與題24（8雄曲筱（摘（8、州曲筱，胡的錢）

十年考情-探規律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1第二問求曲2022?天津卷、2020?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷

線方程2018?全國卷、2017?全國卷、2017?天津卷、2015?天津卷

（10年6考）2015?安徽卷

考點2求軌跡方程2023?全國新I卷、2021?全國新I卷、2019?全國卷

1.熟練掌握橢圓、

（10年5考）2017?全國卷、2015?湖北卷

雙曲線、拋物線的

2024.全國新I卷、2023?天津卷、2022?全國甲卷、2021.天

定義及方程的求

考點3求直線方程津卷

解，通常大題第一

（10年8考）2020?天津卷、2018?江蘇卷、2017?全國卷、2017?天津卷

問考查方程求解

2015?江蘇卷

2.掌握軌跡方程

2021.全國新I卷、2021?北京卷、2021?全國乙卷、2019?天

的求解，近年該考

考點4求斜率值或津卷

點多次考查

范圍2018?天津卷、2018?天津卷、2017?天津卷、2017?山東卷

3.熟練掌握直線

（10年6考）2016?山東卷、2016?上海卷、2016?天津卷、2016?全國卷

方程的求解，會求

2016?上海卷、2016?天津卷、2015?天津卷、2015?北京卷

斜率值或范圍

考點5離心率求值2024.北京卷、2023.天津卷、2022.天津卷、2020?全國卷

4.會弦長等距離

或范圍綜合2019?天津卷、2019?全國卷、2016?四川卷、2016?浙江卷

的求解，會定值定

（10年7考）2015.重慶卷、2015?重慶卷

點定直線的求解及

考點6弦長類求值

2022?浙江卷、2020?北京卷、2019?全國卷、2017?浙江卷證明，該內容也是

或范圍綜合

2016?北京卷、2016?全國卷、2015?四川卷、2015?山東卷高考命題熱點

（10年6考）

考點7其他綜合類

2024?上海卷、2024?北京卷、2020?北京卷、2020?浙江卷

求值或范圍綜合

2019?全國卷、2016?四川卷、2015?四川卷

（10年5考）

2023?全國新D卷、2023?全國乙卷、2022?全國乙卷

考點8定值定點定2020.全國新I卷、2020.全國卷、2019?北京卷、2019?北京

直線問題卷

（10年7考）2017?全國卷、2017?北京卷、2017?全國卷、2016?北京卷

2016?北京卷、2015?陜西卷、2015?全國卷

2024?全國甲卷、2023?全國新I卷、2023?北京卷、

2022?全國新II卷、2021.全國新H卷、2019?全國卷

考點9其他證明綜

2018.北京卷、2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷

合

2017?北京卷、2017?全國卷、2016?四川卷、2016?四川卷

（10年9考）

2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?四川卷、2015?湖南卷

2015?全國卷、2015?福建卷

考點10圓錐曲線與

其他知識點雜糅問

2024?全國新II卷、2018?全國卷、2016?四川卷

題

（10年3考）

分考小精準練上

考點01第二問求曲線方程

22

1.（2022?天津?高考真題）橢圓》+方=l（a>b>0）的右焦點為尸、右頂點為A,上頂點為8,且滿足

BF_上

⑴求橢圓的離心率e；

（2）直線I與橢圓有唯一公共點”，與y軸相交于MN異于M）.記。為坐標原點,若|加|=|ON|,且^OMN

的面積為百，求橢圓的標準方程.

22

2.（2020?全國?高考真題）已知橢圓G：3+與=l（a>b>0）的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，Q的中

ab

4

心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交G于4B兩點，交C2于C,。兩點，且|CD|=]|AB|.

（1）求G的離心率；

（2）設M是Q與C2的公共點，若|MF|=5,求G與C2的標準方程.

丫21

3.（2019?全國?高考真題）已知曲線C:y=L,O,為直線>上的動點，過D作C的兩條切線，切

22

點分別為AB.

