勾股定理熱點題型歸納（九大題型）

國W4之段翌爆軸

【題型01已知兩邊長求第三邊長】

【題型02已知兩點坐標求兩點距離】

【題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

【題型04用勾股定理解三角形】

【題型05勾股定理與無理數】

【題型06趙爽線圖的證明及應用】

【題型07用勾股定理構造圖形解決問題】

【題型08直角三角形的判定】

【題型09勾股定理的逆定理應用】

國滿合於珠

【題型01已知兩邊長求第三邊長】

1.（24-25八年級上?廣東茂名?階段練習）直角三角形的兩直角邊長是6和8,則該直角三角

形的周長為（）

A.10B.14C.24D.34

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股定理及三角形的周長，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.先

用勾股定理計算斜邊長，然后利用三角形的周長公式計算即可.

【詳解】由勾股定理可知：直角三角形的斜邊為：,62+82=1由

???三角形的周長為：6+8+10=24

故選：C.

2.（24-25八年級上?河北滄州,期末）如圖，用籬笆圍一個直角三角形花田，若NC=90。,

BC=4米，AB=5米，則邊4C需要的籬笆長為（）

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據勾股定理

計算即可.

【詳解】解：在RtWBC中，AC2+BC2=AB2,

???BC=4米，AB=5米，

???AC=7AB2一8c2="52—42=3（米）,

邊ac需要的籬笆長為3米.

故選：D.

3.（24-25八年級上?福建三明?期末）若內△ABC中一條直角邊和斜邊的長分別為6和10,

則另一條直角邊的長是（）

A.4B.6C.8D.2V34

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據勾股定理即可求

解.

【詳解】解：由題意得，另一條直角邊的長是V102—62=8.

故選：C.

4.（24-25八年級上?河南南陽,階段練習）已知直角三角形的兩邊長分別為a、b,且a、

b滿足J（a_3.+（6—4）2=0,則此直角三角形的斜邊為（）

A.5B.5或近C.4D.4或5

【答案】D

【分析】本題主要考查了算術平方根的非負性、非負數的性質、勾股定理等知識點，根

據非負數的性質求得求出a與b的值是解題的關鍵，

由非負數的性質求出。和6的值，然后再分兩種情況解答即可.

【詳解】解：b滿足了（a-3）2+（6-4尸=0,

.'.a—3=0,b—4=0,即。=3力=4,

①當4是直角邊時，其斜邊長為夷32+42=5；

②當4是斜邊時，其斜邊長為4.

綜上，斜邊長為4或5.

故選D.

5.（24-25八年級上?浙江寧波?期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,4D1BC于點。，若

AB=5,AD=4,則△4BC的周長為（）

【答案】A

【分析】本題考查等腰三角形的性質，勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的

關鍵；

根據勾股定理，求得CD=BD=3,進而求得的長度，進而求解即可；

【詳解】解：■.ADA.BC,AB=5,AD=4,

???BD=迎-2-4。2=<52—42=3,

???AB=AC=5,ADIBC,

CD=BD=3,

BC=BD+DC=6,

△ZBC的周長為ZB+ZC+BC=5+5+6=16；

故選：A

6.（24-25八年級上?陜西西安?期中）把兩塊同樣大小的含45。角的直角三角尺按如圖所示

放置，其中一塊的銳角頂點與另一塊的直角頂點重合于點兒且另三個銳角頂點比C,

。在同一直線上，若ac=3VL則CD的長是（）

E

A

A.5V3-3B.5C.3V3+3D.8

【答案】C

【分析】過點/作BC的垂線4F,垂足為R由題意可得出BC=4。=4,進而得出

CF=BF=2,利用勾股定理可得出DF的長，即可得出4B的長.此題主要考查了勾股定

理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點/作BC的垂線4F,垂足為R

依題意，由4C=3近得：AB-AE=ED=3V2,

由45。的直角三角形的性質得到BC=AD=J(3V2)2+(3V2)2=6,

■：AF1BC/ABF=AACF=45°,

.?.△ABF是等腰直角三角形，

：.BF=AF,

貝l]BF2+AF2=AB2=18,

：.AF=BF=3,

同理得CF=4F=3；

在RtaADF中，^AFD=90°,

由勾股定理得：DF=迎。2一.2=762—32=3V3,

：.CD=DF+CF3V3+3,

故選：C.

