專題18圓錐曲線綜合

2024年真題研析

一、解答題

1.（2024新高考I卷J6）己知40,3）和尸為橢圓C：[+]■=l（a>b>0）上兩點.

（1）求C的離心率；

（2）若過尸的直線/交C于另一點B,且ABP的面積為9,求/的方程.

2.（2024新高考H卷J9）已知雙曲線。：％2-丁=加（加>0）,點田5,4）在C上，k為常

數(shù)，0〈左<1.按照如下方式依次構(gòu)造點￡伍=2,3,…），過匕-作斜率為左的直線與C的左

支交于點。I，令A(yù)為。a關(guān)于y軸的對稱點，記4的坐標(biāo)為（乙,%）.

⑴若"=；,求無2，%；

⑵證明：數(shù)列｛玉-％｝是公比為老的等比數(shù)列；

1-K

⑶設(shè)s“為AE￡+￡+2的面積，證明：對任意的正整數(shù)〃，sn=s,t+l.

一、解答題

22

1.（2022新高考I卷21）已知點A（2,l）在雙曲線C:'--J=l（a>l）上，直線/交C于

u,a—1

P,Q兩點，直線的斜率之和為0.

⑴求/的斜率;

⑵若tanNPAQ=2VI,求的面積.

2.（2023新高考I卷22）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點的

距離，記動點P的軌跡為W.

⑴求W的方程；

（2）已知矩形MCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3相.

3.(2022新高考H卷21)已知雙曲線己三-《=1(°>。,“。)的右焦點為22,0),漸近線方

程為y=±.

⑴求C的方程；

(2)過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,3兩點，點尸(%,％),。(電，乃)在C上，且

再>3>0,x>0.過尸且斜率為一石的直線與過Q且斜率為6的直線交于點從下面①

②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①〃在上；@PQ//AB.③|M4|=|Affi|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

4.(2023新高考H卷-21)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為卜2班,0),離心率

為6.

⑴求C的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為4，4,過點(T,o)的直線與C的左支交于M,N兩點，M

在第二象限，直線與“交于點尸.證明:點P在定直線上.

必備知識速記

一、直線和曲線聯(lián)立

Y2y2

1、橢圓—?+==1(Q〉Z?〉0)與直線/:丁=履+加相交于兩點，設(shè)A(%],%),

ab

B5，%)

￡+匚1

<//,+k2a2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

y=kx+m

r2v2、

橢圓一■+斗=1(。〉0,/?>0)與過定點(w,0)的直線/相交于AB兩點，設(shè)為無=(y+m，如

ab

—+^-=1

此消去x,保留y,構(gòu)造的方程如下:,Jb2

x=ty+m

(a1+fb1)y~+2b2tmy+b2m2-a2b2=0

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需

要擺出△>(),滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述.

2、拋物線J=2px(0>O)與直線x=)+相交于A、3兩點，設(shè)4(為，％),B(x2,y2)

聯(lián)立可得;/=2p(0+/"),△>()時，］%+為~pt

%%=-2pm

2=2

特殊地，當(dāng)直線鉆過焦點的時候，即機=g，y［y2=-2pm=-p,x1x2~P'

因為.為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、5坐標(biāo)來記憶.

拋物線爐=2py(p>0)與直線丁=辰+%相交于。、。兩點,設(shè)C&,%)，D(X2,y2)

聯(lián)立可得尤2=2p(履+〃D，△>()時，］;2P左

xxx2=-2pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算

量.開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分

析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問

題，三點共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表

達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最常考的方式.

二、根的判別式和韋達(dá)定理

T22

)+=V=1(。>6>0)與》=辰+〃7聯(lián)立，兩邊同時乘上"加即可得到

ab

(a2k2+b2)x2+2htia2x+a2(m2-/?2)=0,為了方便敘述，將上式簡記為

AX2+BX+C^Q.該式可以看成一個關(guān)于x的一元二次方程，判別式為

A=4a2b°(a2E+"-根?)可簡單記4aV(A-77?2).

22

同理:■+4=1(。>b>0)和％=Zy+相聯(lián)立(6+t2b2)y2+2b2tmy+Z?2m2-a2b2=0,為了方

ab

便敘述，將上式簡記為Ay2+gy+C=0,A=4a2b\a2+t2b2-m2),可簡記

W/?2(A-m2).

/與C相離oAvO;/與C相切oA=0；/與。相交oA>0.

注意：（1）由韋達(dá)定理寫出玉+%2=-0，玉%2=C，注意隱含條件A>0.

AA

（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把從互換位置即可.

（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點在無軸的雙曲線，只要把/換成-"即可；

焦點在y軸的雙曲線，把/換成-廿即可，/換成。2即可.

（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用△判斷根的關(guān)系，因

為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標(biāo)的范

圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程

組，真正算出具體坐標(biāo).