（1）證明：直線A8過定點：

（2）若以E（O,|j為圓心的圓與直線A3相切，且切點為線段A3的中點，求該圓的方程.

22

4.（2019?天津?高考真題）設橢圓工+與=l（a>b>0）的左焦點為F，左頂點為A,上頂點為8.已知

ab

y/3\OA\=2\OB\（。為原點）.

（團）求橢圓的離心率；

3

（回）設經過點尸且斜率為=的直線/與橢圓在x軸上方的交點為尸，圓C同時與x軸和直線/相切，圓

心C在直線x=4上，且OC〃AP,求橢圓的方程.

5.（2018?全國?高考真題）設拋物線G丁=以的焦點為尸，過/且斜率為左依>0）的直線/與C交于A,

8兩點，|AB|=8.

（1）求/的方程；

（2）求過點A,3且與C的準線相切的圓的方程.

6.（2017?全國?高考真題）已知拋物線C：V=2x,過點（2,0）的直線/交C于4乃兩點，圓M是以線

段A3為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點。在圓M上；

（2）設圓M過點尸（4,-2）,求直線/與圓〃的方程.

22

7.（2017?天津?高考真題）已知橢圓〉方=1（。>6>0）的左焦點為尸（-G0）,右頂點為A,點E的坐標

廿

為（。?,△石/弘的面積為一.

2

（I）求橢圓的離心率；

（II）設點。在線段AE上，|Fe|=|c,延長線段歹。與橢圓交于點尸，點N在無軸上，PM\\QN,

且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.

（i）求直線尸尸的斜率；

（ii）求橢圓的方程.

8.（2015?天津?高考真題）已知橢圓￡+4=l（a>6>0）的上頂點為B,左焦點為尸，離心率為當，

a-b'5

（團）求直線B尸的斜率；

（團）設直線與橢圓交于點尸（P異于點3），過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點

B）直線PQ與y軸交于點M,\PM\=l\MQ.

（回）求4的值；

（回）若1PMisin/20尸=毛一,求橢圓的方程.

22

9.（2015?安徽?高考真題）設橢圓E的方程為a+方=1（。>6>0）,點0為坐標原點，點A的坐標為（a，0）,

點B的坐標為

（0力），點M在線段AB上，滿足|BM|=2|M4|,直線OM的斜率為您.

（回）求E的離心率e；

7

（回）設點c的坐標為（0，-9，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為求E

的方程.

考點02求軌跡方程

L（2023?全國新I卷?高考真題）在直角坐標系xOy中，點尸到x軸的距離等于點尸到點的距離，

記動點尸的軌跡為W.

⑴求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3檔.

2.（2021?全國新I卷?高考真題）在平面直角坐標系xQy中，已知點￡卜后，。）、

工（而同一M用=2,點加的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵設點T在直線X=:上，過T的兩條直線分別交C于A、8兩點和P,。兩點，且明?附=|研"叫，

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

3.（2019?全國?高考真題）

已知點4-2,0）,8（2,0）,動點M（x,y）滿足直線AM與的斜率之積為-，記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE以軸，垂足為E,連結QE并延長交

C于點G.

（i）證明：APQG是直角三角形；

（ii）求APQG面積的最大值.

4.（2017?全國?高考真題）設。為坐標原點，動點M在橢圓C:J+y2=i上，過/作x軸的垂線，垂

足為N,點P滿足麗=忘兩.

（1）求點尸的軌跡方程；

（2）設點。在直線x=-3上，且加?愈=1.證明：過點P且垂直于0Q的直線/過C的左焦點尸.

5.（2015?湖北?高考真題）一種作圖工具如圖1所示.。是滑槽AB的中點，短桿O.V可繞。轉動，長

桿.1/N通過.V處較鏈與QV連接，.16上的栓子D可沿滑槽AB滑動，旦DN=ON=1,MN=3.當

栓子。在滑槽AB內做往復運動時，帶動.V繞。轉動一周（。不動時，.V也不動），處的筆尖畫出

（團）求曲線C的方程；

（回）設動直線/與兩定直線4：尤-2y=。和4:x+2y=0分別交于尸，。兩點.若直線/總與曲線C有且只

有一個公共點，試探究：尸的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理

由.