【題型02已知兩點坐標求兩點距離】

7.（24-25八年級上?廣東梅州?期中）在平面直角坐標系中，點P（—2,—5）到坐標原點。的

距離為（）

A.2B.5C.V29D.7

【答案】c

【分析】本題考查了勾股定理的應用，根據勾股定理，求得點p(—2,—5)到坐標原點。

的距離為OP=V22+52,即可求解.

【詳解】解：根據題意，得OP=-22+52=?4+25=V29.

故選：C.

8.(24-25九年級上?河南鄭州?期中)如圖，從點M(0,3)發出一束光，經x軸反射，過點

N(6,5),則這束光從點M到點N所經過的路徑的長為()

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理求兩點坐標；根據題意作N關于%軸的對

稱點P,則這束光從點”到點N所經過的路徑的長為MP,進而勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，作N關于x軸的對稱點P,則P(6,—5),

二這束光從點M到點N所經過的路徑的長為MP

???M(0,3),P(6,—5),

.■.MP=7(3+5)2+62=10,

故選：C.

9.(23-24八年級上?貴州六盤水?期末)兩點之間的距離公式：若數軸上兩點公，上分別表

示實數%1，%2>41，42兩點間的距離記作MMzI，那么M142I=|%2

問題提出：對于平面上的任意兩點心間的距離是否有類似的結論呢？我們作出了

如下猜想.

猜想：運用勾股定理，就可以推導出平面上任意兩點之間的距離公式.根據這個思路,

問題探究：

(1)①如圖1,4兩點之間的距離M1A2I=；

②如圖2,已知平面上兩點4(1,1),5(5,4)>求這兩點之間的距離|2B|；

(2)一般地，己知平面上任意兩點力Qi，yi),8(乂2,>2)，如圖3,請計算4,8兩點之間的

距離1

【答案】⑴①5；②網=5

⑵MB]-V(y2—yi)2+(x2—xi)2

【分析】本題主要考查了坐標系中兩點距離公式，正確理解題意是解題的關鍵.

(1)①根據數軸上兩點之間的距離求解即可；②根據圖形得出ac=4,BC=3,

AACB=90°,再由勾股定理求解即可；

(2)作44」x軸，BB'l久軸，垂足分別為點4,B',交于點C,然后根據勾

股定理求解即可.

【詳解】(1)解：①由數軸得：點&表示的數為一L4表示的數為4,

1=4—(―1)=5,

故答案為：5；

②由圖可知4c=5—1=4,BC=4-1=3,Z.ACB=90°,

■■■\AB\=7AC2+BC2=5；

(2)解:作44」X軸,BBUx軸,垂足分別為點A,B',交于點C,.

"-\CA\=yi—y2?\CB\=%2—Xi，

22

??.MB/=|CB|+I。//=g—%i)2+(y2-yi)-

???|481=J(%2-％1)2+仇-yi)2.

\yzK(/，x)

*,一出——'吃”)

II

_______:______________

O\A'B'x

10.(23-24八年級上?遼寧錦州?期末)如圖，在平面直角標系中，A,2兩村莊位置的坐標

分別為(2,2),(7,4),一輛汽車從原點。出發，沿x軸正方向行駛.

斗

B.

A

⑴如果汽車行駛到離N村最近的位置用點M表示，請你在圖中畫出點M,并寫出點M

的坐標；

(2)汽車行駛到點P時，到48兩村的距離相等，請你在圖中找出點P的位置，并求

點尸的坐標.(用尺規作圖，不寫作法和結論)

【答案】⑴畫圖見解析,M(2,0)

(2)畫圖見解析,P像,。)

【分析】(1)過4作4M1無軸于M,則力M最短，再寫出M的坐標即可；

(2)如圖，連接48,作線段48的垂直平分線交x軸于P,貝必P=BP,尸即為所求作的

點，再利用勾股定理求解0的坐標即可.

