PAGEPAGE1數學建模競賽試題B題：如何進行人員分配“A公司”是一家從事建筑工程的公司，現有41個專業技術人員，其結構和相應的工資水平分布如表1所示：表1人員結構及工資情況人員工資情況高級工程師工程師助理工程師技術員人數917105日工資（元）250200170110目前，公司承接4個工程項目，其中2項是現場施工，分別在A地和B地，主要工作在現場完成；另外2項是工程設計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不同，因此，各項目的合同對有關技術人員的收費標準不同，具體情況如表2：表2不同項目和各種人員的收費標準人員項目高級工程師工程師助理工程師技術員收費（元/天）A1000800600500B1500800700600C1300900700400D1000800700500為了保證工程質量，各項目中必須保證專業人員結構符合客戶的要求，具體情況如表3所示：表3各項目對專業技術人員結構的要求項目人員ABCD高級工程師1~32~521~2工程師2~8助理工程師技術員——總計說明：（1）項目D，由于技術要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術員不能參加；（2）高級工程師相對稀少，而且是保證質量的關鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備要求不能少于一定數目的限制。各項目對其他專業人員也有不同的限制或要求；（3）各項目客戶對總人數都有限制；（4）由于C，D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費開支；由于收費是按人工計算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數是10+16+11+18=55，多于公司現有人數41，應如何合理地分配現有的人員力量，使公司每天的直接受益最大？對各項目分配的技術人員數目設如下變量：項目人員數目ABCD高級工程師x11x12x13x14工程師x21x22x23x24助理工程師x31x32x33x34技術員x41x42x43x442、目標函數：設公司每天的利潤為M元，根據利潤表和人員分配表，公司每天的總利潤可以表示為：M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+ 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x443、約束條件：（1)各項目的不同技術人員數量約束如下：1≤x11≤32≤x12≤5x13=21≤x14≤2x21≥2x22≥2x23≥22≤x24≤8x31≥2x32≥2x33≥2x34≥1x41≥1x42≥3x43≥1x44=0（2）各項目安排的總人員約束如下：x11+x21+x31+x41≤10x12+x22+x32+x42≤16x13+x23+x33+x43≤11x14+x24+x34+x44≤18（3）各級別技術人員總數約束如下：x11+x12+x13+x14≤9x21+x22+x23+x24≤17x31+x32+x33+x34≤10x41+x42+x43+x44≤5五、模型求解對于這種整數規劃類型的問題，可以用分支定界法來進行求解。但是由于該模型的變量比較多，用分支定界法進行手工求解是比較麻煩的，而lingo軟件求解整數規劃問題時，正是基于這種方法，所以我們可以借助lingo軟件進行求解。編寫lingo程序如下：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+ 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x12+x13+x14<=9;x21+x22+x23+x24<=17;x31+x32+x33+x34<=10;x41+x42+x43+x44<=5;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=1;x44=0;End運行程序（運行結果見附錄一），求得最優解為27150元，即為公司每天最大直接收益。各項目的專業技術人員最優分配表如下：項目人員ABCD總計高級工程師15219工程師636217助理工程師252110技術員13105總計101611441六、結果分析從運行結果（詳見附錄一）可以看出，公司的41名技術人員都能分配到任務，且完全符合各項目對技術人員結構的要求。而且，從其“影子價格”一欄可得知，在其他條件不變的情況下，每增加一名高級工程師，公司的最大直接收益就增加700元；每增加一名工程師，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程師，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技術員，公司的最大直接收益增加440元。因此，在不影響公司正常業務的情況下，應減少助理工程師和技術員的人數，增加高級工程師和工程師的人數，以使公司獲得最大的直接收益。七、模型評價1．模型優點：（1）該模型對問題用線性規劃進行分析，而且列出了利潤表對問題進行簡化，使得問題變得簡單，也減少了模型變量的數量，使得分析問題變得簡單；（2）結果分析了各級別技術人員數量增加時對企業利潤的影響，給人力資源結構調整作了一個參照，以及今后公司擴展業務時應該招聘的人員比例。2．模型缺點：（1）本模型忽略了實際作業時的多種因素，例如天氣、人員缺勤等不確定因素；（2）本模型未對公司實際作業時的其他支出進行考慮，如購買工具、設備折舊等；八、模型改進四個項目同時要求的總人數為55人，而公司實際人口為41人，如果公司招聘更多的技術人員會使利潤增加，但應該招多少高級工程師、工程師、助理工程師和技術員，才能使公司的直接收益最大呢？下面我們對此問題進行求解。假設其他條件不變，新招聘的技術人員的工資標準和現有人員的相同。我們編寫如下lingo程序并進行求解：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+ 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=1;x44=0;End結果（詳見附錄二）顯示：當招錄高級工程師3人，工程師7人，助理工程師4人時，公司的直接收益最大，且最大收益為35020元。