f(2π,T)知角速度減小。選項(xiàng)D正確。]2．(2015·廣東高考)在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，α粒子(eq\o\al(4,2)He)和質(zhì)子(eq\o\al(1,1)H)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若它們的動(dòng)量大小相等，則α粒子和質(zhì)子()A．運(yùn)動(dòng)半徑之比是2∶1B．運(yùn)動(dòng)周期之比是2∶1C．運(yùn)動(dòng)速度大小之比是4∶1D．受到的洛倫茲力之比是2∶1B[α粒子(eq\o\al(4,2)He)和質(zhì)子(eq\o\al(1,1)H)的質(zhì)量之比eq\f(mα,mH)＝eq\f(4,1)，動(dòng)量大小相等，即mαvα＝mHvH，運(yùn)動(dòng)速度大小之比eq\f(vα,vH)＝eq\f(mH,mα)＝eq\f(1,4)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)，得r＝eq\f(mv,qB)，所以運(yùn)動(dòng)半徑之比eq\f(rα,rH)＝eq\f(qH,qα)＝eq\f(1,2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由T＝eq\f(2πm,qB)知，運(yùn)動(dòng)周期之比eq\f(Tα,TH)＝eq\f(qH,qα)·eq\f(mα,mH)＝eq\f(1,2)×eq\f(4,1)＝eq\f(2,1)，選項(xiàng)B正確；依據(jù)f＝qvB，洛倫茲力之比eq\f(fα,fH)＝eq\f(qα,qH)·eq\f(vα,vH)＝eq\f(2,1)·eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]eq考法2帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)3．如圖所示，長(zhǎng)方形abcd長(zhǎng)ad＝0.6m，寬ab＝0.3m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無磁場(chǎng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m＝3×10－7kg、電荷量q＝＋2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×102A．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊D．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和be邊D[由r＝eq\f(mv,qB)得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r＝0.3m，從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab和be邊；從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和be邊；選項(xiàng)D正確。]4.如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以速率v從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置均位于PQ圓弧上且Q點(diǎn)為最遠(yuǎn)點(diǎn)，已知PQ圓弧長(zhǎng)等于磁場(chǎng)邊界周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，則該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為()A．eq\f(\r(2)mv,2qR)B．eq\f(mv,qR)C．eq\f(mv,2qR)D．eq\f(\r(2)mv,qR)D[從P點(diǎn)射入的粒子與磁場(chǎng)邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為Q，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是軌跡上直徑與磁場(chǎng)邊界圓的交點(diǎn)，相應(yīng)的弧長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，設(shè)磁場(chǎng)圓心為O，∠POQ＝90°，則粒子軌跡半徑r＝eq\f(\r(2),2)R，又因?yàn)閞＝eq\f(mv,qB)，所以B＝eq\f(\r(2)mv,qR)，D正確。]5．如圖所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面對(duì)外。一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為eq\f(R,2)。已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為(不計(jì)重力)()A．eq\f(qBR,2m)B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m)D．eq\f(2qBR,m)B[帶電粒子從距離ab為eq\f(R,2)處射入磁場(chǎng)，且射出時(shí)與射入時(shí)速度方向的夾角為60°，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，ce為射入速度所在直線，d為射出點(diǎn)，射出速度反向延長(zhǎng)交ce于f點(diǎn)，磁場(chǎng)區(qū)域圓心為O，帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O′，則O、f、O′在一條直線上，由幾何關(guān)系得帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，由F洛＝F向得qvB＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\f(qBR,m)，選項(xiàng)B正確。]eq考法3帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)6．如圖所示為一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面對(duì)外，MN、PQ為其兩個(gè)邊界，兩邊界間的距離為L(zhǎng)。現(xiàn)有兩個(gè)帶負(fù)電的粒子同時(shí)從A點(diǎn)以相同速度沿與PQ成30°的方向垂直射入磁場(chǎng)，結(jié)果兩粒子又同時(shí)離開磁場(chǎng)。已知兩帶負(fù)電的粒子質(zhì)量分別為2m和5m，電荷量大小均為A．eq\f(\r(3)BqL,6m)B．eq\f(\r(3)BqL,15m)C．eq\f(BqL,2m)D．eq\f(BqL,5m)B[由于兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則兩粒子肯定是分別從MN邊和PQ邊離開磁場(chǎng)的，如圖所示，由幾何學(xué)問可得質(zhì)量為2m的粒子對(duì)應(yīng)的圓心角為300°，由t＝eq\f(θ,2π)T得質(zhì)量為5m的粒子對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，由圖可知△OCD為等邊三角形，可求得質(zhì)量為5m的粒子對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝eq\f(\r(3),3)L，由Bqv＝eq\f(5mv2,R)得v＝eq\f(\r(3)BqL,15m)，B正確。]7.(多選)如圖所示，在正方形abcd內(nèi)充溢方向垂直于紙面對(duì)里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。