“問題解決"和小學(xué)數(shù)學(xué)課程

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一、背景和意義

19世紀(jì)末，20世紀(jì)初，一些心理學(xué)家首先對問題解決進(jìn)行了研究，并對

“問題解決〃作了諸多的闡釋。在國際數(shù)學(xué)教育界，從美國的波利亞首先

對怎樣解題作了詳盡的探討開始，逐漸對這個問題展開了研究。尤其是在

美國，從60年代“新數(shù)運動〃過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，無視數(shù)學(xué)與實

際的聯(lián)系，脫離教學(xué)實際，到70年代“回到基幢走向另一個極端，片面

強(qiáng)調(diào)掌握低標(biāo)準(zhǔn)的根底知識，數(shù)學(xué)教學(xué)水平普遍下降.在對于數(shù)學(xué)教育開

展方向作了長期探索以后，“問題解決〃和“群眾數(shù)學(xué)

(mathematicsforal)已經(jīng)成為美國數(shù)學(xué)教育的響亮口號，并產(chǎn)生國際

影響。

什么是問題解決，由于觀察的角度不同，至今仍然沒有完全統(tǒng)一的認(rèn)

識。

有的認(rèn)為，問題解決指的是人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情

景、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現(xiàn)成對策時，所引

起的尋求處理問題方法的一種心理活動。有的把學(xué)習(xí)分成八種類型：信號

學(xué)習(xí)、……概念學(xué)習(xí)、法那么學(xué)習(xí)和問題解決。問題解決是其中最高級和

復(fù)雜的一種類型，意味著以獨特的方式選擇多組法那么，并且把它們綜

合起來運用，它將導(dǎo)致建立起學(xué)習(xí)者先前不知道的更高級的一組法那么。

英國學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會報告?數(shù)學(xué)算數(shù)?那么認(rèn)為：把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各

種情形的能力就是“問題解決〃。全美數(shù)學(xué)教師理事會？行動的議程？對問

題解決的意義作了如下說明：第一，問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實世

界，包括為現(xiàn)時和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實際效勞，也包括解決拓廣數(shù)

學(xué)科學(xué)本身前沿的問題；第二，問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的活

動；第三，問題解決能力的開展，其根底是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是

進(jìn)行試驗和猜測的意向；等等。

從上述對問題解決意義的闡述中，我們可以看到一些共性和相通之處。

從數(shù)學(xué)教育的角度來看，問題解決中所指的問題來自兩個方面：現(xiàn)實社會

生活和生產(chǎn)實際，數(shù)學(xué)學(xué)科本身。問題的一個重要特征是其對于解決問題

者的新穎性，使得問題解決者沒有現(xiàn)成的對策，因而需要進(jìn)行創(chuàng)造性的

工作C要順利地進(jìn)行問題解決，其前提是已經(jīng)了解、掌握所需要的根底知

識、根本技能和能力，在問題解決中要綜合地運用這些根底知識、根本技

能和能力。在問題解決中，問題解決者的態(tài)度是積極的。此外，在學(xué)校數(shù)

學(xué)教學(xué)中，所謂創(chuàng)造性地解決問題，有別于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作，主要

指學(xué)習(xí)中的再創(chuàng)造。因而，筆者認(rèn)為，從數(shù)學(xué)教育的角度看，問題解決的

意義是：以積極探索的態(tài)度，綜合運用已具有的數(shù)學(xué)根底知識、根本技能

和能力，創(chuàng)造性地解決來自數(shù)學(xué)課或?qū)嶋H生活和生產(chǎn)實際中的新問題的

學(xué)習(xí)活動。

簡言之，就數(shù)學(xué)教育而言，問題解決就是創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)以解決問題

的學(xué)習(xí)活動。

問題解決中，問題本身常具有非常規(guī)性、開放性和應(yīng)用性，問題解決過

程具有探索性和創(chuàng)造性，有時需要合作完成。

二、“問題解決〃的重要性

問題解決已引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視，把它和數(shù)學(xué)課程緊密聯(lián)

系起來，已是國際數(shù)學(xué)教育的一個趨勢。究其原因，筆者認(rèn)為主要有以下

幾方面：

（一）時代呼喚創(chuàng)新

在國際競爭日益劇烈的當(dāng)今世界，各國政府乃至普通老百姓都越來越清

楚認(rèn)識到，國家的富強(qiáng)，乃至企業(yè)的興衰，無不取決于對科學(xué)技術(shù)知識

的學(xué)習(xí)、掌握及其創(chuàng)造性的開拓和應(yīng)用。但創(chuàng)造能力并非與生俱有，必須

通過有意識的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練才能形成。學(xué)校教育必須重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)