考點03求直線方程

1.（2024?全國新I卷?高考真題）已知A（0,3）和尸［3,|j為橢圓C:J+"=l（a>6>0）上兩點.

⑴求C的離心率；

（2）若過尸的直線/交C于另一點B,且AAB尸的面積為9,求/的方程.

22

2.（2023?天津?高考真題）已知橢圓二+2=1（4>10）的左右頂點分別為右焦點為尸，已知

ab

|4尸|=3,|4同=1.

⑴求橢圓的方程和離心率；

⑵點P在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線4尸交y軸于點Q,若三角形4尸。的面積是三角形4Pp面

積的二倍，求直線4尸的方程.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）設拋物線。:y=20彳（°>0）的焦點為口，點。（夕,0）,過尸的直線交C于

M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時，\MF\=3.

⑴求C的方程；

（2）設直線MO,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為a1.當a-4取得

最大值時，求直線A3的方程.

4.（2021?天津?高考真題）已知橢圓1+%=1（°>6>0）的右焦點為上頂點為8,離心率為半，

且即|二氐

（1）求橢圓的方程；

（2）直線/與橢圓有唯一的公共點V,與y軸的正半軸交于點N,過N與班■垂直的直線交尤軸于點

P.若MP//BF,求直線/的方程.

22

5.（2020?天津?高考真題汨知橢圓二+2=l（a>b>0）的一個頂點為4。,-3）,右焦點為產，且|041=|O尸|,

ab

其中。為原點.

（團）求橢圓的方程；

（回）已知點C滿足3反=礪，點8在橢圓上（8異于橢圓的頂點），直線與以C為圓心的圓相切于

點尸，且尸為線段AB的中點.求直線A3的方程.

6.（2018?江蘇?高考真題）在平面直角坐標系MV中，橢圓C過點（"g）,焦點耳（-6,0）,6（6,0）,

圓。的直徑為百鳥.

（1）求橢圓C及圓。的方程；

（2）設直線/與圓。相切于第一象限內的點P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線/與橢圓C交于A5兩點.若AOAB的面積為平，求直線/的方程.

7.（2017?全國?高考真題）已知拋物線C：V=2x，過點（2,0）的直線/交C于4乃兩點，圓M是以線

段A3為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點。在圓M上；

（2）設圓加過點尸（4,-2）,求直線/與圓〃的方程.

8.（2017?天津高考真題）設橢圓2+}=l（a>b>0）的左焦點為尸，右頂點為A,離心率為（已知A

是拋物線J2=2Px（p>0）的焦點，F到拋物線的準線/的距離為］

（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；

QI）設/上兩點產，。關于無軸對稱，直線"與橢圓相交于點8（B異于點A）,直線8Q與x軸相交于

點D.若△加的面積為逅，求直線AP的方程.

2

22

9.（2015?江蘇?高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1r+}=1（。>6>0）的離心率為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過F的直線與橢圓交于A,B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線I和AB于點P,C,若PC=2AB,

求直線AB的方程.

考點04求斜率值或范圍

1.（2021?全國新I卷?高考真題）在平面直角坐標系xQy中，已知點月卜如,。）、

月（a,0川M周TM閶=2,點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵設點T在直線x=g上，過T的兩條直線分別交C于A、8兩點和P,。兩點，S.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22

2.（2021?北京?高考真題）已知橢圓E:J+與=1（a>6>0）一個頂點4。,-2）,以橢圓E的四個頂點為頂

點的四邊形面積為4石.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點尸（0,-3）的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點3,C,直線AB,AC分別與直線

交丁=-3交于點M,N,當|RW|+|PN|415時，求左的取值范圍.