a處有比荷相等的甲、乙兩種粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁場(chǎng)，經(jīng)時(shí)間t1從d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，乙粒子沿與ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁場(chǎng)，經(jīng)時(shí)間t2垂直于cd射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力，則下列說法中正確的是()A．v1∶v2＝1∶2 B．v1∶v2＝eq\r(3)∶4C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1BD[甲、乙兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行周期為T＝eq\f(2πm,Bq)，因?yàn)榧住⒁覂煞N粒子的比荷相等，故T甲＝T乙。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則由圖知甲粒子運(yùn)行半徑為r1＝eq\f(L,2)，運(yùn)行時(shí)間為t1＝eq\f(T甲,2)，乙粒子運(yùn)行半徑為r2＝eq\f(L,cos30°)，運(yùn)行時(shí)間為t2＝eq\f(T乙,6)，而r＝eq\f(mv,Bq)，所以v1∶v2＝r1∶r2＝eq\r(3)∶4，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；t1∶t2＝3∶1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。]8．如圖所示，△ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，比荷為eq\f(e,m)的電子以速度v0從A點(diǎn)沿AB邊射入，欲使電子經(jīng)過BC邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值為()A．B>eq\f(2mv0,ae) B．B<eq\f(2mv0,ae)C．B>eq\f(\r(3)mv0,ae) D．B<eq\f(\r(3)mv0,ae)D[由題意，如圖所示，電子正好經(jīng)過C點(diǎn)，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝eq\f(\f(a,2),cos30°)＝eq\f(a,\r(3))，要想電子從BC邊經(jīng)過，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑要大于eq\f(a,\r(3))，由帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的公式r＝eq\f(mv,qB)，可得eq\f(a,\r(3))<eq\f(mv0,eB)，即B<eq\f(\r(3)mv0,ae)，D正確。]9．(2024·四川高考)如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb，當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc，不計(jì)粒子重力。則()A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2A[如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為l，當(dāng)帶電粒子的速度為vb時(shí)，其圓心在a點(diǎn)，軌道半徑r1＝l，轉(zhuǎn)過的圓心角θ1＝eq\f(2,3)π，當(dāng)帶電粒子的速率為vc時(shí)，其圓心在O點(diǎn)(即fa、cb延長(zhǎng)線的交點(diǎn))，故軌道半徑r2＝2l，轉(zhuǎn)過的圓心角θ2＝eq\f(π,3)，依據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\f(qBr,m)，故eq\f(vb,vc)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,2)。由于T＝eq\f(2πr,v)得T＝eq\f(2πm,qB)，所以兩粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，又t＝eq\f(θ,2π)T，所以eq\f(tb,tc)＝eq\f(θ1,θ2)＝eq\f(2,1)。故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。][考法指導(dǎo)]帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的常見情形直線邊界(粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性)平行邊界(粒子運(yùn)動(dòng)存在臨界條件)圓形邊界(粒子沿徑向射入，再沿徑向射出)學(xué)問點(diǎn)三|帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值、多解問題eq考法1臨界、極值問題1.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面對(duì)外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)，粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力。粒子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為()A．eq\f(mv,2qB)B．eq\f(\r(3)mv,qB)C．eq\f(2mv,qB)D．eq\f(4mv,qB)D[如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R＝eq\f(mv,qB)。設(shè)入射點(diǎn)為A，出射點(diǎn)為B，圓弧與ON的交點(diǎn)為P。由粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性及粒子的入射方向知，AB＝R。由幾何圖形知，AP＝eq\r(3)R，則AO＝eq\r(3)AP＝3R，所以O(shè)B＝4R＝eq\f(4mv,qB)。故選項(xiàng)D正確。]2．(2024·商丘模擬)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，O點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子(不計(jì)重力)從O點(diǎn)以初速度v0沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過y軸上P點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸正方向夾角為θ＝30°，OP＝L，求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；(2)該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。解析：(1)由左手定則知磁場(chǎng)方向垂直xOy平面對(duì)里。粒子在磁場(chǎng)中做弧長(zhǎng)為eq\f(1,3)圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，粒子在Q點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。設(shè)其圓心為O′，半徑為R。由幾何關(guān)系有(L－R)sin30°＝R，所以R＝eq\f(L,3)。由牛頓其次定律有qv0B＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，故R＝eq\f(mv0,qB)由以上各式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(3mv0,qL)。