知識進(jìn)行創(chuàng)造性工作的能力。問題解決正反映了這種社會需要。

（二）我國數(shù)學(xué)教育的成功和缺乏

我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與國際11其它一些國家的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)比擬，具有

重視根底知識教學(xué)，根本技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)計算、推理和空間想象能力的培

養(yǎng)等顯著特點，因而我國小學(xué)生的數(shù)學(xué)根本功比擬扎實，學(xué)生的整體數(shù)

學(xué)水平較高。然而，改革開放也使我國數(shù)學(xué)教育界看到了我國小學(xué)數(shù)學(xué)教

學(xué)的一些缺乏。其中比擬突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強(qiáng)，

創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的

數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實際背景了解不多；學(xué)

生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，而當(dāng)面臨一種新的問

題時卻方法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜測

等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。面對這種情況，我國數(shù)

學(xué)教育界采取了一些相應(yīng)措施。例如，北京、上海等地分別開展了小學(xué)生

數(shù)學(xué)應(yīng)用競賽，在近年高校招生數(shù)學(xué)考試中，也加強(qiáng)了對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)

意識和創(chuàng)造性思維方法與能力的考查等。雖然這些措施收到了一定的成

效，然而要從根本上改變現(xiàn)狀，還應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)計上有所突破。一

些學(xué)者認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中表達(dá)問題解決的思想，是解決上述問題

的有效途徑。

［三）數(shù)學(xué)觀的開展

數(shù)學(xué)開展至今，人們對數(shù)學(xué)的總的看法由相對靜態(tài)的觀點轉(zhuǎn)向靜態(tài)和動

態(tài)相結(jié)合的觀點。對于數(shù)學(xué)是什么，經(jīng)典的是恩格斯的定義：數(shù)學(xué)是研究

現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。恩格斯對數(shù)學(xué)的觀點是相對靜止

的，它主要指出了數(shù)學(xué)的客觀真理性，然而，當(dāng)今的社會實踐告訴人們

還應(yīng)該用動態(tài)的觀點去認(rèn)識數(shù)學(xué)，即從數(shù)學(xué)與人類實踐的關(guān)系去認(rèn)識數(shù)

學(xué)。就數(shù)學(xué)教育而言，學(xué)生之所以要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了數(shù)學(xué)的客觀真理性，

更在于數(shù)學(xué)是改造客觀世界的重要工具C學(xué)數(shù)學(xué)，首先是為了應(yīng)用C應(yīng)用

數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點和歸宿。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是教給學(xué)生在

實際生活和生產(chǎn)實踐中最有用的數(shù)學(xué)根底知識，并在教學(xué)過程中有意識

地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用這些知識分析和解決實際問題的能力。

（四）問題解決過程和方法的一般性

在解決來自實際和數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)學(xué)問題中，問題解決的過程和方法是根

本相同的。不僅如此，這種過程和方法與解決一般的、其它學(xué)科中問題的

過程和方法有很多共同之處。在數(shù)學(xué)問題解決小學(xué)習(xí)的過程和方法可以遷

移到其它學(xué)科的問題解決過程中。此外，相對于其它學(xué)科的問題來學(xué)，解

決數(shù)學(xué)問題所需要的工具和材料要少得多，有時只需要一支筆，一張紙。

因而通過數(shù)學(xué)問題解決，可以較快地教給學(xué)生一般的問題解決的過程和

思想方法，具有較高的效率。

三、“問題解決〃和小學(xué)數(shù)學(xué)課程

問題解決在各國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的引入方式各不相同，英國SMP數(shù)

學(xué)課程專門設(shè)置了一種問題解決課，我國人民教育出版社出版的義務(wù)教

育初中數(shù)學(xué)課程中設(shè)立了實習(xí)作業(yè)、應(yīng)用題、想一想、做一做等，在高中

數(shù)學(xué)試驗課本中也增加了研究題等，這些和問題解決思想是一致的。筆者

認(rèn)為，從目前中國的實際情況出發(fā)，重要的是在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中去表達(dá)

問題解決的思想精髓，這就是它所強(qiáng)調(diào)的創(chuàng)造能力和應(yīng)用意識。就是說，

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點：

（一）鼓勵學(xué)生去探索、猜測、發(fā)現(xiàn)

