考點一銳角三角函數的概念1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的三個三角函數的定義如下表所示：函數名稱定義式自變量的取值范圍函數值的取值范圍正弦sinA=余弦cosA=正切tanA=1.銳角的_______統稱為銳角的三角函數．【答案】正弦、余弦、正切【解析】【分析】根據初中所學三角函數的種類直接填寫即可得到答案．【詳解】解：銳角的正弦、余弦、正切統稱為銳角的三角函數．【點睛】本題考查初中所學銳角三角函數種類，熟記三種三角函數是解決問題的關鍵．3．同角三角函數之間的關系2.同角三角函數關系：______；【答案】1【解析】【分析】根據三角函數值定義，結合圖形，數形結合即可得到答案．【詳解】解，如圖所示：根據三角函數值定義：，，中，，，故答案為：．【點睛】根據三角函數值定義，作出圖形，結合勾股定理數形結合是解決問題的關鍵．考點2特殊角的三角函數值1．30°、45°、60°角的三角函數值∠A30°45°60°sinAcosAtanA12．特殊三角形三邊的比（1）30°直角三角形三邊的比（由小到大）是（2）45°直角三角形三邊的比（由小到大）是考點3解直角三角形1．解直角三角形的含義3.在直角三角形中，由已知元素求出_________的過程，叫做解直角三角形．【答案】未知元素【解析】【分析】根據解直角三角形定義：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形直接填寫即可得到答案．【詳解】解：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形，故答案為：未知元素．【點睛】本題考查解直角三角形定義，熟記在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形是解決問題的關鍵．4.直角三角形中各元素之間的一些相等關系，如圖：（1）角角關系：兩銳角互余，即_________；（2）邊邊關系：勾股定理，即_________；【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據三角形內角和定理即可得到答案；（2）根據勾股定理即可得到答案．【詳解】解：（1）在中，，結合三角形內角和定理可知，從而得到，即直角三角形中，角角關系：兩銳角互余；（2）根據勾股定理，在中，，如圖所示，．【點睛】本題考查直角三角形的性質，熟記角角關系：兩銳角互余；邊邊關系：勾股定理，是解決問題的關鍵．（3）邊角關系：銳角三角函數，即sinA=、cosA=、tanA=、sinB=、cosB=、tanB=．5.解直角三角形，可能出現的情況歸納起來只有下列兩種情形：（1）已知兩條邊：一_____邊和一______；兩_______；（2）已知一條邊和一個銳角：一______和一______；____和一______．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．【答案】①.直角②.斜邊③.直角邊④.直角邊⑤.銳角⑥.斜邊⑦.銳角【解析】【分析】根據解直角三角形的定義及常見題型總結歸納即可得到答案．【詳解】解：（1）已知兩條邊：一直角邊和一斜邊；兩直角邊；（2）已知一條邊和一個銳角：一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角；這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．故答案為：直角，斜邊，直角邊；直角邊，銳角，斜邊，銳角．【點睛】本題考查解直角三角形定義，熟記解直角三角形相關題型，總結歸納情況是解決問題的關鍵．考點4解直角三角形的實際應用1．仰角與俯角6.當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為_____；當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為_____．【答案】①.仰角②.俯角【解析】【分析】根據仰角定義：當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角；俯角的定義：當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角直接填寫即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角，故答案為：仰角；俯角．【點睛】本題考查仰角、俯角定義，熟記根據仰角定義：當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角；俯角的定義：當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角，是解決問題的關鍵．2．坡角與坡度7.坡面與水平面所成的角稱為_______；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為______；坡角與坡度的關系為：坡角的_______就是坡度，坡角越____，坡度越大．【答案】①.坡角②.坡度③.正切值④.大【解析】【分析】根據坡角、坡度的定義，以及坡角與坡度的關系直接填空即可得到答案．【詳解】解：坡面與水平面所成的角稱為坡角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度；坡角與坡度的關系為：坡角的正切值就是坡度，坡角越大，坡度越大．故答案為：坡角，坡度，正切值，大【點睛】本題考查坡角、坡度定義以及坡角與坡度的關系，熟記這些基礎知識是解決問題的關鍵．坡度：；坡角:．3．方向角8.指北或指南方向線與目標方向所成的小于的角叫做_________；【答案】方向角【解析】【分析】根據方向角定義：指北或指南方向線與目標方向所成的小于的角直接填寫即可得到答案．【詳解】解：指北或指南方向線與目標方向所成的小于的角叫做方向角，故答案為：方向角．【點睛】本題考查方向角的定義，熟記指北或指南方向線與目標方向所成的小于的角叫做方向角是解決問題的關鍵．4．其它實際問題銳角三角函數的定義1．銳角三角函數是線段的比．正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，其本質是直角三角形兩條線段的比，它只是一個比值，其大小只與銳角的大小有關，而與所在的直角三角形的大小無關．2．