三、弦長公式

設(shè)M（Xi,y）,N5，%）根據(jù)兩點距離公式|MN|=J（占-小+⑶1-％）?.

1、若A/、N在直線》=辰+〃?上，代入化簡，得|.|='1+的占_司.

2、若Af、N所在直線方程為工=什+“2,代入化簡，得|M7V|=J1+產(chǎn)

3、構(gòu)造直角三角形求解弦長，.其中左為直線MN斜率，a為

|cosa||sincr|

直線傾斜角.

注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為左大0,〃件0時，mk=1.

（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.

（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為+判別式為

~CVB2-4AC

A=B2-4AC,A>0時,

=喜，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率.

lAl

（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會更加

簡單.

（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式.

四、己知弦AB的中點，研究的斜率和方程

1、4?是橢圓吞+馬=1（4>人0）的一條弦，中點則4?的斜率為-?，

運用點差法求四的斜率；設(shè)4（%,%）,“與力）（無尸馬），兒8都在橢圓上,

所以、%，兩式相減得三工+%=0

尤；+%2_1"b*123

ILL

(占+々)(=一%)+(%+%)(%-％)=0

a2b2

2

（%-乃）二〃（3+人）hxb\

即

（x「xj/（%+%）一汽故La2

y0

2、運用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線+-2=1（。>6.0）的弦，中點加伍,％）,

ab

貝麟AB="；若曲線是拋物線丁=2內(nèi)（0>0）,貝北旗='.

〃為為

名校模擬探源

一、解答題

22

1.（2024?山東濟寧?三模）已知橢圓E:\+2=l（a>b>0）的左焦點為P，上頂點為8,

ab

離心率e=RZ,直線F8過點P（l,2）.

2

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點/的直線/與橢圓E相交于M,N兩點（M、N都不在坐標(biāo)軸上），若

ZMPF=ZNPF,求直線/的方程.

2.（2024?浙江紹興三模）已知雙曲線「：尤2-乙=1與直線/：尸無+1交于A、B兩點

4

（A在B左側(cè)），過點A的兩條關(guān)于/對稱的直線乙、4分別交雙曲線「于C、。兩點（C

在右支，。在左支）.

（1）設(shè)直線乙的斜率為勺，直線4的斜率為履，求尤義的值；

⑵若直線與雙曲線「在點8處的切線交于點P,求，的面積.

兀2V21

3.（2024?天津北辰?三模）已知橢圓C：3+4=1（。>6>0）的禺心率為：，左、右焦點分

a"bz

別為《，F(xiàn)2,上、下頂點分別為4，4,且四邊形的面積為2粗.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵直線/：丫=丘+風(fēng)加>。）與橢圓C交于P,。兩點，且P,。關(guān)于原點的對稱點分別為

M,N,若「是一個與加無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形尸QWN面積最大時，求直線/

的方程.

4.（2024?新疆喀什.三模）已知雙曲線E：f-3y2=3的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,A是

直線/：y=-與x（其中。是實半軸長，c是半焦距）上不同于原點。的一個動點，斜率為

a

4的直線A耳與雙曲線E交于N兩點,斜率為心的直線A乙與雙曲線E交于尸，。兩

點.

11

⑴求二+廠的值；

（2）若直線OM,ON,OP,。。的斜率分別為心”，k0N,k0P,k0Q,問是否存在點A,滿

足=。,若存在，求出A點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

5.（2024.江西九江?三模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知拋物線6:,2=22叱°>0）的焦點

為是E上第一象限內(nèi)的動點.當(dāng)直線AF的傾斜角為:時，|AF|=4.

⑴求E的方程；

⑵已知點0（2,2）,民C是E上不同兩點.若四邊形A8CD是平行四邊形，證明：直線AC過

定點.

22

6.（2024.上海.三模）已知橢圓C：—+=1,工、工分別為左、右焦點，直線/過耳

84

交橢圓于A、B兩點.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)4AB=90。，且點A在x軸上方時，求A、8兩點的坐標(biāo)；

⑶若直線A耳交y軸于直線即交y軸于N,是否存在直線/,使得一加=5心？若

存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

7.（2024?湖南長沙?二模）已知橢圓E中心在原點，左焦點為產(chǎn)（-1,0）,其四個頂點的連線

圍成的四邊形面積為20.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓E的左焦點F作斜率存在的兩直線AB、分別交橢圓于A、B、C、D,且

ABLCD,線段AB、8的中點分別為M、N.求四邊形以加W面積的最小值.

22

8.（2024.北京西城.三模）已知橢圓=+當(dāng)=1（。>6>0）的左頂點為A,上頂點為2,下頂

ab

點為C,若橢圓的6=且，三角形ABC的面積為2.

2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點。（0,2）,直線A3交橢圓于點E,過點。的直線交橢圓于N兩點,若直線

CM與無軸交于尸點，過E且平行于x軸的直線與BN交于。點，求陶的值.