要塞養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，首先是要讓學(xué)生具有積極探索的態(tài)度，猜測、

發(fā)現(xiàn)的欲望。教材要設(shè)法鼓勵學(xué)生去探索、猜測和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的問題

意識，經(jīng)常地啟發(fā)學(xué)生去思考，提出問題C

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程本身就是一個問題解決的過程。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一門嶄新的

課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時，對學(xué)生來說，就是面

臨一個新問題。例如，高中數(shù)學(xué)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了初中代數(shù)、幾何課以后

開設(shè)的，學(xué)生對數(shù)學(xué)已經(jīng)有比擬豐富的感性認(rèn)識，教科書中是否可以提

出，或者說應(yīng)該教學(xué)生提出以下的一些問題：高中數(shù)學(xué)課是怎樣的一門

課？高中數(shù)學(xué)課和小學(xué)數(shù)學(xué)、初中代數(shù)、初中幾何課有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)是

怎樣的一門科學(xué)？這門科學(xué)是怎樣產(chǎn)生和開展起來的？高中數(shù)學(xué)將要學(xué)

習(xí)哪些知識？這些知識在實際中有什么用？這些知識和以后將要學(xué)習(xí)的

數(shù)學(xué)知識、高中其它學(xué)科知識有些什么關(guān)系，有怎樣的地位作用？要學(xué)好

高中數(shù)學(xué)應(yīng)注意些什么問題？當(dāng)然，對這些問題，即使是學(xué)完整個高中

數(shù)學(xué)課程以后，也不一定能完全答復(fù)好，但在學(xué)這門課之前還是要引導(dǎo)

學(xué)生去思考這些問題，這也正是教科書編者所要考慮并應(yīng)該盡可能在教

科書中答復(fù)的。筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)課中可以安排一個引言謖。同樣，

在每一章，乃至每一單元都應(yīng)該考慮類似的問題。在這一點，初中？幾何?

的引言值得參考。在教科書中經(jīng)常提一些啟發(fā)性的問題，就會讓學(xué)生逐步

養(yǎng)成求知、好問的習(xí)慣和獨立思考、勇于探索的精神。

無論是教科書的編寫還是實際教學(xué)，在講到探索、猜測、發(fā)現(xiàn)方面的問

題時要側(cè)重于“教〃：有時候可以直接教給學(xué)生完整的猜測過程，有時候

那么要較多地啟發(fā)、誘導(dǎo)、點撥學(xué)生。不要在任何時候都讓學(xué)生親自去猜

測、發(fā)現(xiàn)，那樣要花費太多的教學(xué)時間，降低教學(xué)效率。此外，在探索、

猜測、發(fā)現(xiàn)的方向上，要把好舵，不要讓學(xué)生在任意方向上去費力。

（二）打好根底

這里的根底有兩重含義：首先，小學(xué)教育是根底教育，許多知識將在學(xué)

生進(jìn)一步學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，有為學(xué)生進(jìn)一步深造打根底的任務(wù)，因而不

能要求所學(xué)的知識立即在實際中都能得到應(yīng)用。其次，要解決任何一個問

題，必須有相關(guān)的知識和根本的技能。當(dāng)人們面臨新情景、新問題，試圖

去解決它時，必須把它與自己已有知識聯(lián)系起來，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已有知識缺乏

以解決面臨的新問題時，就必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)的知識，訓(xùn)練相關(guān)的技

能。應(yīng)看到，知識和技能是培養(yǎng)問題解決能力的必要條件。在提倡問題解

決的時候，不能削弱而要更加重視數(shù)學(xué)根底知識的教學(xué)和根本技能的訓(xùn)

練。

教給學(xué)生哪些最重要的數(shù)學(xué)根底知識和根本技能，是問題的關(guān)系。目

前，？全日制普通高級小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱〔供試驗用）？中關(guān)于課程內(nèi)容確

實定，已為更好地培養(yǎng)我國高小學(xué)生運用數(shù)學(xué)分析和解決實際問題的能

力提供了良好的條件。我們要繼承高中數(shù)學(xué)教材編寫中重視數(shù)學(xué)根底知識

和根本技能的優(yōu)良傳統(tǒng)和豐富經(jīng)驗，編出一套高質(zhì)量的高中數(shù)學(xué)教材，

以下僅對數(shù)學(xué)概念的處理談點看法。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)研究對象的高度抽象和概括，它反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)

屬性，是最重要的數(shù)學(xué)知識之一。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成局部，