銳角三角函數與直角三角形銳角三角函數是在直角三角形中定義的，也只能在直角三角形中應用，如果沒有直角三角形，可考慮添加輔助線構造直角三角形．3．銳角三角函數定義式的變換函數名稱定義式求分子求分母正弦余弦正切4．互余的兩個角的三角函數關系如果∠A+∠B＝90°，則，；5．三角函數與參數法由于三角函數是比值，可以利用參數來表示作比的兩條線段．如，可設a=3k，b=5k，再用勾股定理計算出b=4k．【例題】9.如圖，A，B，C，D均為網格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】連接CM，DN，根據題意可得，從而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理證明△CDN是直角三角形，然后再利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【詳解】解：取格點M，連接CM，在CM上取格點N，連接DN，由題意得：，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：，，，∴，∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值為3，故選：A．【點睛】本題主要考查了求正切值，勾股定理逆定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．10.已知：如圖，點O是直線l外一點，點O到直線l的距離是4，點A、點B是直線l上的兩個動點，且cos∠AOB=，則線段AB的長的最小值為（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】如圖，過點O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點B關于直線的對稱點，連接，，交直線于點T，連接BT，過點A作AH⊥BT于H，過點T作TW⊥AB于W．首先證明當A，O，共線時，的值最小，此時AB的值最小，解直角三角形求出此時AB的值，可得結論．【詳解】解：如圖，過點O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點B關于直線的對稱點，連接，，交直線于點T，連接BT，過點A作AH⊥BT于H，過點T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小時，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴當A，O，共線時，的值最小，此時AB的值最小，∵直線l'垂直平分線段，∴TB=，∴∠=∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假設TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TBTH=2k，∴AH==4k，∴AB=，∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形，軸對稱最短問題，解題的關鍵是學會利用軸對稱的性質添加輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于選擇題中的壓軸題．11.已知是銳角，，求，的值【答案】，【解析】【分析】根據題意，作出包含的直角三角形，利用三角函數定義、勾股定理等知識，數形結合求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：在中，是銳角，，設，則由勾股定理得，，．【點睛】本題考查求銳角的三角函數值，涉及正弦、余弦和正切定義、勾股定理等知識，根據題意，作出圖形，數形結合求解三角函數是解決問題的關鍵．【練經典】12.如圖，在Rt中，，，，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據勾股定理求出AB，再根據正弦的定義：對邊比斜邊，進行計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查正弦的定義．熟練掌握正弦的定義是解題的關鍵．13.在菱形中，，點在直線上，，連接，則的正切值為_________．【答案】或【解析】【分析】連接AC交BD于O，由菱形的性質得OB=OD，AC⊥BD，，設OA=a，則，分兩種情況，分別求出OE的長，即可解決問題．【詳解】解：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，，設OA=a，則AB=2OA=2a，則，分兩種情況：①如圖1，點E在線段BD上時，在Rt△AOE中，②如圖2，點E在射線DB上時，∴OE=BE+OB=，在Rt△AOE中，綜上所述，∠AED的正切值為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了菱形的性質、含角的直角三角形的性質、銳角三角函數定義以及分類討論等知識，熟練掌握菱形的性質，進行分類討論是解題的關鍵．14.已知中，，求、和．【答案】，，【解析】【分析】根據題意，作出符合題意的直角三角形，利用三角函數定義、勾股定理等知識，數形結合求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：在中，，則，,，由勾股定理得，．【點睛】本題考查解直角三角形及求三角函數值，涉及正切定義、勾股定理、余弦定理等知識，根據題意，作出圖形，數形結合是解決問題的關鍵．【練易錯】易錯點：混淆三角函數的定義式而出錯15.如圖，的頂點是正方形網格的格點，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】取格點D，構造等直角三角形，通過勾股定理計算出，即可求解；【詳解】解：如下圖所示，由圖可得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查利用網格圖求角的三角函數、直角三角形的性質，熟練掌握三角函數定義，利用網格構造直角三角形是解題的關鍵．特殊角的三角函數值1．利用銳角三角函數的變化規律記特殊角的三角函數值銳角的正弦是增函數，30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子都置于里面，被開方數依次是1、2、3；銳角的余弦是減函數，30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子都置于里面，被開方數依次是3、2、1；銳角的正切是增函數，中間1，前除后乘．