山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題A學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．某學(xué)校寒假期間安排4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求2名學(xué)生，則分配方案有（

）A．24種 B．12種 C．6種 D．3種2．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B．2 C． D．63．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．4．已知直線與曲線相切，則的方程不可能是（

）A． B．C． D．5．某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次從中任意抽取一個(gè)數(shù)字，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)稱(chēng)為“幸運(yùn)數(shù)”（如224是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)6．偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)，時(shí)，，又根據(jù)泰勒展開(kāi)式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在的展開(kāi)式中（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為10．已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，則恰有2個(gè)零點(diǎn)B．若，則恰有4個(gè)零點(diǎn)C．若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．三、填空題12．若直線是函數(shù)的圖象在某點(diǎn)處的切線，則實(shí)數(shù)a=.13．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.14．已知，若關(guān)于的方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的理科知識(shí)競(jìng)賽，分為數(shù)學(xué)競(jìng)賽，物理競(jìng)賽和化學(xué)競(jìng)賽，該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽，且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加．(1)求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案？(2)若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向，必須選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽，乙同學(xué)主攻物理方向，必須選擇物理競(jìng)賽，則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案？16．已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．17．已知(1)若的二項(xiàng)展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求展開(kāi)式中的系數(shù)；(2)若，且，求．18．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)．證明：（i）若，則恒成立；（ii）若，則恒成立．19．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)已知在區(qū)間上嚴(yán)格減，且對(duì)任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；(2)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，證明：.山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題A參考答案題號(hào)12345678910答案CCCDBAABABACD題號(hào)11答案ACD1．C【詳解】.故選：C.2．C【詳解】由題意知：含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為.故選：C.3．C【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，由得函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，D錯(cuò)誤.故選：C.4．D【詳解】由已知可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.對(duì)于A、B項(xiàng)，由可得，，解得.當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故B項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C、D項(xiàng)，由可得，，解得，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.5．B【詳解】由，則，符合題意的三位數(shù)有，共個(gè).故選：B.6．A【詳解】由，,，兩邊同時(shí)除以，得，又展開(kāi)式中的系數(shù)為，所以，所以故選：A7．A【詳解】令，得，即，記，求導(dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，且，則函數(shù)的大致圖象如圖，交點(diǎn)有3個(gè)，所以，所以的取值范圍為.故選：A.8．B【詳解】由，則，即，，所以.故選：B.9．AB【詳解】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；對(duì)于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C,，為有理項(xiàng)，可取的值為，所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,令，則所有項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．ACD【詳解】令，則，解得或.當(dāng)時(shí)，.由，得；由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故的大致圖象如圖所示.由圖可知，有且僅有1個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根，則恰有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；由恰有3個(gè)零點(diǎn)，得恰有2個(gè)實(shí)根，則或或，則錯(cuò)誤；由恰有2個(gè)零點(diǎn)，得恰有1個(gè)實(shí)根，且，則或或，則D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．ACD【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋裕院瘮?shù)是偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋裕矗郑裕裕裕矗院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋睿茫裕郑裕裕蔇正確.故選：ACD.12．【詳解】令，解得，所以切點(diǎn)為，將代入切線得.故答案為：13．【詳解】，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：14．【詳解】，令（，且），，又，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，,即.在上是單調(diào)遞減函數(shù).（，且），（，且），令（，且），則，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，畫(huà)出的圖象，如圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無(wú)解.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．(1)540種；(2)65種.【詳解】（1）若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，1，4時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，2，3時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2，2，2時(shí)，共有種參賽方案；該校派出的6名學(xué)生總共有種不同的參賽方案．（2）若有4人選擇化學(xué)競(jìng)賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；若有2人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；若有1人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的三人各有2種選法，則有種參賽方案；所以總共有種不同的參賽方案．16．(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域..令，即解得：；令，即解得：；

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.（2）∵，∴∵在上單調(diào)遞增，即恒成立，∵時(shí)∴，即a的取值范圍為．17．(1)(2)【詳解】（1）由于的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為且最大（唯一），可得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以當(dāng)時(shí)，故展開(kāi)式中的系數(shù)為；（2）若，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即的偶次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即的奇次項(xiàng)系數(shù)為正，所以，又，故．18．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知可得，由可得．令，則，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞減．又，所以在上的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞增．又，所以在上的值域?yàn)椋鞒龊瘮?shù)在的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有兩解，設(shè)為，且．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，有，即．所以，在處取得極大值，在處取得極小值．綜上所述，的取值范圍為．（2）（i）構(gòu)造函數(shù)，則，令，則在時(shí)恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋试谏希睿瑒t，令，故，即為增函數(shù)，所以，所以為增函數(shù)，所以，即，即，所以．又，所以，當(dāng)時(shí)，有；（ii）在（i）的條件下，只需討論上成立，因?yàn)椋裕钤谏虾愠闪ⅲ裕谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以．又，所以．綜上所述，在上，恒成立．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）不妨設(shè)，在區(qū)間上嚴(yán)格減，對(duì)任意，有，又，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）由（