3.（2021?全國乙卷?高考真題）已知拋物線。：、2=2?彳（°>0）的焦點產到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知。為坐標原點，點尸在C上，點。滿足而=9宙，求直線。。斜率的最大值.

22

4.（2019?天津?高考真題）設橢圓=+七=l（a>6>0）的左焦點為尸，上頂點為反已知橢圓的短軸長為

ab

4,離心率為。.

（回）求橢圓的方程；

（團）設點尸在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與無軸的交點，點N在y軸的負半軸

上.若|ON|=|O刊（。為原點），且OPLMN,求直線尸8的斜率.

5.（2018?天津?高考真題）設橢圓W+4=l（a取>0）的左焦點為尸，上頂點為A已知橢圓的離心率為好,

礦Z?-3

點A的坐標為伽0）,S|FB|-|AB|=6A/2.

（I）求橢圓的方程；

（II）設直線/：>=履（左>0）與橢圓在第一象限的交點為尸，且/與直線AB交于點Q.若

A0s5

.點=1_sinZAOQ（O為原點），求上的值.

22

6.（2018?天津?高考真題）設橢圓1+2=l（a>6>0）的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為

ab

與,\AB\=y/13.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線/：，=依（及<0）與橢圓交于P,。兩點，/與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若

ABPM的面積是VBPQ面積的2倍，求上的值.

22

7.（2017,天津?高考真題）已知橢圓二+4=1（°>6>0）的左焦點為尸（-G0）,右頂點為A,點E的坐標

ab

h2

為（。?,△￡K4的面積為一.

2

（I）求橢圓的離心率；

（II）設點Q在線段AE上，\FQ\=^c,延長線段產。與橢圓交于點尸，點N在x軸上，尸

且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.

（i）求直線FP的斜率；

（ii）求橢圓的方程.

8.（2017?山東?高考真題）在平面直角坐標系宜力中，橢圓E：1的離心率為日，

焦距為2.

（團）求橢圓E的方程；

（回）如圖，動直線/：y-立交橢圓E于AB兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為心，且

空L孝，M是線段OC延長線上一點，且|MC|:|AB|=2:3,的半徑為|MC|,OS,OT是0M的兩條

切線，切點分別為S，T.求/SOT的最大值，并求取得最大值時直線/的斜率.

22_

9.（2016?山東?高考真題）已知橢圓C:^+4=l（?>&>0）的長軸長為4,焦距為2垃

ab

（回）求橢圓C的方程；

（回）過動點機）（M>0）的直線交X軸與點N,交C于點AP（尸在第一象限），且M是線段PN的中

點.過點P作x軸的垂線交C于另一點。，延長交C于點反

k

（團）設直線9,的斜率分別為左,心，證明才為定值;

（回）求直線的斜率的最小值.

2

10.（2016?上海?高考真題）雙曲線V一南=13>0）的左、右焦點分別為斗F2,直線/過FZ且與雙曲線

交于42兩點.

（1）若/的傾斜角為A￡AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；

（2）設b=6，若/的斜率存在，且（率+電）?通=0,求/的斜率.

11.（2016?天津?高考真題）設橢圓毛+乙=1（°>6）的右焦點為尸，右頂點為人，已知』^+』7=言7

a23|OF|\OA\|FA|

其中。為原點，e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點A的直線/與橢圓交于點8（6不在x軸上），垂直于/的直線與/交于點與y軸交于點

H,若BFLHF,且NMQ44NM4O,求直線的/斜率的取值范圍.

22

12.（2016?全國?高考真題）已知橢圓E：L+^=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）

t3

的直線交E于A,M兩點，點N在E上，MA0NA.

（回）當t=4,|AM|=|4V|時，求回AMN的面積；

（回）當21AMl=|AN|時，求k的取值范圍.

2

13.（2016?上海?高考真題）雙曲線/-力=1（6>0）的左、右焦點分別為月,旦，直線/過歹2且與雙曲線

交于A,3兩點.

（1）若/的傾斜角為AFIAB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程;

（2）設b=g,若/的斜率存在，且|AB|=4,求/的斜率.