【詳解】(1)解：如圖，過4作4Mlx軸于M,貝MM最短，

外

B.

A?

I

I

-O----M----------------x>

???力(2,2),

（2）如圖，連接ZB,作線段48的垂直平分線交久軸于P,

則2P=BP,尸即為所求作的點，

\

A"+'/

'7尸＞

0

設P(x,O),而4(2,2),8(7,4),

.-.(2-X)2+(2-0)2=(7—％)2+(4—0)2,

解得：%=g

?.?品)?

【點睛】本題考查的是坐標與圖形，垂線段最短的含義，作線段的垂直平分線，勾股定

理的應用，熟練的利用垂直平分線的性質求解P的坐標是解本題的關鍵.

【題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

11.（24-25八年級上?河北邯鄲?期末）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個

正方形的面積如圖所示，則正方形力的邊長為（）

A.6B.36C.64D.V6

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，算術平方根的相關計算，掌握以上知識及計算是解題的

關鍵.

根據題意，正方形/的面積與8的和等于14,可得/得面積，由此即可求解.

【詳解】解：根據題意，+8=14,

.??S/=6,

??,正方形a的邊長為遙,

故選：D.

12.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）如圖，已知兩正方形的面積分別是25和169,則字

母3所代表的正方形的面積是（）

A.12B.13C.144D.194

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理.結合勾股定理和正方形的面積公式，得字母8所代表

的正方形的面積等于其它兩個正方形的面積差.

【詳解】解：字母8所代表的正方形的面積=169—25=144,

故選：C.

13.（24-25七年級上?山東東營■期中）有一個邊長為1的正方形，經過一次"生長”后，在他

的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過

一次"生長"后，變成了如圖，如果繼續"生長"下去，它將變得"枝繁葉茂"，請你算出"生

長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）

A.2025B.2024C.2023D.1

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊

長為c,那么。2+62=02.根據勾股定理求出"生長”了1次后形成的圖形中所有的正方

形的面積和，結合圖形總結規律，根據規律解答即可.

【詳解】解：如圖，

由題意得，正方形a的面積為1,

由勾股定理得，正方形8的面積+正方形c的面積=1,

???"生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，"生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

二"生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

???"生長"了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025,

故選：A

14.（2025八年級下?全國?專題練習）如圖，在Rta/IBC,AABC=90°,分別以BC,AC,

AB為直徑向外構造半圓，則圖中三個半圓的面積S①，S②，S③之間的關系為（）

A-S①+S②=S③B.S①+S③=S②

C.Sa+S/=S⑤D.S冬+S^=S⑤

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理，利用勾股定理解RtaABC可得4講+8。2=4；2,進而推

儂兀??+1.得了=呆.（竿丫,即S①+%=%.

【詳解】解：???在Rt^ZBC中,AABC=90°,

：.AB2+BC2=AC2,

?.,分別以BC,AC,AB為直徑向外構造半圓，三個半圓的面積S①，S②，S③，

1,1（BC、2_1CAC\2

■-2nATJ+-,ITJ=/'ITJ'

；.s①+s③=s②，

故選：B.

15.（23-24八年級上?福建三明?期中）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，分別以AB,

AC,BC為邊在4B同側作正方形4BDE,正方形BCGF,正方形4CMN.設△ABC的面積

為Si，△BDF的面積為S2,△D”G的面積為S3,四邊形CHET的面積為S4,四邊形4TMN

的面積為S5,則下列結論正確的是（）

A.Si+S4=S2+S3

C.Si+S5Hs2+S3+S4D.S4+S5=Si+S2+S3

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理，根據圖形列出面積的等量關系是解題的關鍵.設四邊形

DBCH的面積為S6，△CT2的面積為S7,由AB2=AU+8。2,列出等式即可求解.