2．利用特殊角的直角三角形三邊的關系記特殊角的三角函數值（1）30°直角三角形三邊的比（由小到大）是（2）45°直角三角形三邊的比（由小到大）是【例題】16.若，是一個三角形的兩個銳角，且滿足.則此三角形的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據非負數的性質可知，；根據都是銳角可知，從而判斷三角形的形狀．【詳解】∵，∴，，∴，，又∵，是一個三角形的兩個銳角，∴，，∴此三角形的形狀是等邊三角形．故選C．【點睛】考查了三角形的形狀問題、三角函數值和絕對值的非負性，熟記特殊角的三角函數值和絕對值的非負性是解答此題的關鍵．17.計算（1）.（2）.【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）準確計算特殊角的三角函數值即可；（2）注意去絕對值號時是否變號，的奇次冪結果仍是．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值的運算，去絕對值以及的大指數冪，準確記憶特殊角三角函數值是解題的關鍵．【練經典】18.點關于原點中心對稱的點的坐標是（）A.（，） B.（，）C.（，） D.（，）【答案】D【解析】【分析】利用特殊角的三角函數值確定出M坐標，找出關于原點中心對稱的點坐標即可．【詳解】解：點化簡得：，所以關于原點對稱的點的坐標是（，），故選：D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，原點對稱，熟練掌握特殊角的三角函數值，原點對稱是解題的關鍵．19.計算：（1）sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果．（2）原式利用二次根式的性質，負整數指數冪法則，特殊角的三角函數值以及絕對值的代數意義化簡即可得到結果；【小問1詳解】sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°【小問2詳解】【點睛】此題考查了特殊三角函數值及實數的運算，熟記特殊三角函數值、掌握運算法則是解本題的關鍵．【練易錯】易錯點：混淆特殊角的三角函數值導致錯誤20.計算【答案】0【解析】【分析】結合特殊角的三角函數值計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數值的計算，及實數的混合計算，二次根式的性質，能夠熟練的寫出特殊角的三角函數值是解題關鍵．解直角三角形1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊a，b由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊，如c，a由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊，如∠A，b∠B=90°－∠A，銳角、對邊，如∠A，a∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角，如c，∠A∠B=90°－∠A，，2．非直角三角形，一般通過作垂線，構造直角三角形求解【例題】21.如圖，圓規兩腳OA，OB張開的角度∠AOB為，，則兩腳張開的距離AB為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據圓規兩角張開形成等腰三角形，過點作，交于點，解直角三角形即可．【詳解】解：過點作，交于點，∵是圓規兩腳，∴，∴，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和解直角三角形．熟練掌握等腰三角形的性質和解直角三角形是解題的關鍵．22.如圖，中，，，已知，，則______．【答案】10【解析】【分析】根據題意得出，則，設，則，根據三角形面積求出，，進而得出，運用三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴設，則，∵，即，∴，即，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，讀懂題意，根據銳角三角函數求出三角形的各邊長是解本題的關鍵．23.如圖，在平面直角坐標系中，，連結并延長至C，連結，若滿足，，則點C的坐標為_________．【答案】【解析】【分析】根據相似三角形的判定和性質得出，進而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，從而可知的長，進而可知的值，由，設，，根據的值列出關于的方程，解得的值，則可得點的坐標．【詳解】解：，∴，又，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如圖，過點作軸于點，，設，，，，，，解得：，經檢驗，是原方程的解．∴，，點坐標為：．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理在計算中的應用及解分式方程等知識點，解題的關鍵是作輔助線構造直角三角形．24.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長．【答案】3+【解析】【分析】過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據含30度角的直角三角形求出CD，根據勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+，答：AB的長是3+．【點睛】此題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握了解直角三角形，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理．【練經典】25.如圖，在中，，點E在線段上，在延長線上取一點D，連接，使得，若，則的面積為_______．【答案】30【解析】【分析】過點A作于點F，過點E作于點M，過點E作，延長AD，過點C作于點G，依次證明，，由相似三角形的性質可知，，結合已知條件可得；設，則，，，證明，即有，由，可推導，即，，由三角函數即可確定，易得；設，則，，在中，由勾股定理可解得，則有，；證明，借助相似三角形的性質可計算，然后利用三角形面積公式獲得結論．