第②當年產量為多少千件時，企業所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【復習指導】：求解已知函數模型解決實際問題的關鍵(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．三．構造函數模型的實際問題命題點1構造二次函數模型例3某居民小區要建一座休閑場所，如圖，它的主體造型平面圖是一個長為4，寬為2的矩形．居民小區計劃在上建一座花壇(圖中陰影部分)，在和上建兩個沙坑．若，記花壇的面積為，兩個沙坑的總面積為(點與正方體的頂點不重合)．(1)求關于的函數表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．(2)當為何值時，的值最大？并求出這個最大值．命題點2構造指數函數、對數函數模型例4一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？命題點3構造分段函數模型例5如圖，病人服下一粒某種退燒藥后，每毫升血液中含藥量(微克)與時間(小時)之間的關系滿足：前5個小時按函數遞增，后5個小時隨著時間變化的圖像是一條線段．(1)求關于的函數關系式；(2)已知每毫升血液中含藥量不低于3微克時有治療效果，含藥量低于3微克時無治療效果，試問病人服下一粒該退燒藥后有治療效果的時間為多少小時？【復習指導】：(1)在應用函數解決實際問題時需注意以下四個步驟：①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇函數模型．②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的函數模型．③解模：求解函數模型，得出數學結論．④還原：將數學結論還原為實際意義的問題．(2)通過對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識和方法構建函數模型解決問題，提升數學建模核心素養．1．下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為（

）①我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業本再上學；②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；③我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①2．某農科院學生為研究某花卉種子的發芽率和溫度（單位:）的關系，在個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據得到下面的散點圖.由此散點圖，在至之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．3．水以恒速注入下圖所示容器中，則水的高度與時間的函數關系是（

）A．B．C．D．4．在用計算機處理灰度圖像（即俗稱的黑白照片）時，將灰度分為256個等級，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根據其明暗漸變程度用0至255之間對應的數表示，這樣可以給圖像上的每個像素賦予一個“灰度值”.在處理有些較黑的圖像時，為了增強較黑部分的對比度，可對圖像上每個像素的灰度值進行轉換，擴展低灰度級，壓縮高灰度級，實現如下圖所示的效果：則下列可以實現該功能的一種函數圖象是（

）A．B．C．D．5．在一次數學實驗中，某同學運用圖形計算器集到如下一組數據：1234580.51.52.082.52.853.5在四個函數模型（a，b為待定系數）中，最能反映x，y函數關系的是（

）A． B．C． D．6．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游記》第五十回“道高一尺魔高丈，性亂情昏錯認家，可恨法身無坐位，當時行動念頭差，”用來比喻取得一定成就后遇到的障礙會更大或正義終將戰勝邪惡，若用下列函數中的一個來表示這句話的含義，則最合適的是（

）A．， B．，C．， D．，7．某校擬用一種噴霧劑對宿舍進行消毒，需對噴霧完畢后，空氣中每立方米藥物殘留量（單位：毫克）與時間（單位：小時）的關系進行研究，為此收集部分數據并做了初步處理，得到如下散點圖.現擬從下列四個函數模型中選擇一個估計與的關系，則應選用的函數模型是（

）A． B．C． D．8．某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調整，結果調整初期利潤增長迅速，隨著時間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當的函數模型來反映該超市調整后利潤y與售出商品的數量x的關系，則可選用（

）A．一次函數 B．二次函數C．指數型函數 D．對數型函數9．假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示．橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是（

）A．投資3天以內（含3天），采用方案一B．投資4天，不采用方案三C．投資6天，采用方案一D．投資12天，采用方案二10．學校宿舍與辦公室相距，某同學有重要材料要送給老師，從宿舍出發先勻速跑步3分鐘來到辦公室，停留2分鐘，然后勻速步行10分鐘返回宿舍.在這個過程中，這位同學行走的路程是時間的函數，則這個函數圖象是（

）A． B．C． D．11．已知甲?乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城市駛往乙城市，到達乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市．汽車從甲城市出發時，時間x（小時）記為0，在這輛汽車從甲城市出發至返回到甲城市的這段時間內，該汽車離甲城市的距離y（千米）表示成時間x（小時）的函數為（

）A．B．C．D．12．在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度y(℃)隨著時間t(min)變化的情況由計算機記錄后顯示的圖象如圖所示，現給出下列說法：①前5min溫度增加越來越快；