【詳解】解：設四邊形DBCH的面積為S6，△CT4的面積為S7,

???乙4cB=90。，以AB,AC,BC為邊作正方形

根據勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

S]++S4+S7=S7+S5+S2+S3+$6,

??.Si+S4=S2+S3+S5.

故選：A.

16.（24-25八年級上?江蘇揚州?期中）有一個邊長為1的正方形，經過一次〃生長〃后，在它

的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過

一次"生長"后，變成了如圖，如果繼續"生長"下去，它將變得"枝繁葉茂"，那么"生長"

了2024次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】C

【分析】此題考查了勾股定理以及正方形的性質，找出規律是解題的關鍵.根據題意可

知"生長"1次后，所有正方形的面積和是1+1=2；"生長”2次后，所有的正方形的面

積和是2+1=3；可求出"生長”2024次后形成圖形中所有正方形的面積之和.

【詳解】解：由勾股定理可知，

"生長"1次，"生長”出的兩個正方形面積和=原來正方形的面積，所有正方形面積和為

1+1=2；

"生長"2次，"生長”出的四個正方形面積和=第一次"生長”出的兩個正方形的面積，所

有正方形的面積之和為2+1=3；

???經過n次"生長"后形成的圖形中所有正方形的面積和是幾+1；

經過2024次“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和是2025；

故選：C.

【題型04用勾股定理解三角形】

17.（24-25八年級上?江蘇宿遷?期末）如圖，在△4BC中，NACB=90。,47的垂直平分

線交48于點D,交2C于點E,連接CD,若△ABC的周長為12,8C=3,則△BCD的周長

為（）

c

【答案】c

【分析】此題考查了三角形的周長及垂直平分線的性質及勾股定理，解題的關鍵是熟練

運用垂直平分線的性質.根據題意，由的周長及勾股定理得4c的長，再由垂直平

分線的性質得到CD=4。，則可得到力B=4D+DB=BD+DC=5,進而即可得到

△BCD的周長.

【詳解】解：???△ABC的周長為12,BC=3,

AB+AC=12—3=9.

■■.AB=9-AC.

■：^ACB=90°,

.-.AB2=AC2+8。2,即（9_ac）2=AC2+32,

.,.AC=4,

.-.AB=9—4=5

???DE是AC的垂直平分線，

/.CD=AD.

AB=AD+DB=BD+DC=5.

.?.ABDC的周長=BD+DC+BC=5+3=8.

故選：C.

18.（24-25八年級上?江蘇常州?期末）如圖，△力BC中，ZC=9O°,48的垂直平分線分別

交AB、AC于點。、E,若8。=追，4E:EC=3:2,則力B的長為（）

A.V41B.V30C.V10D.3

【答案】B

【分析】本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質，靈活運用勾股定理是解題的

關鍵.連接BE,根據線段垂直平分線的性質得到4E=BE,再根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，連接BE,

???DE是48的垂直平分線,

AE=BE,

設4E=BE=3%,

AE,.EC=3:2,

???EC=2%,

2

222

在RtzXEBC中，BE=BC+EC,即（3x）2=（遮）+（2x）2；

解得：x=1（負值舍去）,

則AE=3x=3,EC=2x=2,

AC=AE+EC=5,

AB=y/BC2+AC2=J52+（V5）2=V30-

故選：B.

19.（24-25八年級上?河南鶴壁?期末）如圖所示，高速公路上有4B兩點相距14km,C,D為

兩村莊，已知ZM=6km,CB=8km,n41AB于點4,CB14B于點B,現要在A8上建

造一個服務站點E,使得C,D兩村莊到E站的距離相等，貝BE的長是（）

A.8kmB.7kmD.8.5km

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的應用，解一元一次方程，熟練掌握勾股定理是解題的關

鍵.

設4E=xkm,根據勾股定理得62+%2=82+(14-x)2,解方程即可得到答案.

【詳解】解：設AE=xkm,

?-?DA1AB,CBLAB,

???^DAE=乙CBE=90°,

DE2=DA2+AE2=62+x2,

CE2=CB2+BE2=82+(14-x)2,

VDE=CE,

62+x2=82+(14—x)2,

解得：x=8,

故選：A.