14.（2016?天津?高考真題）設橢圓二+二=1（々一后）的右焦點為尸，右頂點為已知

<7*3

,其中。為原點，。為橢圓的離心率.

（團）求橢圓的方程;

（回）設過點a的直線；與橢圓交于點3（3不在X軸上），垂直于7的直線與/交于點與］'軸交

于點H，若BF_HF，且/MQ4W/M4。，求直線的：斜率的取值范圍.

15.（2。15?天津?高考真題）已知橢吟+Q”>。）的左焦點為S，。）,離心率為當，點M在橢

圓上且位于第一象限，直線根被圓/+y2=］截得的線段的長為c,|FM|=1L

（回）求直線月Vf的斜率；

（回）求橢圓的方程；

（團）設動點尸在橢圓上，若直線尸尸的斜率大于雙,求直線。尸（。為原點）的斜率的取值范圍.

16.（2015?北京?高考真題）已知橢圓C:x2+3y2=3,過點D（l,0）且不過點E（2,l）的直線與橢圓C交于A,

B兩點，直線AE與直線x=3交于點M.

（回）求橢圓C的離心率；

（回）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

（團）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由.

考點05離心率求值或范圍綜合

?2

1.（2024?北京?高考真題）已知橢圓E：亍+av=1（°>6>0）,以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四

邊形是邊長為2的正方形.過點（0,。1>3）且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A,B,過點A和

C（o,l）的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.

⑴求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線的斜率為0,求f的值.

22

2.（2023?天津?高考真題）已知橢圓J+與=l（a>b>0）的左右頂點分別為4，4，右焦點為F,已知

ab

|4刊=3,|4同=1.

⑴求橢圓的方程和離心率；

⑵點尸在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線4P交y軸于點。，若三角形4尸。的面積是三角形4P尸面

積的二倍，求直線劣尸的方程.

22

3.（2022?天津?高考真題）橢圓點+q=l（a>6>0）的右焦點為尸、右頂點為A,上頂點為3,且滿足

BF6

⑴求橢圓的離心率e；

⑵直線/與橢圓有唯一公共點性與y軸相交于MN異于M）.記。為坐標原點，若10M=|。叫，且A0MN

的面積為百，求橢圓的標準方程.

22

4.（2020?全國?高考真題）已知橢圓G：A+2=l（a>b>0）的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，Q的中

ab

4

心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線父Q于4B兩點，父C2于C,。兩點，且|CD|=§|AB|.

（1）求G的離心率；

（2）設M是Q與C2的公共點，若|MF|=5,求G與C2的標準方程.

22

5.（2019?天津?高考真題）設橢圓二+七=1伍”>0）的左焦點為尸，左頂點為A,上頂點為B.已知

6|。4|=2|。8|（。為原點）.

（團）求橢圓的離心率；

（團）設經過點尸且斜率為:的直線/與橢圓在X軸上方的交點為尸，圓C同時與X軸和直線/相切，圓

4

心C在直線x=4上，且OC〃AP,求橢圓的方程.

22

6.（2019?全國?高考真題）已知耳尸2是橢圓C*+%=l（a>b>0）的兩個焦點，尸為C上一點，。為坐

標原點.

（1）若AP。罵為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點尸，使得P耳，「工，且△片尸耳的面積等于16,求6的值和。的取值范圍.

7.（2016?四川?高考真題）已知數列｛6｝的首項為1,7為數列｛勺｝的前n項和,5m=應+1,其中q>0,

neN*.

（團）若2%,%g+2成等差數列,求數列｛an｝的通項公式;

cV254〃一V

（團）設雙曲線4=1的離心率為e“，且4=；,證明：q+e2+…

8.（2016?浙江?高考真題）如圖，設橢圓m+>2=11>1）.