②前5min溫度增加越來越慢；③5min后溫度保持勻速增加；④5min后溫度保持不變．其中說法正確的是（）A．①④B．②④C．②③D．①③13．年至年北京市電影放映場次（單位：萬次）的情況如圖所示，將年份作為自變量，當年電影放映場次作為函數值，下列函數模型中，最不適合近似描述這年間電影放映場次逐年變化規律的函數是（）A． B．C． D．14．甲、乙兩人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到中點改為跑步，而乙則是先跑步，到中點后改為騎自行車，最后兩人同時到達B地．已知甲騎自行車比乙騎自行車快．若每人離開甲地的距離與所用時間的函數用圖象表示，則甲、乙對應的圖象分別是（）A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)15．如圖，陰影部分的面積S是h(0≤h≤H)的函數，則該函數的圖像是圖中的()A． B． C． D．16．據統計某地區1月、2月、3月的用工人數分別為0.2萬，0.4萬和0.76萬，則該地區這三個月的用工人數y(萬人)關于月數x的函數關系近似地是()A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)C．y＝ D．y＝0.2＋log16x17．生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數之間的函數關系式為（其中為常數），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（

）參考數據：參考時間軸：A．宋 B．唐 C．漢 D．戰國18．牛頓冷卻定律描述物體在常溫環境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環境溫度．若℃，現有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃，大約還需要（參考數據：，）（

）A．9分鐘B．10分鐘C．11分鐘D．12分鐘19．某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量(單位：)與時間(單位：)間的關系式為，其中為正常數.如果一定量的廢氣在前的過濾過程中污染物被消除了那么污染物減少到最初含量的還需要經過多長時間？(結果四舍五入取整數，參考數據：)（

）A． B． C． D．20．為踐行"綠水青山就是金山銀山”的發展理念，全國各地對生態環境的保護意識持續增強，某化工企業在生產中產生的廢氣需要通過過濾使廢氣中的污染物含量減少到不高于最初的20%才達到排放標準．已知在過濾過程中，廢氣中污染物含量y（單位：mg/L，）與時間t（單位：h）的關系式為（，k為正常數，表示污染物的初始含量），實驗發現廢氣經過5h的過濾，其中的污染物被消除了40%．則該企業生產中產生的廢氣要達標排放需要經過的過濾時間至少約為（

）（結果四舍五入保留整數，參考數據）A．12h B．16h C．26h D．33h21．從盛滿20L純酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填滿，這樣繼續下去，若倒第k次時共倒出純酒精xL，倒第次時共倒出純酒精L，則的表達式為（

）A． B．C． D．22．已知某種食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數關系（為自然對數的底數，為常數），且在時的保鮮時間是192小時，在時的保鮮時間是48小時，則這種食品在時的保鮮時間是（

）A．12小時 B．18小時 C．24小時 D．36小時23．在“3820”戰略工程思想精髓的指導下，福州經濟持續增長．據統計，2011年至2021年十年間，福州GDP增幅達，位列全國過去十年主要城市GDP增幅第2名．假設從2011年起福州GDP保持相同的年增長率，要增長到原來的y倍，需經過x年，則函數的圖像大致為（

）A．B．C．D．24．當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經過N年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規律，生物體內碳14原有初始質量為Q，該生物體內碳14所剩質量y與死亡年數x的函數關系為（