20.(24-25八年級上?江蘇泰州?階段練習)如圖，在RtzXABC中，2(7=90。,

/.CDB=30°,BD=y]3AD,且BC=遮，求4B的長度.

【答案】AB=2V7

【分析】本題主要考查了勾股定理的運用和在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于

斜邊的一半的性質等知識點，由在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

可求出BD的值，由8。=花1。,可得2。的長，再利用勾股定理即可求出A8的值.

【詳解】解：Z.C=90°/CDB=30°,

BD=2BC=2V3,

CD=7BD2—BC2=3,

???BD=WAD,

：.AD=2,

???AC=AD+CD=5,

AB=7AC2+BC2=V28=2V7.

【題型05勾股定理與無理數】

21.（24-25八年級上?貴州貴陽?期末）如圖，數軸上的點C表示的數是2,BC1OC于點

C,且BC=1,連接。B,以點。為圓心，OB長為半徑畫弧與數軸交于點4則點4表示的

數是（）

A.B.—V5C.2—D.—2

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵第2025次得到的

結果為.

根據勾股定理求出。8,因為04=。8,即可得到答案第2025次得到的結果為

【詳解】解：；BCLOC,

ABCO=90°,

???OB=V5C2+OC2=Vl2+22=V5,

OA=OB=V5,

???點4表示的數是逐

故選：A.

