第⑤在中，內角成等差數列．知識點三：實際應用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．（3）南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解題方法總結】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．題型一：正弦定理的應用例1．（2023·福建龍巖·高三校聯考期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習）在中，設命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4變式1．（2023·全國·高三專題練習）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國語中學校考階段練習），，分別為內角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中校考期中）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學校考期中）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．變式5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【解題方法總結】（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對角；．（3）兩邊一對角，求第三邊．題型二：余弦定理的應用例4．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．例5．（2023·河南·高三統考階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或例6．（2023·全國·高三專題練習）設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．變式6．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．變式7．（2023·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【解題方法總結】（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值題型三：判斷三角形的形狀例7．（2023·甘肅酒泉·統考三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例8．（2023·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形例9．（2023·全國·高三專題練習）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形變式8．（2023·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形變式9．（2023·河南周口·高三校考階段練習）已知的三個內角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形變式10．（2023·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形變式11．（2023·北京·高三101中學校考階段練習）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【解題方法總結】（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．題型四：正、余弦定理與的綜合例10．（2023·河南南陽·統考二模）銳角是單位圓的內接三角形，角的對邊分別為，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1例11．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學校考階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.例12．（2023·重慶·統考三模）已知的內角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．變式12．（2023·山東濱州·統考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．變式13．（2023·全國·高三專題練習）在中，，則（

）A． B． C． D．變式14．（2023·青海·校聯考模擬預測）在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．變式15．（2023·全國·校聯考三模）已知a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，.(1)求證：a，b，c成等比數列；(2)若，求的值.變式16．（2023·天津武清·天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大小；(2)若，，求邊及的值．【解題方法總結】先利用平面向量的有關知識如向量數量積將向量問題轉化為三角函數形式，再利用三角函數轉化求解．題型五：解三角形的實際應用方向1：距離問題例13．（2023·全國·高三專題練習）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發展?無限可能和無限的科技創新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為______米.例14．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.例15．（2023·河南鄭州·高三統考期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.變式17．（2023·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．方向2：高度問題例16．（2023·重慶·統考模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_________m．

例17．（2023·河南·校聯考模擬預測）中國古代數學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

例18．（2023·全國·高三專題練習）為了培養學生的數學建模和應用能力，某校數學興趣小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為______變式18．（2023·全國·模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂的仰角分別為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．方向3：角度問題例19．（2023·福建廈門·高三廈門一中校考期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，某標準足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時，到達最佳射門位置．例20．（2023·全國·高三專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角________．例21．（2023·全國·高三專題練習）游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于________．變式19．（2023·全國·高三專題練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，B的視角最大.【解題方法總結】根據題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解．題型六：倍角關系例22．（2023·全國·高三專題練習）記的內角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.例23．（2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.（1）求證：；（2）若，求.例24．（2023·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．變式20．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知分別是的角的對邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.變式21．（2023·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．變式22．（2023·福建三明·高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.題型七：三角形解的個數例25．（2023·貴州·統考模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例26．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定例27．（2023·河南南陽·高三統考期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．變式23．（2023·全國·高三專題練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．變式24．（2023·北京朝陽·高三專題練習）在下列關于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④變式25．（2023·全國·高三專題練習）設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式26．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．變式27．（2023·全國·高三專題練習）若滿足的恰有一個，則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結】三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．題型八：三角形中的面積與周長問題例28．（2023·全國·高三對口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．例29．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）在中，內角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．例30．（2023·四川成都·校考模擬預測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．變式28．（2023·河北石家莊·統考三模）已知中，角，，的對邊長分別是，，，，且.(1)證明：；(2)若，求外接圓的