2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校起點考試高二數學試卷命題學校：黃岡中學命題教師：董明秀審題學校：黃梅一中審題教師：石亞林考試時間：2024年9月2日下午15:00-17:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題除出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1:1 B.3:2 C. D.2.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點數是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數之和是7”，則（）A.A與B互斥 B.B與C互對立 C.A與B相互獨立 D.A與C相互獨立3.下列說法中正確的是（）A.若兩個平面都與第三個平面垂直，則這兩個平面平行B.已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面4.已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.5.已知向量，不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知某樣本的容量為50，平均數為70，方差為75.現發現在收集這些數據時，其中的兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則（）A. B.C. D.7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.8.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.衡陽市第八中學為了解學生數學史知識的積累情況，隨機抽取150名同學參加數學史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A該次數學史知識測試及格率超過90%B.該次數學史知識測試得滿分的同學有15名C.該次測試成績的中位數大于測試成績的平均數D.若八中共有3000名學生，則數學史知識測試成績能得優秀的同學大約有1800名10.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（）A.B.若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為11.如圖，正方體中，頂點在平面內，其余頂點在的同側，的交點為，頂點到的距離分別為，則（）A.平面 B.到平面的距離為1C.平面平面 D.正方體的棱長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則___________．13.設鈍角三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，，，則________.14.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復數滿足，．（1）求；（2）設復數，，在復平面內對應的點分別為，，，求．16.如圖，在三棱柱中，，，，點在底面ABC的射影為BC的中點O，M為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角平面角的正弦值．17.在銳角中，其內角的對邊分別為，已知．（1）求值；（2）若，，求△ABC的面積．18.遼寧省數學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數據整理后分成五組：，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若只有的人能進決賽，入圍分數應設為多少分（保留兩位小數）；（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績為的學生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90的概率；（3）進入決賽的同學需要再經過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有五個等級.若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績為，另一科筆試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加.現有甲、乙二人報名參加，二人互不影響.甲在每科筆試中取得的概率分別為；乙在每科筆試中取得的概率分別；甲、乙在面試中通過的概率分別為.求甲、乙能同時參加冬令營的概率.19.類比思想在數學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理，如圖1，由射線PA，PB，PC構成的三面角P-ABC，記，，，二面角A-PC-B的大小