22.（24-25八年級上?吉林長春?期末）如圖，數軸上點/表示的數為一1,Rt△力BC的直角

邊48落在數軸上，且A8長為3個單位長度，BC長為1個單位長度，若以點/為圓心,

以斜邊4C長為半徑畫弧交數軸于點D,則點。表示的數為（）

___,，，，r_，，，、

~~~~—：0iR~~~~

A.V10+1B.V10-1C.V5+1D.V5-1

【答案】B

【分析】本題考查實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理求得AC的長度，即的長度

即可得出結果.

【詳解】解：由勾股定理知：AC=7AB2+BC2=V32+12=V10,

所以力。=AC-V10.

所以點。表示的數為VTU—1.

故選：B.

23.（24-25七年級上?浙江臺州?期中）教材上有這樣一個合作學習活動：如圖1,依次連結

2x2方格四條邊的中點4B,C,D,得到一個陰影正方形，設每一小方格的邊長為1,

得到陰影正方形面積為2：

⑴發現圖1這個陰影正方形的邊長就是小方格的對角線長，則小方格對角線長是

,由此我們得到一種在數軸上找到無理數的方法；

⑵如圖2,以1個單位長度為邊長畫一個正方形，以數字1所在的點為圓心，正方形的對

角線為半徑畫弧，與數軸交于M,N兩點，則點M表示的數為；

（3）如圖3,3x3網格是由9個邊長為1的小方格組成，畫出面積是5的正方形，使它的頂

點在網格的格點上.

【答案】（1）立

（2）1-72

⑶圖見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理與網格問題，勾股定理與無理數等知識點，利用勾股

定理表示出無理數是解題的關鍵.

（1）根據小正方形的對角線長等于大正方形的面積的算術平方根，可得小正方形的對

角線長；

（2）由小正方形對角線長為或可得，原點與M之間的距離為近一1,從而可得到點M

表示的數；

（3）根據大正方形的面積為5,作邊長為近的正方形即可.

【詳解】（1）解：???陰影正方形的邊長就是小方格的對角線長，

???小方格對角線長等于VL

故答案為：V2；

（2）解：如圖，小正方形的對角線長為VL

.-?原點與M之間的距離為迎-1,

???點M表示的數為1—VL

故答案為：1

（3）解：???大正方形的面積是5,

二小長方形的對角線長為遙，

24.（24-25八年級上?廣東清遠?期中）如圖所示，已知。力=0B,BC=2,0C=3.

⑴數軸上點a所表示的數為；

（2）求出點4表示的數的倒數為；

⑶在數軸上找出VTU對應的點.（保留作圖痕跡）

【答案】（D—相

⑵—正

'113

⑶見解析

【分析】本題為考查勾股定理、實數與數軸，二次根式的化簡，體現了"數形結合"的思

想，解題的關鍵構造恰當的直角三角形.

（1）根據勾股定理即可求得。8的長度，從而得出。a的長度，再考慮點/位于原點的

左側，為負數，即可得解；

（2）根據倒數的定義得到點幺表示的數的倒數，再將分母有理化即可解答；

（3）過表示數3的點D作數軸的垂線DF,取DE=1,以。為圓心，0E為半徑畫弧與數

軸相交于點，則點G就是表示怖的點.

【詳解】（1）解：=2,0C=3,

??.在Rt△BOC中,BO=7BC2+0c2=V22+32=V13,

：.0A—OB—VT^，

???點A表示的數是一V13.

故答案為：—sm

（2）解：???一VI?的倒數是一展=—票，

V1313

???點4表示的數的倒數為一等

故答案為：-晉

（3）解：如圖，點G表示的數為國.

【題型06趙爽線圖的證明及應用】

25.（24-25八年級上,重慶沙坪壩?期末）如圖，是我因古代著名的"趙爽弦圖”的示意圖，它

是由四個全等的直角三角形拼接而成.若4B=17/H=8,則正方形EFGH的邊長是

)

A.5B.6D.8

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股弦圖、全等三角形的性質，勾股定理的知識點，掌握勾股弦

圖的結構是解題關鍵.

根據三角形全等性質得出AH=BG=CF=DE=8,AG=BF=CE=BH,再根據勾股

定理求出2G,然后線段的和差即可解答.

【詳解】解：???正方形4BCD為四個全等的直角三角形拼接而成，

：.AH=BG=CF=DE=8,AG=BF=CE=BH,

在Rt△48G中，由勾股定理4G=7AB2—BG2="72—82=15,

：.HG=XG-XW=15-8=7,即正方形EFG"的邊長是7.

故選c.

26.（24-25八年級上?陜西咸陽?期末）我國古代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出了"趙

爽弦圖"，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方

形，若大正方形的面積是29,每個直角三角形的較短直角邊均為2,則中間小正方形

（陰影部分）的周長為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，設小正方形的邊長為X,小三角形的長直角邊長為

（%+2）,根據勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設小正方形的邊長為x,小三角形的長直角邊長為0+2）,

根據題意得22+（x+2）2=29,

解得x=3或x=—3（舍去），

小正方形的周長為3x4=12,

故選：D.

27.（24-25八年級上,四川遂寧?期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成"趙爽弦圖"，得到

正方形ABCD與正方形EFG”.連接EG,BD相交于點。、BD與HC相交于點尸.若

GO=GP,則器的值是（）

AD

B

34I—

5B.-D.V3

【答案】c

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識,