（田）求直線產區+1被橢圓截得的線段長（用4、%表示）；

（田）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

22

9.（2015?重慶?高考真題）如圖，橢圓!r+方=1（°>6>0）的左右焦點分別為耳耳，且過用的直線交橢

⑵若|尸。|=川尸耳|,且上幾彳，試確定橢圓離心率的取值范圍.

22

10.（2015?重慶?高考真題）如圖，橢圓/+方=1（。>6>0）的左、右焦點分別為片,用，過尸2的直線交橢

圓于P,Q兩點，且PQLP大

（1）若|「￡|=2+衣|尸閶=2-夜,求橢圓的標準方程

（2）若|尸耳|=|尸。］,求橢圓的離心率,

考點06弦長類求值或范圍綜合

1.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知橢圓工+丁=1.設A,3是橢圓上異于P（（M）的兩點，且點。

在線段AB上，直線尸4尸3分別交直線y=-gx+3于C,。兩點.

⑴求點P到橢圓上點的距離的最大值；

（2）求ICDI的最小值.

22

2.（2020?北京?高考真題）已知橢圓C:=r+2=l過點4-2,-1）,且。=26.

ab

（回）求橢圓c的方程：

（回）過點2（-4,0）的直線/交橢圓c于點直線分別交直線x=T于點P,Q.求黑的值.

3

3.（2019?全國?高考真題）已知拋物線C：V=3x的焦點為F,斜率為萬的直線/與C的交點為4B,與

x軸的交點為P.

（1）若|A-|+|8巾=4,求/的方程；

（2）若Q=3兩，求|4B|.

4.（2017?浙江?高考真題）如圖，已知拋物線x?=y.點A[]，j，,拋物線上的點P（x,y）

過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（I）求直線AP斜率的取值范圍；

（II）求|刈M0的最大值

5.（2016?北京?高考真題）已知橢圓C：二+與=1（a>b>0）的離心率為1,A（?,0）,2（0,6）,0（0,0）,

a2b12

AO4B的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設尸是橢圓C上一點，直線上4與y軸交于點直線FB與X軸交于點N,求證：為

定值.

6.（2016?全國?高考真題）（2016新課標全國卷回文科）在直角坐標系xQy中，直線/:產/依0）交y軸于點

M,交拋物線C：丁=20叱0>0）于點「，M關于點P的對稱點為N,連結ON并延長交C于點

OH

?求而

（回）除”以外，直線與C是否有其它公共點？說明理由.

7.（2015?四川?高考真題）如圖，橢圓E：5■+5■=1（。>6>0）的離心率是冬過點P（0,1）的動直

線/與橢圓相交于A,3兩點，當直線/平行于無軸時，直線/被橢圓E截得的線段長為2&.

（1）求橢圓E的方程；

QAPA

（2）在平面直角坐標系無0y中，是否存在與點P不同的定點Q,使得%=而商恒成立？若存在，求

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

8.（2015?山東?高考真題）平面直角坐標系X。，中，已知橢圓C：1+2=l（a>%>0）的離心率為乎，

左、右焦點分別是0尸2,以耳為圓心以3為半徑的圓與以F?為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢

圓C上.

（團）求橢圓C的方程；

22

（團）設橢圓E：二+上Y=l,尸為橢圓C上任意一點，過點P的直線、=區+"交橢圓E于兩點，射

4a4b

線尸。交橢圓E于點Q.

,OQ一

（i）求BT的值；

（團）求AABQ面積的最大值.

考點07其他綜合類求值或范圍綜合

2

L（2024?上海高考真題）已知雙曲線rd=l,（b>0）,左右頂點分別為4出，過點M（-2,0）的直線

/交雙曲線「于P,。兩點.

⑴若離心率e=2時，求6的值.

⑵若匕二手,^^1^為等腰三角形時，且點尸在第一象限，求點尸的坐標.

⑶連接。2并延長，交雙曲線「于點R,若鄧?審=1,求6的取值范圍.

22

2.（2024?北京?高考真題）已知橢圓E：2+方=l（a>6>0）,以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四

邊形是邊長為2的正方形.過點（0,。卜>虛）且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點AB,過點A和

C（0,l）的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.

