2025高三適應性考試（三）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】不等式，可化為，所以，所以或，故或，不等式的解集為，所以，所以.故選：C．2.已知，為平面內一組基底，，，，若A，B，D三點共線，則a的值為（）A2 B. C.0 D.1【答案】A【詳解】，，因為與共線，，故選：A．3.在等比數列中，，，則（）A.36 B. C. D.6【答案】D【詳解】等比數列中，，，，由于故，所以，故選：D．4.已知9個數據：，，，，的均值為，方差為2，現將加入，則新數據的方差為（）A. B.2 C. D.18【答案】A【詳解】由題意得，，則新數據的方差，故選：A．5.已知直線與圓交于A，B兩點，則的最大值為（）A.2 B.4 C.5 D.10【答案】B【詳解】直線過定點，圓，設到距離為，，時，.故選：B6.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點A在C上，過A作l的垂線，垂足為．若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【詳解】因點A在C上，則，又，為正三角形，如圖，準線與軸交于點，在中，，所以，即.故選：B7.已知正三棱臺，，點O為底面，的重心，過點O，，的截面將該三棱臺分成兩個幾何體，則這兩個幾何體的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】根據，不妨設上底面邊長為2，下底面邊長為3，則在正三棱臺，可知上表面面積，下表面面積，過O作分別交AB，BC于點E，F，O為的重心，，且，則四邊形為平行四邊形，且，同理可得且，為三棱柱，設此正棱臺高為，則臺體體積，棱柱的體積，另一部分體積，兩部分體積之比為，故選：B．8.已知函數，將的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，若與的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】因為，所以，因為與關于y軸對稱，則，，，得，，所以的最小值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，在復平面內對應的點分別為，，則下列說法正確的有（）A.若則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【詳解】，如，，此時與無大小關系，A錯．，，，，，B對．，，，即，則，，C對．設，，此時但，D錯，故選：BC．10.已知函數，則（）A.有兩個極值點B.的對稱中心為C.過點作曲線的切線有三條D.若函數的一個零點在之間，則它所有零點都在之間【答案】AB【詳解】對于A中，由函數，可得，令，可得，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以在處取極大值，在處取極小值，所以A正確；對于B中，因為函數為奇函數，關于對稱，所以函數關于中心對稱，所以B正確；對于C中，作出的大致圖象，如圖所示，當時，為上凸函數，在拐點處的切線為，它與恰交于；當時，為上凹函數，，過只能作的兩條切線，所以C錯誤；對于D中，由A知函數在上單調遞增；上單調遞減；要使有零點，則只需，解得，當時，大致圖象如下可得有一個零點之間，但另一零點，所以D錯誤.故選：AB．11.已知數列，設，若滿足性質：存在常數c，使得對于任意兩兩不等的正整數i、j、k，都有，則稱數列為“夢想數列”，下列結論正確的是（）A.若，則數列為“夢想數列”B.若數列是“夢想數列”，則常數C.若數列的前n項和，則數列為“夢想數列”D.若數列是“夢想數列”，則為等差數列【答案】ABD【詳解】若是“夢想數列”，則①，交換i，j的位置②，，，B正確．對于A，若，對兩兩不等的正整數i，j，k符合條件，為“夢想數列”，A正確．對于C，，取，，，，不為“夢想數列”，C錯．對于D，令，，記為數列的前n項和，是“夢想數列”，，①，時，②，，（且），而時，上式也成立對恒成立，為等差數列，D正確.故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，母小題5分，共15分．12.已知正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，高為3，則該四棱臺外接球的表面積為_______．【答案】【詳解】上底正方形外接圓圓心，半徑，下底正方形外接圓圓心，半徑，設球心O半徑R，，，該四棱臺外接球的表面積.故答案為：.13.函數的最小值為______．【答案】1【詳解】當時，，此時，，令得：，令得：，故此時在處取得最小值，；當時，，此時，此時在單調遞減，且；綜上：函數的最小值為1.故答案為：114.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，軸上方的兩點分別在雙曲線的左右兩支上，梯形兩底邊滿足，以為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【詳解】如圖，由題意，令，則，，，因為以為直徑的圓過，則，又為梯形，易知，所以，則在中，由勾股定理可得，整理得，因為，所以解得，在中，由勾股定理可得，且，則，在中，由余弦定理可得，，解得，，整理得，，即故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，，，且，分別是的中點．（1）求證：；（2）若平面平面，直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】取中點，連接，因為，且為中點，所以，又因為為中點，所以，因為，所以又因為，平面，平面，所以面，因為面，所以．【小問2詳解】因為面面，面面，，平面，所以面，可得為PN與平面ABCD所成角，即，在梯形中，由，且為中點，可得，所以，又因為，可得，以為中點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設面的一個法向量，則，取，可得，所以，又因為平面，所以平面的一個法向量，則，所以二面角余弦值為16.已知一個黑色袋子里裝有2個紅球，4個白球，這些球除顏色不同外，其余均相同，甲同學每次從袋子中任取一個球，不放回，直到把兩個紅球都取出來即終止，記此時袋子里剩余球的個數為X．（1）求甲同學取球兩次即終止的概率；（2）求隨機變量X的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，．小問1詳解】設甲同學取球兩次即終止為事件A，．【小問2詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4，；隨機變量X的分布列為：X01234P答：甲同學取球兩次即終止的概率為，隨機變量X的期望為．17.在銳角中，內角、、的對邊分別為、、，面積為，滿足．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】由得，即，由余弦定理得：，即，化簡得：，由正弦定理有：，即，化簡得：，因，，所以，因為正弦函數在上單調遞增，故，即.【小問2詳解】由正弦定理得，因為為銳角三角形，則，解得，則，令，則目標式為，其中，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，因，，故，故當時，.因此，的取值范圍是.18.已知O為坐標原點，橢圓的離心率，橢圓C的左、右焦點分別為，，焦距為．定義橢圓C上點的“和點”為．（1）求橢圓C的方程；（2）記OP，OQ的斜率分別為，，求的取值范圍；（3）若直線l交橢圓C于A，B兩點，點A，B的“和點”分別為，，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】由題意，解得，所以，所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】由題意，令，則，當時，，當且僅當取等號；當時，，當且僅當取等號；所以或，即的取值范圍為．【小問3詳解】方法一：①當l斜率不為0時，設直線，，，則，，，，，，所以，即，所以，代入得，（*），O到直線l的距離，，當且僅當，即時取“=”．②當l斜率為0時，設直線，聯立，則，由得，解得，所以，綜上：．方法二：設，，，，由，，，設，，其中，，即，，，，而，，當且僅當或2即，或，時，取最大值1．19.定義：函數圖象上不同的三點A，B，C，它們的橫坐標成等差數列，且該函數在點B處切線的斜率恒小于直線AC的斜率，則稱該函數是其定義域上的“等差偏移”函數，設．（1）討論的極值；（2）若是其定義域上的“等差偏移”函數，求a的取值范圍；（3）當時，數列滿足，，記前n項和為，試證明：．【答案】（1）無極小值．（2）．（3）證明見解析【小問1詳解】．當時，在上單調遞減，無極值；當時，令易知在上單調遞增；上單調遞減，無極小值．【小問2詳解】方法一：設，不妨設，由是其定義域上的＂等差偏移＂函數