根據等腰直角三角形的性質可得出NEGH=45。，^FGH=90°,BC=CD,

乙BCD=90。,Z.DBC=45°,根據等邊對等角以及角的和差關系可求出

4PBG=4GBC=22.5。,根據ASA可證△BPG三△BCG,得出BP=BC,根據勾股定理

求出魚BP,即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形為正方形，

??.EH=GH,Z.FGH=(EFG=90°,BC=CD,乙BCD=90°,

，乙EGH=乙HEG=45°,乙DBC=乙CDB=45°,

???OG=GP,

??.NGOP=4OPG=67.5。，

???Z-PBG=22.5°,

又??58C=45。，

???乙GBC=22.5°,

Z.PBG=乙GBC,

???乙BGP=乙BGC=90°,BG=BG,

???△BPGw^BCG（ASA）,

??.BP=BC,

vBC=CD,乙BCD=90。,

BD=VSC2+CD2=V25C=四BP,

BP、小

故選：c.

28.（24-25八年級上?湖南長沙?期末）勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之

一，是數形結合的重要紐帶.數學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理.以RtZk4BC

（N4CB=90。）的三條邊為邊長向外作正方形4BED、正方形力C”/、正方形BCGF,連接

CE.若S正方形ABED=25,S正方形BCGF=16,貝!|CE的長為（）

DE

A.3V7B.8C.V65D.V66

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質，先求出BC=4,AC=3,

作EM1CB交CB的延長線于M,△48c三△BEM（AAS）得出BM=AC=3,

EM=BC=4,再由勾股定理計算即可得解.

【詳解】解：TS正方形B4ED=25,S正方形BCGF=16，

：.AB2=25,BC2=16,

.■.BC=4（負值舍去，不符合題意），

■：^ACB=90°,

.-.AC2=AB2-BC2=9,

■-AC=3（負值舍去，不符合題意），

如圖：作EM1CB交CB的延長線于M,

則=乙BCA=90°,

?.?四邊形力BED為正方形，

:.AB=BE,4ABE=90°,

.-.^ABC+乙EBM=^ABC+ABAC=90°,

:/EBM=Z-BAC,

△ABC=△BEM(AAS),

：.BM=AC=3,EM=BC=4,

.?.CM=BC+BM=4+3=7,

■■■CE=7cM2+BM2=V65-

故選：c.

29.（24-25八年級上?山西晉城?期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，勾股定理的

證明方法也十分豐富.下面圖形能證明。2+房=02的是（）

abab

【答案】c

【分析】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，正方形面積公式，三角形面積公

式，由正方形面積公式，三角形面積公式逐一判斷即可，掌握知識點的應用是解題的關

鍵.

【詳解】解：?(a+by=a2+2ab+b2,不能證明a2+爐=c?,不符合題意；

@c2-(a+b)2—4x=a2+b2,能證明(^+房=。2，符合題意；

③c2--(b—a)2+4x=a2+b2,能證明a?+b2=c2,符合題意；

④不能證明。2+爐=?2,不符合題意；

綜上可知：②③能證明a?+房=?2,

故選：C.

30.(24-25八年級上?上海青浦?期中)我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于

我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽創制了《勾股弦圖》，它是由四

個全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面積是2,直角三角形的直角邊長分別

為a、b,且a?+廿=。匕+io,那么大正方形的面積為().

A.8B.10C.14D.18

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理的證明、正方形的性質以及完全平方公式等知識，求

出ab=8是解題的關鍵.

由正方形性質和勾股定理列方程即可得到結論.

【詳解】解：設大正方形的邊長為C,則大正方形的面積是。2,

???a2+/72=c2,

a2+h2=ah+10,

??.c2=ab+10,

???ab—c2—10,

??,小正方形的面積為：（b—a）2=2,

BPa2+b2—lab=ah+10-2ab=2,

ab—8,

ab—c2—10,

???c2=18,

故選D.

31.（24-25八年級上?江蘇連云港?期中）如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方

形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為64,小正方形的面積為9,若用％,

y表示直角三角形的兩直角邊（久,y）,下列四個說法：@x2+y2=64；

（2）x—y=3；（3）2xy+9=64；@x+y=11.其中正確的是（）

一

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理、完全平方公式等知識.根據大正方形的面積和勾股定理

可判斷①；根據小正方形面積得到小正方形的邊長可判斷②；根據大正方形的面積

=4x直角三角形面積+小正方形的面積可判斷③；根據①③結合完全平方公式特

點即可判斷④.

【詳解】解：0久，y表示直角三角形的兩直角邊（%>y）,大正方形的面積為