⑴求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線BD的斜率為0,求f的值.

22

3.（2020?北京?高考真題）已知橢圓C:卷=1過點4-2,T）,且。=2"

ab

（團）求橢圓c的方程：

（回）過點2（-4,0）的直線/交橢圓c于點直線分別交直線x=T于點P,。.求解的值.

丫2

4.（2020?浙江?高考真題）如圖，已知橢圓—+>2=1,拋物線C2：V=2px（p>0）,點A是橢圓G與

拋物線G的交點，過點A的直線/交橢圓G于點3,交拋物線于M（3,M不同于A）.

（回）若P=」，求拋物線C2的焦點坐標；

16

（回）若存在不過原點的直線/使M為線段A3的中點，求p的最大值.

22

5.（2019?全國?高考真題）已知斗鳥是橢圓C:=+斗=l（a>b>0）的兩個焦點，P為C上一點，。為坐

ab

標原點.

（1）若AP。工為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點尸，使得尸片，尸￡,且△￡2月的面積等于16,求6的值和a的取值范圍.

22

6.（2016?四川?高考真題）已知橢圓E：斗+斗=l（a>6>0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角

ab

形的三個頂點，直線/：丫=-尤+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

（回）求橢圓E的方程及點T的坐標；

（回）設。是坐標原點，直線/'平行于07,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線/交于點尸，證

明：存在常數2,使得|PT『=X|尸川.|尸3|,并求4的值.

7.（2015?四川?高考真題）橢圓￡:「+與=1（a>3>0）的離心率是交，點尸（0，D在短軸CO上，且

a2b22

PCPD=-1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設。為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A8兩點，是否存在常數4,使得厲+4所.而

為定值？若存在，求九的值；若不存在，請說明理由

考點08定值定點定直線問題

1.（2023?全國新D卷?高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜2君,0）,離心率為小.

⑴求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為4，4,過點（-4,0）的直線與c的左支交于M,N兩點，M在第二象限,

直線M4與“交于點p.證明:點尸在定直線上.

2.（2023?全國乙卷?高考真題）已知橢圓C：￥+5=l（a>b>0）的離心率是更，點人（-2,0）在C上.

ab3

⑴求C的方程；

（2）過點（-2,3）的直線交C于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點

為定點.

3.（2022?全國乙卷?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0,-2）,

兩點.

⑴求E的方程；

（2）設過點P（L-2）的直線交E于"，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點“滿足

而？=西.證明：直線HV過定點.

4.（2020?全國新I卷?高考真題）已知橢圓C：[+孑=1（"6>0）的離心率為孝，且過點A（2,l）.

（1）求C的方程：

（2）點N在C上，且AML4V,ADLMN,。為垂足.證明：存在定點Q,使得為定值.

5.（2020?全國?高考真題）已知A、B分別為橢圓E：=+丁=1（〃>1）的左、右頂點，G為E的上頂

a

點，AGGB=8,P為直線尤=6上的動點，朋與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

22

6.（2019?北京?高考真題）已知橢圓C:=+2=l的右焦點為（1,0）,且經過點40,1）.

ab

（回）求橢圓C的方程；

（團）設O為原點，直線/：>=履+々工±1）與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與無軸交于點

直線AQ與x軸交于點N,若|OM|“ON|=2,求證：直線/經過定點.

7.（2019?北京?高考真題）已知拋物線C：/=-2py經過點（2,-1）.

（回）求拋物線C的方程及其準線方程；

（團）設。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點M,N,直線產-1分

別交直線OM,ON于點A和點A求證：以A3為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

8.（2017?全國?高考真題）已知橢圓C：[+與=1（a>b>0）,四點Pi（1,1）,P2（0,1）,P3（-1,—）,

ab2

P（1,—）中恰有三點在橢圓C上.

42

（回）求C的方程；

（回）設直線I不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明：I

過定點.