【詳解】解：過點A作于點F，過點E作于點M，過點E作，延長AD，過點C作于點G，∵，即，又∵∴，∴，又∵，∴，∴，，即，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∵，，∴，，∵，，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴,∵，∴，設，則，∴，在中，由勾股定理可得，∵，∴，解得，即，，∴，∵，，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：30．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數、三角形面積公式等知識，正確作出輔助線，靈活運用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．26.如圖所示，在四邊形中，，，M為中點，動點P從點B出發沿向終點C運動，連接，，取中點N，連接，求線段的最小值_____．【答案】2【解析】【分析】過點D作于E，根據垂線段最短得到點P與點E重合時，最小，根據解直角三角形的性質求出，根據三角形中位線定理計算，得到答案．【詳解】解：如圖，過點D作于E，則當點P與點E重合時，最小，在中，，，∴，∵M為中點，N是中點，∴是的中位線，∴，∴線段的最小值為，故答案為：2．【點睛】本題考查解直角三角形的性質、垂線段最短，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．27.已知：在中，是直徑，是的切線，連接與交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，如圖所示，在中，是直徑，是的切線，得到，，從而，又，得到，結合是的一個外角，根據外角性質即可得到；（2）由（1）可知，在中，，，得到，再根據勾股定理得到，從而求出的半徑為．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：在中，是直徑，，，即，是的切線，，即，，在中，，，是的一個外角，；【小問2詳解】解：如圖所示：由（1）知，在中，，則，，，，即的半徑為．【點睛】本題考查圓綜合，涉及直徑所對的圓周角是直角、切線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角性質、勾股定理、三角函數求線段長等知識，熟練掌握圓中相關知識以及圓與三角形綜合求角度與線段長的方法是解決問題的關鍵．【練易錯】易錯點：忽略解直角三角形的前提條件，在非直角三角形中直接求解導致錯誤28.已知：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．【答案】sinB=【解析】【分析】過C作CD⊥AB于D，根據三角形的面積求出CD，根據銳角三角函數的定義求出即可．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，∵△ABC中，AB=9，△ABC的面積等于9，

∴×AB×CD=9，

∴CD=2，

∴sinB=.【點睛】本題考查三角形的面積和銳角三角函數的定義的應用，主要考查學生的計算能力．解直角三角形的實際應用1．解直角三角形的實際應用的一般步驟畫示意圖→轉化為數學問題→構造直角三角形→解直角三角形2．解直角三角形的實際應用中的一些技巧（1）有“斜”用“弦”．斜邊是已知量，求直角邊，就用正弦或余弦；（2）無“斜”用“切”．一條直角邊是已知量，求另一條直角邊，就用正切；（3）避“除”就“乘”．一般選取乘積關系式，，，盡量少用或不用作除的關系式；（4）有“始”去“中”．能用原始數據，盡量不用中間數據，這樣可以提高計算的精確程度．【例題】29.上午9時，一條船從A處出發，以每小時40海里的速度向正東方向航行，10時到達B處（如圖）．從A，B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么船在B處時與小島M的距離（）A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里【答案】D【解析】【分析】過點B作于點N．根據三角函數求的長，從而求的長．【詳解】解：如圖，過點B作于點N．由題意得，海里，．作于點．在中，海里．在直角中，，則，所以（海里）．故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形、勾股定理的應用等知識，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．30.如圖，傳送帶和地面所成斜坡坡度為1：3，若它把物體從地面點A處送到離地面1米高的點B處，則物體從A到B所經過的路程為（）A.3米 B.米 C.2米 D.3米【答案】B【解析】【分析】過點B作BC⊥AC于點C，構造直角△ABC解決問題．【詳解】解：過點B作BC⊥AC于點C，∵，∴AC=3，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=米，故選擇B．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，解決問題的關鍵是構造直角三角形．31.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長為________米（結果保留根號）【答案】【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分別在Rt△CEB與Rt△DFA中使用三角函數即可求解.【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB與Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．32.如圖，在某居民樓樓頂有一廣告牌，在距樓底點左側水平距離的點處有一個山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底點到坡頂點的距離，在坡底點處測得居民樓樓頂點的仰角為，在坡頂點處測得居民樓樓頂廣告牌上端點的仰角為，居民樓，廣告牌與山坡的剖面在同一平面內，則廣告牌的高度約為_______（結果精確到0.1，參考數據：，，）【答案】7.5米【解析】【分析】作于，作于，則，，，求出，，則，由三角函數定義求出，則，證出是等腰直角三角形，則，求出即可．【詳解】解：作于，作于，如圖所示：則，，，山坡的坡度，，，在中，，，，在中，，，，又，，是等腰直角三角形，，，故答案為：7.5米．【點睛】本題考查了直角三角形的應用坡度、仰角問題，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【練經典】33.如圖，商用手扶梯的坡比為，已知扶梯的長為12米，則小明乘坐扶梯從處到處上升的高度為（）A.6米 B.米 C.12米 D.米【答案】A【解析】【分析】根據坡比的定義可知，設AC=x，則BC=x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可．【詳解】解：∵商用手扶梯AB的坡比1：，