64,

由勾股定理可知/+y2=64,

故①正確；

②???小正方形的面積為9,

小正方形的邊長為3,

%—y=3,

故②正確；

③大正方形的面積=4x直角三角形面積+小正方形的面積，

???^xyX4+9=2xy+9=64,

故③正確；

(4)/+y2=64,2xy+9=64,

即2xy=55,

x2+2xy+*=64+55,

有(x+y)2=119,

???%+，=舊3或無+丫=一舊①(不合題意，舍去),

故④錯誤.

綜上所述，其中正確的是①②③，

故選：B.

32.(24-25八年級上?江蘇揚州?期中)如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角

形.

圖1

⑴弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為0.較短

的直角邊為6,斜邊長為c,結合圖①，試驗證勾股定理；

⑵如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為

80,OC=5,求該飛鏢狀圖案的面積；

⑶如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD,正方形

EFGH,正方形MNKT的面積分別為Si、S2,S3,若Si+S2+S3=27,求S2.

【答案】⑴見解析

(2)120

(3)9

【分析】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質，一元二次方程.

(1)依據圖1中的大正方形的面積可以用四個三角形面積和中間小正方形面積之和表

示，也可以用直角三角形斜邊的邊長表示，即可得；

(2)可設AC=居根據勾股定理列出方程可求x,再根據直角三角形面積公式計算即

可求解；

(3)設每個三角形的面積都為y,則Si=S2+4y,S3=S2-4y,即可得S1+S2+S3=3

S2,根據SI+S2+S3=27,即可得.

【詳解】(1)解：根據題意得(a—6)2+4X+6=C2,

a2—2ab+b2+2ab=c2,

則次+ft2=c2；

(2)解：???四個全等的直角三角形，外圍輪廓線的周長為80,

.t-80+4=20,

設4。=%,則48=CD=20—%,

由勾股定理可得，0+5)2+52=(20—%)2,

x2+10%+25+25=400—40%+%2,

50%=350,

解得：%=7,

：.OA=OC+AC=7+5=12,

???該飛鏢狀圖案的面積是:X12x5x4=120；

(3)解：設每個三角形的面積都為y,

.,.Si=S2+4y,S3=S2—4y,

.,.Si+S2+S3=3s2,

又,「Si+512+S3=27,

.?.S2=9.

33.(23-24八年級下?廣西南寧?期中)我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數學家

趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖1所示〃趙爽弦圖〃(邊長為。的大正方形中放

四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c).

圖2圖3

⑴如圖1,請用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積.

方法LS陰影=；

方法2：S陰影=；

根據以上信息，可以得到等式：；

⑵小亮將"弦圖"中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理;

(3)如圖3,將圖2的2個三角形進行了運動變換，若a=6,6=3,求陰影部分的面積.

-1

【答案】(l)(a—6)2；c2—4x-ab-,c2=b2+a2

⑵見解析

⑶27

【分析】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作

用是解題的關鍵.

(1)方法1：求得小正方形的邊長為(a—b),方法2：大正方形的面積減4個直角三

角形的面積，據此計算即可；

(2)S大正方形=S陰影正方形+45入列式計算即可證明；

(3)先用勾股定理計算出c,再利用S空白=5大正方形一2S△計算面積即可.

【詳解】(1)解：方法1：S陰影=(a—b)2；

方法2：S陰影=-4X產6；

??,(a-b)2=c2—4X|ab,BRc2=(a—b)2+4x^ab=b2+a2—2ab+2ab=b2+a2,

故?2=Z)2+a2；

根據以上信息，可以得到等式：。2=爐+。2；

故答案為：(a—6)2；c2—4x|ab：c2=b2+a2；

⑵解：「S大正方形=S陰影正方形+4S4,

-1

即(a+b)2=c2+4--ab,

整理得必+2。力+&2=c2+2ab,

故層+ft2=c2；

(3)解：如圖,S陰影=S正方形ZBCD—25人

va=6,b=3,

???c=V62+32=3V5,

貝1JS正方形ABCD=c2=45,

；.S陰影=c2—2x5a6=45—6x3=27,

故陰影部分的面積為27.

34.(23-24七年級下?遼寧沈陽?期末)【探究發現】

我國三國時期的數學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊

形4BED和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a,b,c

之間的一個重要結論：a2+b2=c2.

圖3

(1)請你將數學家趙爽的說理過程補充完整：

已知：RtZXABC中，/.ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證明：由圖可知S正方形｛BED=4sA4BC+S正方形CFGH,

S正方形4BE。=C2?^AAB