計算方法a考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數值計算中，有效數字位數越多，其（）A.絕對誤差越大B.相對誤差越小C.絕對誤差越小D.相對誤差越大2.迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的（）A.范數小于1B.特征值小于1C.譜半徑小于1D.行列式小于13.已知函數值f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5，則二次拉格朗日插值多項式在x=1.5處的值為（）A.3B.3.5C.4D.4.54.用二分法求方程f(x)=0在區間[a,b]內的根，要求誤差不超過ε，則所需的迭代次數n滿足（）A.$n\geq\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}$B.$n\geq\frac{\ln\varepsilon-\ln(b-a)}{\ln2}$C.$n\geq\frac{\ln(b-a)+\ln\varepsilon}{\ln2}$D.$n\geq\frac{\ln\varepsilon}{\ln2}$5.高斯消去法解線性方程組的基本思想是（）A.消元B.迭代C.分解D.求逆6.下列關于牛頓插值法的說法，錯誤的是（）A.計算量比拉格朗日插值小B.節點增加時，只需增加部分計算量C.具有承襲性D.系數與節點選取順序有關7.數值積分公式$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$的代數精度是（）A.1B.2C.3D.48.解線性方程組Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩陣是（）A.$I-D^{-1}A$B.$D^{-1}(L+U)$C.$D^{-1}A$D.$I-D^{-1}(L+U)$9.已知函數y=f(x)在區間[x0,x1]上的平均變化率為2，則f(x)在該區間上的差商為（）A.1B.2C.3D.410.用辛普森公式計算積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的近似值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{4}$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于數值計算誤差來源的有（）A.模型誤差B.觀測誤差C.截斷誤差D.舍入誤差2.下列關于線性方程組迭代法的說法，正確的有（）A.雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都可能收斂或發散B.高斯-賽德爾迭代法比雅可比迭代法收斂速度快C.迭代法適用于系數矩陣為大型稀疏矩陣的情況D.迭代法的收斂性與初始向量的選取無關3.拉格朗日插值多項式的優點有（）A.形式簡單B.易于計算C.節點增加時計算量變化小D.具有唯一性4.數值積分方法有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.高斯積分法D.牛頓-柯特斯公式5.求解非線性方程f(x)=0的方法有（）A.二分法B.牛頓迭代法C.弦截法D.迭代法6.下列關于矩陣范數的性質，正確的有（）A.$\|A\|\geq0$，且$\|A\|=0$當且僅當$A=0$B.$\|\alphaA\|=|\alpha|\|A\|$，其中$\alpha$為常數C.$\|A+B\|\leq\|A\|+\|B\|$D.$\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$7.以下關于牛頓插值法與拉格朗日插值法的比較，正確的是（）A.牛頓插值計算量相對較小B.拉格朗日插值節點增加時需重新計算所有基函數C.牛頓插值的系數具有承襲性D.兩種插值法得到的插值多項式是相同的8.解線性方程組的直接法有（）A.高斯消去法B.列主元高斯消去法C.三角分解法D.雅可比迭代法9.提高數值計算穩定性的措施有（）A.避免相近數相減B.防止大數“吃掉”小數C.簡化計算步驟，減少運算次數D.選用數值穩定的算法10.下列關于插值法的說法，正確的有（）A.插值多項式的次數不超過節點個數減1B.插值函數在節點處的值與被插值函數的值相等C.插值法可用于數據擬合D.高次插值可能出現龍格現象三、判斷題（每題2分，共10題）1.數值計算中，絕對誤差限與相對誤差限都與精確值有關。（）2.雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都可以求解任何線性方程組。（）3.拉格朗日插值多項式的次數越高，插值效果一定越好。（）4.用二分法求方程根時，區間長度一定是單調遞減的。（）5.數值積分公式的代數精度越高，計算結果越精確。（）6.牛頓迭代法收斂速度比弦截法快。（）7.矩陣的譜半徑小于其任何一種范數。（）8.高斯消去法消元過程中主元不能為0。（）9.用辛普森公式計算積分的精度一定比梯形公式高。（）10.迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的某種范數小于1。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述數值計算中誤差的分類及來源誤差分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差。模型誤差源于對實際問題簡化建立模型；觀測誤差由測量工具和方法產生；截斷誤差是近似代替精確算法導致；舍入誤差因計算機表示數字位數有限產生。2.簡述高斯消去法解線性方程組的基本步驟首先將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為上三角矩陣，此為消元過程；然后從最后一個方程開始，逐步回代求解出各個未知量的值，此為回代過程。3.簡述拉格朗日插值多項式的構造思路根據給定的節點和對應的函數值，構造一組基函數，每個基函數在一個節點處取值為1，在其他節點處取值為0。拉格朗日插值多項式就是這些基函數與對應函數值乘積的和。4.簡述迭代法收斂的判定條件迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑小于1。實際應用中，若迭代矩陣的某種范數小于1，則迭代法收斂。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在數值計算中，如何選擇合適的算法來提高計算效率和精度要綜合多方面因素選擇算法。如計算積分，簡單函數可選梯形或辛普森公式，復雜函數考慮高斯積分法。解線性方程組，系數矩陣為低階稠密矩陣可用直接法，大型稀疏矩陣優先考慮迭代法。同時要避免相近數相減等不穩定操作，根據問題特點和精度要求選算法。2.討論高次插值出現龍格現象的原因及解決方法龍格現象原因是高次插值多項式在端點附近擺動劇烈。解決方法有采用分段低次插值，如分段線性插值、分段三次埃爾米特插值等；或者使用樣條插值，它在各段光滑且整體逼近效果好，能有效避免龍格現象。3.討論數值積分中不同方法的優缺點及適用場景梯形公式簡單易算，但精度低，適用于對精度要求不高的情況。辛普森公式精度較高，計算量適中，常用于一般精度需求。高斯積分法精度高，適用于對精度要求嚴格、被積函數復雜的情況。牛頓-柯特斯公式有一定精度，但高次時穩定性差，低次時較常用。4.討論直接法和迭代法在解線性方程組中的應用范圍和局限性直接法如高斯消去法等，適用于系數矩陣為低階稠密矩陣的方程組，能在有限步內得到精確解，但計算量和存儲量較大。迭代法適用于大型稀疏矩陣，計算量小、存儲需求低，但可能收斂慢甚至不收斂，且受初始值選取影響。答案一、單項選擇題1.B2.C3.B4.A5.A6.D7.A8.D9.