高中二模數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{3,4\}\)2.函數\(y=\log_2(x-1)\)的定義域為（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=(\)\)A.\(1\)B.\(-1\)C.\(3\)D.\(-3\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定7.函數\(y=2\sinx\cosx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)8.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\ltb^2\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\lga\lt\lgb\)9.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)10.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.一個正方體的棱長為\(a\)，則下列說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}a\)D.正方體的體對角線長為\(\sqrt{3}a\)3.已知數列\(\{a_n\}\)是等比數列，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)4.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式5.對于\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.在\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上單調遞增D.圖象可由\(y=\sin2x\)向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位得到6.已知\(a\)，\(b\)為實數，則下列不等式恒成立的有（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geqslant0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a,b\geqslant0\)）D.\(a^2+b^2+1\geqslantab+a+b\)7.下列曲線中，離心率為\(\sqrt{2}\)的有（）A.\(x^2-y^2=1\)B.\(y^2-x^2=1\)C.\(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1\)D.\(x^2+y^2=1\)8.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，且\(f(x+2)=-f(x)\)，則（）A.\(f(x)\)的周期是\(4\)B.\(f(0)=0\)C.\(f(1)=-f(-1)\)D.\(f(x+4)=f(x)\)9.若函數\(f(x)=x^3-3x+1\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個極值點B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調遞增C.\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞減D.\(f(x)\)的極大值為\(3\)，極小值為\(-1\)10.已知向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec=(1,n)\)，則下列說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(mn=1\)B.若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m+n=0\)C.\(|\vec{a}+\vec|=\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}\)D.\(\vec{a}\cdot\vec=m+n\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）3.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域上是單調遞減函數。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的長軸長為\(2a\)。（）7.若數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）8.復數\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的模\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。（）9.兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）10.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f(x)=f(-x)\)且\(f^\prime(x)=-f^\prime(-x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，求\(a_n\)的通項公式。-答案：因為\(a_3=a_1+2d\)，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，所以\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。2.求函數\(y=x^2-2x+3\)在區間\([0,3]\)上的最值。-答案：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對稱軸為\(x=1\)。當\(x=1\)時，\(y_{min}=2\)；當\(x=3\)時，\(y_{max}=3^2-2\times3+3=6\)。3.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值。-答案：因為\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{3}{5}\)。則\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{3}{5})\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}\)。4.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。-答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的定義域、值域、單調性。-答案：定義域為\(x^2-1\neq0\)，即\(x\neq\pm1\)。令\(t=x^2-1\geqslant-1\)且\(t\neq0\)，則\(y=\frac{1}{t}\)，值域為\((-\infty,-1]\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,-1)\)和\((-1,0)\)上單調遞增，在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調遞減。2.已知橢圓\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），\(F_1,F_2\)為其左右焦點，討論\(P\)在橢圓上運動時，\(\trianglePF_1F_2\)的周長和面積的變化情況。-答案：\(\trianglePF_1F_2\)周長\(L=2a+2c\)（\(a\)為長半軸長，\(c\)為半焦距），是定值。設\(P(x_0,y_0)\)，面積\(S=\frac{1}{2}\times2c\times|y_0|\)，當\(|y_0|\)最大即\(y_0=\pmb\)時，面積最大為\(bc\)，\(P\)在短軸端點時面積取最值。3.討論數列極限存在的條件，并舉例說明。-答案：數列\(\{a_n\}\)極限存在的條件：單調有界準則，即單調遞增有上界或單調遞減有下界的數列必有極限；柯西準則等。例如數列\