9.（2017?北京?高考真題）已知拋物線C：y2=2px過點過點作直線/與拋物線C交于不同

的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,O/V交于點4,B,其中。為原點.

⑴求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）求證：A為線段B/W的中點.

10.（2017?全國?圖考真題）設O為坐標原點，動點M在橢圓C:±+y2=i上，過M作x軸的垂線，垂

2

足為N,點尸滿足麗=夜兩;

⑴求點P的軌跡方程；

（2）設點Q在直線x=-3上，且6.？2=1.證明：過點尸且垂直于OQ的直線/過C的左焦點F

11.（2016?北京?高考真題）已知橢圓C：￡+1=1（a>6>0）的離心率為正，4“，。），B（0,b）,

a2b12

0（0,0）,AOA5的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點直線網與X軸交于點N,求證：14Vl為

定值.

22

12.（2016?北京?高考真題）已知橢圓C:=+2=l過點A（2,0）,3（0,l）兩點.

ab

（回）求橢圓C的方程及離心率；

（團）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線以與y軸交于點直線尸3與X軸交于點N,求證：

四邊形的面積為定值.

13.（2015?陜西?高考真題）如圖，橢圓石：1+/■=1（.>6>0）經過點A（0,-l）,且離心率為冬

（I）求橢圓E的方程；

（II）經過點CM）,且斜率為左的直線與橢圓E交于不同兩點P,0（均異于點A）,

問：直線AP與A。的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值；若否，說明理由.

14.（2015?全國?高考真題）已知橢圓C:「+《=l（a>6>。）的離心率為正，點⑵0）在C上

ab-2

（1）求C的方程

（2）直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與C有兩個交點A3,線段A3的中點為證明：直線加

的斜率與直線/的斜率的乘積為定值.

考點09其他證明綜合

L（2024?全國甲卷?高考真題）已知橢圓C：5+g=l（a>6>0）的右焦點為八點加［1,1|在C上，且

MF_Lx軸.

⑴求C的方程；

（2）過點P（4,0）的直線交C于A,B兩點，N為線段尸尸的中點，直線A?交直線于點Q,證明：AQ±y

軸.

2.（2023?全國新I卷?高考真題）在直角坐標系宜力中，點P到x軸的距離等于點P到點的距離，

記動點尸的軌跡為W.

⑴求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在卬上，證明：矩形ABCD的周長大于入辦.

3.（2023?北京?高考真題）已知橢圓E:4+A=l（a>b>0）的離心率為近，A、C分別是E的上、下頂

a-b23

點，B,。分別是E的左、右頂點，|AC|=4.

⑴求E的方程；

（2）設尸為第一象限內E上的動點，直線”與直線BC交于點V,直線上4與直線、=-2交于點N.求

證：MN//CD.

4.（2022?全國新H卷?高考真題）已知雙曲線。￡-三=1（“>0乃>0）的右焦點為尸（2,0）,漸近線方程為

ab

y=.

⑴求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點，點外石,乂）,。（孫%）在C上，且%>%>。，/>0.過

P且斜率為-6的直線與過。且斜率為6的直線交于點從下面①②③中選取兩個作為條件，證明

另外一個成立：

①/在上；②PQ〃AB；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22

5.(2021■全國新II卷?高考真題)已知橢圓C的方程為=+與=1(°>6>0),右焦點為尸(也,0),且離心

ab

率為逅.

3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設M,N是橢圓C上的兩點，直線與曲線/+/=廿(尤>0)相切.證明：M,N,尸三點共線

的充要條件是|也|=若.

6.(2019,全國■高考真題)

已知點4-2,0),3(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與8M的斜率之積為-1記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PHHx軸，垂足為E,連結QE并延長交

C于點G.

(i)證明：APQG是直角三角形；

(ii)求APQG面積的最大值.

7.(2018?北京?高考真題)已知拋物線C：丁=2后經過點尸(1,2).過點。(0,1)的直線/與拋物

線C有兩個不同的交點A,B,且直線勿