設AC=x米，則BC=x米，

∴，

解得：x=6，

∴AC=6米，

故選：A．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題以及勾股定理．理解坡度的定義是解此題的關鍵．34.如圖，嘉琪在一座橋的附近試飛一架小型無人機，為了測量無人機飛行的高度，嘉琪通過操控裝置測得無人機俯視橋頭，的俯角分別為和，且，，在同一水平線上，已知橋米，則無人機的飛行高度（）A.15米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】由、可得出、，進而可得出、，再結合即可求出的長度．【詳解】解：，，，，，，，（米．答：無人機的飛行高度為米．故選：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，掌握仰角俯角定義解題的關鍵．35.如圖，航模小組用無人機來測量建筑物BC的高度，無人機從A處測得建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，若此時無人機與該建筑物的水平距離AD為30m，則該建筑物的高度BC為_____m．（結果保留根號）【答案】（30+30）．【解析】【分析】在Rt△ABD中，根據正切函數求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根據BC=BD+CD，代入數據計算即可．【詳解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：該建筑物的高度BC約為（30+30）米．故答案為：（30+30）．【點睛】此題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題．注意能借助仰角或俯角構造直角三角形并解直角三角形是解題的關鍵．36.重慶實驗外國語學校坐落在美麗且有靈氣的華巖寺旁邊，特別是金燦燦的大佛讓身高1.6米的小王同學很感興趣，剛剛學過三角函數知識，他就想測一下大佛的高度，小王到點測得佛頂仰角為，接著向大佛走了10米來到處，再經過一段坡度，坡長為5米的斜坡到達處，此時與大佛的水平距離米（其中點、、、、在同一平面內，點、、在同一條直線上），請問大佛的高度為多少米？（參考數據：）．【答案】16米【解析】【分析】過點作于點，過點作于點，設，，得出，解得，求出米，解直角三角形求出的長，則可求出答案．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，如圖所示：斜坡的坡度，米，設，，，解得，米，米，由題意可知四邊形和四邊形是矩形，米，米，米，在中，，，米，米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角、坡度坡角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．【練易錯】易錯點：誤解方向角、仰角與俯角、坡角與坡度概念導致錯誤37.如圖，在建筑物AB上，掛著35m長的宣傳條幅AE，從另一建筑物CD的頂部D處看條幅頂端A處，仰角為45°，看條幅底端E處，俯角為37°．求兩建筑物間的距離BC．(參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)【答案】兩建筑物間的距離BC為20m.【解析】【分析】如圖，過點D作DFAB交AB于點F，則∠DFA=∠DFE=90°，結合已知條件易得AF=DF，EF=DF·tan37°，結合AE=AF+EF=35即可列出方程解得DF的長，這樣由四邊形BCDF是矩形即可得到BC=DF從而求出BC的長了．【詳解】解：過點D作DFAB交AB于點F，∴∠DFA=∠DFE=90°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形BCDF是矩形，∴BC=DF，∵在Rt△ADF中，∠ADF=45°，∴AF=DF，∵在Rt△DFE中，∠EDF=37°，∴EF=DF·tan37°，又∵AF＋EF=AE=35，∴DF＋DF·tan37°=35，解得DF=BC=20（m）答：兩建筑物間的距離BC為20m．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．38.如圖，在某監測點處望見一艘正在作業的漁船在南偏西方向的處，若漁船沿北偏西方向以60海里/小時的速度航行，航行半小時后到達處，在處觀測到在的北偏東方向上，求、之間的距離．【答案】【解析】【分析】根據路程速度時間，結合題意求出，再由等腰直角三角形的判定與性質得到答案即可．【詳解】解：如圖所示：由題意得海里，,,,,,,,,在等腰，海里，則由勾股定理得到海里答：、之間的距離為海里．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用題方向角問題，根據題意，結合圖形，準確找到各個方向角、掌握等腰直角三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．【新定義小練】39.定義：對于線段和點P，當，且時，稱點P為線段的“等距點”．特別地，當，且時，稱點P為線段的“強等距點”．在平面直角坐標系中，點A的坐標為；若點B是線段的“強等距點”，且在第一象限，則點B的坐標為___．【答案】，【解析】【分析】過點B作BM⊥x軸于點M，根據“強等距點”的定義可得出∠ABO=120°，BO=BA，根據等腰三角形的性質以及特殊角的三角函數值即可求出線段OM、BM的長度，再由點B在第一象限即可得出結論．