(2)設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為S。由幾何關(guān)系得直徑eq\x\to(OQ)＝eq\r(3)R＝eq\f(\r(3),3)L所以S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\x\to(OQ),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(π,12)L2。答案：(1)eq\f(3mv0,qL)方向垂直于xOy平面對(duì)里(2)eq\f(π,12)L2[考法指導(dǎo)]解決臨界極值問題方法技巧(1)數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利用“三角函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。(2)一個(gè)“解題流程”，突破臨界問題(3)從關(guān)鍵詞找突破口：很多臨界問題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對(duì)臨界狀態(tài)給以示意，審題時(shí)，肯定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件。eq考法2“動(dòng)態(tài)圓”與“放縮圓”3.如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。有多數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以相同的速率通過P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段圓弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1,3)。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒teq\f(B2,B1)等于()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3B[當(dāng)軌道半徑小于或等于磁場(chǎng)區(qū)域半徑時(shí)，粒子射出圓形磁場(chǎng)的點(diǎn)離入射點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為軌跡直徑。如圖所示，當(dāng)粒子從eq\f(1,3)圓周射出磁場(chǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道直徑為PQ，粒子都從圓弧PQ之間射出，因此軌道半徑r1＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R；若粒子射出的圓弧對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)為“原來”的一半，即eq\f(1,6)周長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為R，即粒子運(yùn)動(dòng)軌跡直徑等于磁場(chǎng)區(qū)域半徑R，半徑r2＝eq\f(R,2)，由r＝eq\f(mv,qB)可得eq\f(B2,B1)＝eq\f(r1,r2)＝eq\r(3)。]4．如圖所示，S為粒子源，該粒子源能在圖示紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)向各個(gè)方向放射速率相等的質(zhì)量為m、帶負(fù)電荷量為e的粒子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS＝L，擋板左側(cè)充溢垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。(1)若粒子的放射速率為v0，要使粒子肯定能經(jīng)過點(diǎn)O，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件；(2)若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，要使S放射出的粒子能到達(dá)擋板，則粒子的放射速率為多大？(3)若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，從S放射出的粒子的速率為eq\f(2eB0L,m)，則擋板上出現(xiàn)粒子的范圍為多大？解析：粒子從點(diǎn)S發(fā)出后受到洛倫茲力作用而在紙面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若使磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變更，粒子的軌跡構(gòu)成過S點(diǎn)的一組動(dòng)態(tài)圓，不同半徑的圓對(duì)應(yīng)不同大小的磁感應(yīng)強(qiáng)度，如圖所示。(1)要使粒子肯定能經(jīng)過點(diǎn)O，即SO為圓周的一條弦，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿意R≥eq\f(L,2)，即eq\f(mv0,eB)≥eq\f(L,2)解得B≤eq\f(2mv0,eL)。(2)要使粒子從S發(fā)出后能到達(dá)擋板，則粒子至少能到達(dá)擋板上的O點(diǎn)，故粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′≥eq\f(L,2)，即eq\f(mv′0,eB0)≥eq\f(L,2)解得v′0≥eq\f(eB0L,2m)。(3)當(dāng)從S發(fā)出的粒子的速率為eq\f(2eB0L,m)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R″＝eq\f(mv,eB0)＝2L，如圖所示，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相切時(shí)的交點(diǎn)P1，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割時(shí)的交點(diǎn)P2，且SP2是軌跡圓的直徑，粒子擊中擋板的范圍在P1、P2間。對(duì)SP1弧分析，由圖知OP1＝eq\r(2L2－L2)＝eq\r(3)L對(duì)SP2弧分析，由圖知OP2＝eq\r(4L2－L2)＝eq\r(15)L故粒子出現(xiàn)的范圍為(eq\r(3)＋eq\r(15))L。答案：(1)B≤eq\f(2mv0,eL)(2)v′0≥eq\f(eB0L,2m)(3)(eq\r(3)＋eq\r(15))L[考法指導(dǎo)]帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心位置變更的問題稱為動(dòng)態(tài)圓問題。常用的有兩種模型：(1)確定的入射點(diǎn)O和速度大小v，不確定速度方向在垂直于紙面的無限大的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在O點(diǎn)有一粒子源在紙面內(nèi)，朝各個(gè)方向放射速度大小為v，質(zhì)量為m，電荷量為＋q的帶電粒子(重力不計(jì))，這些帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做同方向旋轉(zhuǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其特點(diǎn)是：①各動(dòng)態(tài)圓圓心O1、O2、O3、O4、O5(取五個(gè)圓)的軌跡分布在以粒子源O為圓心，R＝eq\f(mv,qB)為半徑的一個(gè)圓周上(如圖虛線所示)。②帶電粒子在磁場(chǎng)中能經(jīng)過的區(qū)域是以粒子源O為圓心，2R為半徑的大圓(如圖實(shí)線所示)。③各動(dòng)態(tài)圓相交于O點(diǎn)。這種方法稱為“平移圓法”。(2)確定入射點(diǎn)O和速度方向，不確定速度大小在垂直