）A． B．C． D．25．某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是________．26．研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.27．如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%，那么至少需要將____________塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度低于原來的0.5倍．（參考數據：．）28．某商場為了實現100萬元的利潤目標，準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在利潤達到5萬元后，獎金（單位：萬元）隨利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%，現有三個獎勵模型：①，②，③，則該符合該商場要求的模型為______（填序號）.29．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，后物體的溫度可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常數．若將的物體，放在的空氣中冷卻，可測得以后物體的溫度是由此可求出的值約為．現將的物體，放在的空氣中冷卻，則開始冷卻______分鐘（精確0.01）后物體的溫度是．（參考數據：）30．秋冬季是流感的高發季節，為了預防流感，某學校決定用藥熏消毒法對所有教室進行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量（）與時間（）（）成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數關系式為（為常數，），據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到（）以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前__________小時進行消毒工作.31．某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到小時）32．某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的年收益與投資額x成正比，其關系如圖1：投資股票等風險型產品的年收益與投資額x的算術平方根成正比，其關系如圖2．(1)分別寫出兩種產品的年收益和的函數關系式；(2)該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?33．某鄉鎮響應“綠水背山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”．經調研發現：某水果樹的單株產量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元．己知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．(1)求函數的解析式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？34．中國地大物博，大興安嶺的雪花還在飛舞，長江兩岸的柳枝已經發芽，海南島上盛開著鮮花．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，專家發現，某種兩歲燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度米秒之間滿足關系：，其中表示燕子耗氧量的單位數．(1)當該燕子的耗氧量為個單位時，它的飛行速度大約是多少？(2)若某只兩歲燕子飛行時的耗氧量變為原來的倍，則它的飛行速度大約增加多少？參考數據：，35．2022年12月7日，國務院發布了精準防控新冠疫情的十條最新措施，以減輕疫情防控對企業經營和民眾生活帶來的損失．某公司為了盡快恢復經營活動，決定對業績在50萬元到200萬元的業務員進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y（單位：萬元）隨著業績值x（單位：萬元）的增加而增加，但不超過業績值的．(1)若某業務員的業績為100萬，核定可得5萬元獎金，若該公司用函數（k為常數）作為獎勵函數模型，則業績200萬元的業務員可以得到多少獎勵？（參考數據）(2)若采用函數，求a的范圍．36．2022年第24屆北京冬季奧林匹克運動會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運會激發了大家對冰雪運動的熱情，與冰雪運動有關的商品銷量持續增長．對某店鋪某款冰雪運動裝備在過去的一個月內（以30天計）的銷售情況進行調查發現：該款冰雪運動裝備的日銷售單價（元/套）與時間x（被調查的一個月內的第x天）的函數關系近似滿足（k為正常數）．該商品的日銷售量（個）與時間x（天）部分數據如下表所示：x10202530110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出兩種函數模型：①，②，請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述該商品的日銷售量與時間x的關系，并求出該函數的解析式；(3)求該商品的日銷售收入（，）（元）的最小值．37．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影響．在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產，減輕經濟下降對企業和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元滿足（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件．已知生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（此處每件產品年平均成本按元來計算）(1)將2020年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？38．近日，某市環保研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數與空氣污染指數的關系為：，其中空氣污染指數與時刻（小時）和的算術平均數成反比，且比例系數為，是與氣象有關的參數，．(1)求空氣污染指數的解析式和最大值；(2)若用每天環境綜合污染指數的最大值作為當天的綜合污染指數，該市規定：每天的綜合污染指數最大值不得超過1．試問目前市中心的綜合污染指數是否超標？請說明理由．39．某企業生產兩種產品，根據市場調查和預測，A產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關系如圖（1）所示；產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示.(1)分別將兩種產品的利潤表示為投資額的函數.(2)該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（結果精確到0.1萬元）？40．某企業投資萬元購入一套垃圾處理設備.該設備維護費用（萬元）與使用時間（年）之間滿足函數關系，此外該設備每年的運轉費用是萬元.(1)求該企業使用這套設備年的年平均垃圾處理費用（萬元）；(2)該企業使用這套設備幾年年平均垃圾處理費用最低？最低是多少萬元？41．成都市某高中為了促使學生形成良好的勞動習慣和積極的勞動態度，建設了“三味園”生物研學基地.某班級研究小組發現某種水果的產量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足關系，且投入的肥料費用不超過6百元.另外，還需要投入其它的費用百元.若此種的水果市場價格為18元/千克（即18百元/百千克），且市場始終供不應求.記這種水果獲得的利潤為（單位：百元）.(1)求函數的關系式，并寫出定義域；(2)當肥料費用為多少時，這種水果獲得的利潤最大？最大利潤是多少？42．在20世紀30年代，美國地震學家里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，就是我們常說的甲氏震級M，其計算公式為．其中A是被測地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）．(1)假設在一次地震中，測震儀記錄地震的最大振幅是，此時標準地震的振幅是0.001，求這次地震的震級；(2)級地震給人的震感已比較明顯，求級地震的最大振幅約是級地震的最大振幅的多少倍？（精確到1倍，參考數據：）43．學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數關系，要求如下：（1）函數的圖象接近圖示；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現有以下三個函數模型供選擇：①；②；③.(1)請你從中選擇一個合適的函數模型并說明理由；(2)根據你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數的解析式；(3)已知學校要求每天的分數不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結果保留整數）.44．學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數關系，要求及圖示如下：（1）函數是區間上的增函數；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現有三個函數模型①，②，③供選擇.(1)請你從中選擇一個合適的函數模型并說明理由，再根據所給信息求出函數的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結果保留整數）45．某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設一片森林原來的面積為畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當面積是原來的倍時，所用時間是年．(1)求森林面積的年增長率；(2)到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經植樹造林多少年？46．有一種放射性元素，最初的質量為，按每年衰減(1)求兩年后，這種放射性元素的質量；(2)求年后，這種放射性元素的質量（單位為：）與時間的函數表達式；(3)由（2）中的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期（剩留量為原來的一半所需的時間