【詳解】解：如圖，過點．作軸于點，點是線段的“強等距點”，，，軸于點，，．在中，，，．點的坐標為，或，，點在第一象限，，．故答案為：，．【點睛】本題考查了坐標與圖形，解直角三角形，等腰三角形的性質，讀懂題意明白“等距點”和“強等距點”的性質是解題的關鍵．40.在中，是上的動點（異于、），過點的直線截，使截得的三角形與相似，我們不妨稱這種直線為過點的的相似線，簡記為（為正整數）．（1）如圖①，，，當時，、都是過點的的相似線（其中，），此外，還有________條；（2）如圖②，，，當________．時，截得的三角形面積為面積的．【答案】①.1②.或或．【解析】【分析】（1）過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l3是第3條相似線；（2）設P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2，然后按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線，根據相似比求解即可．【詳解】解：（1）存在另外1條相似線．如圖①所示，過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC；故答案為：1；（2）設P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2．如圖②所示，共有4條相似線：①第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1∥AC，∴；②第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2∥BC，∴；③第3條l3，此時⊥AB，與△ABC另一個交點在BC上，則BP與BC為對應邊，且，∴；④第4條l4，此時l4⊥AB，交AC于D，則斜邊AD和AB為對應邊，∵，∴D與C重合，∴直角邊AP與AC為對應邊，且，∴，∴．故答案為：或或．【點睛】本題考查了自定義概念問題，涉及相似三角形判定與性質、解直角三角形，解題的關鍵是根據題意，結合圖形找出所有的相似線．【閱讀類小練】41.[教材呈現]如圖是華師版九年級上冊數學教材第103頁的部分內容．例2如圖，在中，，是斜邊上中線．求證：．證明：延長至點E，使，連接．（1）請根據教材提示，結合圖1，寫出完整的證明過程．（2）[結論應用]如圖2，直角三角形紙片中，，點D是邊上的中點，連接，將沿折疊，點A落在點E處，此時恰好有．若，那么．（3）如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點，．若，則．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）如圖1中，延長到E，使，連接、，證得四邊形是矩形，根據矩形的性質即可證得結論；（2）如圖2中，設交于點O．證明，求出，證明，可得結論；（3）連接，證明，利用等腰三角形的三線合一的性質證明，利用勾股定理求出，可得結論．【小問1詳解】證明：延長到E，使，連接，∴則．∵是斜邊上的中線，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴平行四邊形是矩形，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖2中，設交于點O．∵，∴，∴．由翻折的性質可知．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．故答案為：；【小問3詳解】解：如圖3中，連接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了矩形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解決問題．【綜合實踐類小練】（2022·山東棗莊·中考真題）42.為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某校“綜合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數據sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結果保留整數）【答案】臺兒莊古城城門樓的高度約為17米【解析】【分析】設OA＝x米，則OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用銳角三角函數可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用銳角三角函數可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解．【詳解】解：設OA＝x米，則OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，答：臺兒莊古城城門樓的高度約為17米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．（2022·遼寧錦州·中考真題）43.某數學小組要測量學校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結果如下：測量項目測量數據從A處測得路燈頂部P的仰角從D處測得路燈頂部P的仰角測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結果精確到0.1米．參考數據；）【答案】3.5米【解析】【分析】延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長度，再求出PF的長度，即可求出答案．【詳解】解：如圖：延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，同理：四邊形CDFE是矩形；∴，，在直角△PDF中，有，在直角△PAF中，有，∴，即，∴，解得：；∴；∴（米）；∴路燈頂部到地面的距離約為3.5米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解直角三角形，矩形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線