正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基矗概念教學(xué)的根本要求是對概念闡述的科

學(xué)性和學(xué)生對概念的可接受性。目前，對小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，有兩種不同

的觀點：一種觀點是要“淡化概念，注重實質(zhì)〃，另一種觀點是要保持概

念闡述的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。高中數(shù)學(xué)課程的建設(shè)也面臨著同樣的問題。筆

者認(rèn)為，對這一問題的處理應(yīng)該“輕其所輕，重其所重〃，不能一概而

論。提出“淡化概念，注重實質(zhì)〃是有針對性的，它指出了教材和教學(xué)中

的一些弊端c一些次要和學(xué)生一時難以深刻理解但又必須引入的概念，在

教學(xué)中必須對其定義作淡化（或者說淺化）的處理，有的可以用白體字印

刷，來說明概念被淡化。但一些重要概念的定義還是應(yīng)以比擬嚴(yán)格的形式

給出為妥，否那么，雖然老師容易判定這些概念的定義是被淡化的，但

是學(xué)生容易對概念產(chǎn)生誤解和歧義，關(guān)鍵在于教師在教學(xué)中把握好度，

突出教學(xué)的重點。還有一些概念，在數(shù)學(xué)學(xué)科體系中有重要的地位和作

用，對這類概念，不但不能作淡化處理，反之，還要花大力處理好，讓

學(xué)生對概念能較好地理解和掌握。例如，初中幾何的點概念、高中數(shù)學(xué)的

集合等概念，是人們從現(xiàn)實世界廣泛對象中抽象而得，在教材處理中要

讓學(xué)生認(rèn)識到概念所涉及的對象的廣泛性，從而認(rèn)識到概念應(yīng)用的廣泛

性，另外學(xué)生也在這里學(xué)到了數(shù)學(xué)的抽象方法。對于數(shù)學(xué)概念，應(yīng)該注意

到不同數(shù)學(xué)概念的重要性具有層次性?？傊?，對于數(shù)學(xué)概念的處理，要取

慎重的態(tài)度，繼承和改革都不能偏廢。

（三）重視應(yīng)用意識的培養(yǎng)

用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點和歸宿。教科書必須重視從實際問題出發(fā)，引

入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題?？梢钥紤]把與現(xiàn)實生活密

切相關(guān)的銀行事務(wù)、利率、投資、稅務(wù)中的常識寫進(jìn)課本。

當(dāng)然，并不是所有的數(shù)學(xué)課題都要從實際引入，數(shù)學(xué)體系有其內(nèi)在的邏

輯結(jié)構(gòu)和規(guī)律，許多數(shù)學(xué)概念是從前面的概念中通過演繹而得，又返回

到數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。

此外，理論聯(lián)系實際的目的是為了使學(xué)生更好地掌握根底知識，能初步

運用數(shù)學(xué)解決一些簡單的實際問題，不宜于把實際問題搞得過于繁復(fù)費

解，以致于消耗學(xué)生珍貴的學(xué)習(xí)時間。

（四）教一般過程和方法

在一些典型的數(shù)學(xué)問題教學(xué)中，教給學(xué)生比擬完整的解決實際問題的過

程和常用方法，以提高學(xué)生解決實際問題的能力。

由于實際問題常常是錯綜復(fù)雜的，解決問題的手段和方法也多種多樣，

不可能也不必要尋找一種固定不變的，非常精細(xì)的模式。筆者認(rèn)為，問題

解決的根本過程是：1.首先對與問題有關(guān)的實際情況作盡可能全面深入

的調(diào)查，從中去粗取精，去偽存真，對問題有一個比擬準(zhǔn)確、清楚的認(rèn)

識；2.擬定解決問題的方案，方案往往是粗線條的；3.實施方案，在

實施方案的過程中要對方案作適時的調(diào)整和補(bǔ)充；4.回憶和總結(jié)，對自

己的工作進(jìn)行及時的評僑。

問題解決的常用方法有：1.畫圖，引入符號，列表分析數(shù)據(jù)；2.分類，

分析特殊情況，一般化；3,轉(zhuǎn)化；4.類比，聯(lián)想；5.建模；6.討論，分頭

工作；7.證明，舉反例；8.簡化以尋找規(guī)律（結(jié)論和方法）；9.估計和猜

測；10,尋找不同的解法；11.檢驗；12.推廣。

（五）創(chuàng)設(shè)問題情景

1.一個好問題或者說一個精彩的問題