9.（2024.湖南長沙.三模）已知拋物線。:丁2=2?宜？>0）,過點。（0,2）的直線/與C交于

不同的兩點A2.當(dāng)直線/的傾斜角為135。時，|卜4同.

（1）求C的方程；

DAAE

（2）在線段A3上取異于點A3的點E,且滿足京f=京，試問是否存在一條定直線，使

DBEB

得點E恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.

22

10.（2024.北京.三模）已知橢圓E:,%=1（4>“0）的短軸長為26，左、右頂點分別

為C,O,過右焦點廠（1,0）的直線/交橢圓E于A3兩點（不與C,o重合），直線AC與直線

BD交于點、T.

⑴求橢圓E的方程；

（2）求證：點T在定直線上.

11.（2024?上海浦東新?三模）已知雙曲線C:尤2-上=1,點寫、己分別為雙曲線的左、右

3

焦點，4（小m）、8（-4,%）為雙曲線上的點.

（1）求右焦點E到雙曲線的漸近線的距離;

（2）若求直線AB的方程；

（3）若其中A、8兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊

形的面積的取值范圍.

12.（2024?天津南開?二模）已知橢圓C：；+力=1（a>Z?>0）的離心率為且，且C

a2b22

的左、右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為86.

（1）求橢圓C的方程；

⑵過點P（l,0）的直線/與橢圓C交于A,8兩點，過點A與x軸垂直的直線與橢圓C的另

一個交點為。.當(dāng)YBP。的面積取得最大值時，求直線/的方程.

13.（2024?貴州六盤水?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A,8分別是x軸和y軸上的動

點，且|48|=石，動點P滿足出0P=2O4+08,記尸的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)曲線C與x軸的交點為4,A2（4在4的左邊），過點。（1,0）且不與x軸平行的

直線/與。相交于M,N兩點，記直線A/M,A2N的斜率分別為B和左2,求皆的值.

k2

22

14.（2024?廣東汕頭?三模）己知雙曲線C：/方=1（。>0*>0）的漸近線方程為

y=±與x,過點（4,0）的直線/交雙曲線C于M,N兩點，且當(dāng)軸時，|"N|=6.

（1）求C的方程；

⑵記雙曲線C的左右頂點分別為A,4,直線AM,4N的斜率分別為匕，求￡的

值.

⑶探究圓E：犬+尸一4x-4y-l=0上是否存在點S,使得過S作雙曲線的兩條切線l4

互相垂直.

22

15.（2024?江西鷹潭二模）設(shè)橢圓E：=+當(dāng)=1（。>。>0）經(jīng)過點「（2,-1）,且離心率

ab

e=乎，直線根:x=3垂直x軸交x軸于T,過T的直線//交橢圓E于A(X，X),3伍,必)

兩點，連接R4,PB,PT.

⑴求橢圓E的方程;

(2)設(shè)直線出，的斜率分別為a,k2.

(i)求匕+%的值;

(ii)如圖：過P作x軸的垂線/,過A作PT的平行線分別交PB,/于M,N,求與?

\MA\

的值.

16.(2024?山東煙臺三模)已知拋物線C：y2=2px(P>0)過點(1,2),尸為C的焦點,

A,8為C上不同于原點。的兩點.

(1)若試探究直線A3是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由；

(2)若AF_LM,求△AFB面積的最小值.

17.(2024.山西陽泉?三模)己知圓O:尤2+,2=4,3(_1,0),以1,0).點M在圓。上，延長

CM到A,使|C"I=|M4|,點P在線段上，滿足(PA+PC>AC=0.

⑴求點P的軌跡E的方程；

⑵設(shè)。點在直線x=l上運動，〃(-2,0),2(2,0).直線。。與02軌跡E分別交于G,4兩

點，求證：G”所在直線恒過定點.

18.(2024?湖南衡陽?三模)已知橢圓C:￡+V=l.

(1)已知-MPQ的頂點均在橢圓C上，若坐標(biāo)原點。為一回尸。的重心，求點。到直線PQ距

離的最小值；

（2）已知定N（x。,為）在橢圓C上，直線/（與無軸不重合）與橢圓交于A、8兩點，若直線

AB,AN,8N的斜率均存在，且4V_L5N,證明：直線AB過定點（坐標(biāo)用％,先表示）.

19.（2024?四川攀枝花.三模）已知拋物線C：d=2py（0>O）上一點。到焦點尸的距離為

2,點。到y(tǒng)軸的距離為Gp.

（1）求拋物線C的方程；

⑵過廠的直線交拋物線C于A,B兩點，過點8作x軸的垂線交直線49（。是坐標(biāo)原點）

于。，過A作直線的垂線與拋物線C的另一交點為E,直線5。與AE交于點G.求

\GD\

兩